辨析三類錯解根源 提升邏輯推理能力

張 淦

(新昌中學(xué)，浙江 新昌 312500)

“學(xué)生的錯題,教師的寶”.在教學(xué)活動過程中,雖然“錯解”總是遭人討厭,但是“錯解”展現(xiàn)了學(xué)生的思維活動過程,是教師了解、掌握學(xué)情的重要途徑.特別是一些“不露痕跡”的錯解,洞悉錯誤之處需要學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng),需要學(xué)生對相關(guān)概念、關(guān)系、結(jié)構(gòu)有明確的認(rèn)識和理解,對解答過程中各步驟有清晰的邏輯分析,而不是“機(jī)械式”“無意義”地進(jìn)行數(shù)學(xué)活動.

此類隱蔽性強(qiáng)的錯解問題,是教師教學(xué)中的寶貴財富,正如皮亞杰所說:“錯誤是有意義的學(xué)習(xí)所必不可少的.”教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生,辨析錯解根源,吃透概念,理清對象間的關(guān)系,提升學(xué)生的邏輯推理能力.

1 必要不充分型錯解——理清關(guān)系,抓住本質(zhì)

必要不充分型是主要的錯解類型,學(xué)生在解題過程中,弱化問題條件往往是導(dǎo)致錯解的根源所在.

例1在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinB+sin(A-C)=cosC.

1)求角A的大小;

從而

a2+b2=2b2-6b+12∈(12,20).

解法2由余弦定理可得

a2=b2-6b+12.

即

得b∈(3,4),從而

a2+b2=2b2-6b+12∈(12,20).

想不到的是,有學(xué)生非要讓筆者看他的解答過程并抱怨道“知道自己的解答是錯的,但是想了老半天,就是沒發(fā)現(xiàn)哪一步有問題”.

錯解由余弦定理可得

a2=b2-6b+12.

因為a2=b2-6b+12∈(3,4),所以

b∈(2,3)∪(3,4),

于是a2+b2=2b2-6b+12

圖1

1)略.

錯解2)由題意可知

整理可得

故只需

得

得

故二者不等價.因此,例2解法中存在瑕疵,需要進(jìn)一步完善.

2 充分不必要型錯解——實事求是,注重論據(jù)

充分不必要型是重要的錯解類型,學(xué)生在解題過程中,由于對概念、定理、公式理解不清或受思維定勢的影響,主觀強(qiáng)加問題條件是這類錯解的根源所在.

例3如圖2,在多面體ABC-A1B1C1中,平面A1B1BA⊥平面ABC,平面A1B1C1∥平面ABC,∠A1B1C1=∠ABC=90°,四邊形A1B1BA為正方形,B1C1=A1B1=2BC=2,E為棱A1B1的中點．

圖2 圖3

1)求證:BE∥平面A1CC1;

2)求直線A1C與平面A1AC1所成角的正弦值．

下面僅對第1)小題進(jìn)行分析.

1)錯證如圖3，取A1C1的中點M,聯(lián)結(jié)EM.因為點E,M為中點,所以

EM

又BC故四邊形EMCB為平行四邊形,BE∥MC.又因為BE?平面A1CC1,MC?平面A1CC1,所以BE∥平面A1CC1．

上述證法在學(xué)生的解答中普遍存在,然而在證明中,學(xué)生強(qiáng)加了“BC∥B1C1”這一條件.事實上,應(yīng)先補(bǔ)充證明BC∥B1C1.因為平面A1B1BA⊥平面ABC,平面A1B1BA∩平面ABC=AB,且BC⊥平面ABC,所以BC⊥平面A1B1BA,同理可得B1C1⊥平面A1B1BA,于是BC∥B1C1.

例4如圖4,已知四棱錐P-ABCD,△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.

圖4 圖5

1)證明:CE∥平面PAB;

2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第19題)

1)略.

2)錯解如圖5,以AD的中點為坐標(biāo)原點O、分別以O(shè)B,OD,OP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(解答過程略).

當(dāng)年筆者有幸參加了閱卷工作,上述向量代數(shù)解法是典型的錯誤類型.學(xué)生空間感知能力不足,忽視點、線、面的位置關(guān)系,不經(jīng)思辨論證,強(qiáng)行添加了平面PAD⊥平面ABCD這一條件是錯解的根源.

3 既不充分也不必要型錯解——大膽猜想,小心求證

既不充分也不必要型錯解,往往是學(xué)生猜想答案引起的.事實上,學(xué)生通過不完全歸納法、類比法、簡單枚舉法、數(shù)據(jù)分析等或受一般數(shù)學(xué)觀念影響,推斷問題結(jié)果.究其實質(zhì),應(yīng)該是歸納推理.

一般觀念、個人直覺在數(shù)學(xué)結(jié)論發(fā)現(xiàn)的過程中具有重大作用,但是并不“保真”;嚴(yán)謹(jǐn)性的功能不在于發(fā)現(xiàn)知識,而在于解釋知識[1].在數(shù)學(xué)教學(xué)活動過程中,教師應(yīng)將演繹推理和邏輯推理能力培養(yǎng)并重,鼓勵學(xué)生大膽求證、小心求證.

實際上,由xy=6可得

一堂好課的生成,離不開好的數(shù)學(xué)問題.學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程中,有體會、感悟、反思.特別是存在錯解的數(shù)學(xué)問題往往觸及學(xué)生的知識盲區(qū)或能力不足之處,此類問題是學(xué)情的“晴雨表”,是教師珍貴的教學(xué)資料和備課素材.對于此類問題,教師應(yīng)當(dāng)抓住教學(xué)契機(jī),引領(lǐng)學(xué)生,深刻剖析錯誤根源,引導(dǎo)學(xué)生有邏輯地思考問題,把握事物之間的關(guān)聯(lián),形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神.