基于素養(yǎng)提升的數(shù)學(xué)探究
——以一道高三數(shù)學(xué)調(diào)研題為例

金一鳴, 常梨君

(常州市田家炳高級(jí)中學(xué)，江蘇 常州 213001)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》)將數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與探究活動(dòng)作為高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的四條主線之一.數(shù)學(xué)探究是指圍繞某個(gè)具體數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程.這個(gè)過程包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測(cè)、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明[1].

在《新課標(biāo)》中，數(shù)學(xué)探究被賦予了“提升學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)”的重要使命.在一線教學(xué)中，若以數(shù)學(xué)探究引導(dǎo)學(xué)生積極實(shí)踐，不僅有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過程，理解直觀和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年P(guān)系，嘗試數(shù)學(xué)研究的過程，體驗(yàn)創(chuàng)造的激情，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神；更有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.

本文以2022年蘇錫常鎮(zhèn)四市高三數(shù)學(xué)教學(xué)情況第一次調(diào)研試題第21題為例，從不同角度開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 原題呈現(xiàn)

1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2)若直線MN的斜率k=1，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

(2022年蘇錫常鎮(zhèn)四市高三數(shù)學(xué)教學(xué)情況第一次調(diào)研試題第21題)

2)解設(shè)直線MN的方程為y=x+m，點(diǎn)M(x1,y1)，N(x2,y2)，A(x0,y0),與橢圓方程聯(lián)立，得

則

3x2+4mx+2m2-6=0，

因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以x0=2,y0=1,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1).

波利亞曾說過：“沒有一道題可以解決得十全十美，總存在值得我們探究的地方.”通過回顧反思，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A(2，1)在該橢圓上，這個(gè)位置很特殊，背后是不是蘊(yùn)涵著某些必然呢？

2 多維探究

2.1 易位變形

易位變形是將原命題中條件部分所含的事項(xiàng)與結(jié)論部分所含的事項(xiàng)互易位置，從而得到新命題的過程.易位又分為全易位和部分易位，將命題中的條件與結(jié)論全部同時(shí)交換位置稱為全易位；若命題的條件部分與結(jié)論部分所含有的事項(xiàng)均不止一個(gè)，當(dāng)我們將這些事項(xiàng)分別交換位置，就可以得到幾個(gè)命題，這樣的易位稱為部分易位.易位變形實(shí)質(zhì)是通過構(gòu)造已知命題的逆命題而得到新的命題[2].由4種命題的關(guān)系知，易位變形后所得的命題未必是真命題，需要給予證明.

證明由題意可知直線AM，AN斜率必定存在.設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2),設(shè)直線AM的方程為y-1=k1(x-2)，直線AN的方程為y-1=k2(x-2),聯(lián)立

由于直線AM，AN傾斜角互補(bǔ)，則k1+k2=0，從而

證明由題意可知直線AM，AN斜率必定存在.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),設(shè)直線AM的方程為y-1=k1(x-2)，直線AN的方程為y-1=k2(x-2),由探究1可得

即

(k1+k2)(k1-k2)=0.

而k1≠k2，故

k1+k2=0.

還有其他的證明方法嗎？如設(shè)直線MN的方程為y=x+b，由于M,N在直線y=x+b上，將M,N的坐標(biāo)代入可得

即k1,k2為方程(2b+6)k2+b-3=0的兩個(gè)根，則k1+k2=0，即兩直線的傾斜角互補(bǔ).

易位變形所得命題讓學(xué)生有一種似曾相識(shí)之感，這有助于激起學(xué)生對(duì)新命題論證的興趣.但是這種思維定勢(shì)也會(huì)固化學(xué)生的思維.若跳出原有框架，引入新的思想方法，則會(huì)有意外之喜.這時(shí)就需要教師適時(shí)介入，因勢(shì)利導(dǎo)，通過釋疑解惑，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，完善解題思路，體悟數(shù)學(xué)思想方法.

波利亞又說過：“好問題同某種蘑菇有些相像,它們都是成堆地生長(zhǎng)的,找到一個(gè)以后,你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近就有好幾個(gè).”那么“易位變形”周圍的蘑菇是什么？

2.2 一般化

一般化就是把原命題的結(jié)論推廣到一般情形后得到新命題的過程．得到的新命題同樣需要證明.

將探究1一般化為任意橢圓及橢圓上的點(diǎn)，可得探究3.

由于直線AM，AN傾斜角互補(bǔ)，從而k1+k2=0，于是

可見，探究1的值是此結(jié)論的特殊化.

一般化探究能讓我們以“上帝的視角”去研究問題，從而掌握數(shù)學(xué)問題內(nèi)部發(fā)展的線索，這種由特殊到一般的探究方式是數(shù)學(xué)研究的重要方法.在進(jìn)行一般化的探究中，“在何處進(jìn)行一般化”是學(xué)生探究的難點(diǎn)，也是教師的點(diǎn)撥之處，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從命題的特殊狀態(tài)或具體數(shù)值入手，將特殊狀態(tài)推廣到一般狀態(tài)，具體數(shù)值推廣到任意數(shù)值.同樣，探究2和例1也可以進(jìn)行一般化得出相應(yīng)結(jié)論，筆者在此不一一贅述.

2.3 類比

波利亞在《怎樣解題》中是這樣論述類比的：相似的物體在某些方面彼此一致，而類似的物體則在它們相應(yīng)部分的特定關(guān)系上相一致.類比探究是指根據(jù)兩個(gè)對(duì)象之間的相似之處，把信息從一個(gè)對(duì)象轉(zhuǎn)移給另一個(gè)對(duì)象，它是一種由此及彼的合情推理．橢圓是圓錐曲線的一種，在雙曲線和拋物線中也有與探究3類似的結(jié)論成立，證明留給讀者.

宇航員阿姆斯特朗曾說過：“這是個(gè)人的一小步，卻是人類的一大步.”在科學(xué)探索中，小小的一步會(huì)成為偉大的創(chuàng)舉，數(shù)學(xué)內(nèi)部的探究同樣如此.能不能在探究3的基礎(chǔ)上，再跨出去“一小步”？

2.4 條件加強(qiáng)或減弱

條件加強(qiáng)或減弱是指在原命題的基礎(chǔ)上，加強(qiáng)或減弱部分條件從而生成新命題的過程.以探究3為例，由于橢圓上任意一點(diǎn)A(x0,y0)處的切線斜率是確定的，通過在原命題上增加條件“點(diǎn)A處的切線與MN的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P”，得到如下新命題：

圖1

證明由題意知過點(diǎn)A(x0,y0)的切線斜率必定存在.設(shè)過點(diǎn)A的直線方程為y-y0=k(x-x0)，聯(lián)立

消去y,得

(b2+a2k2)x2+2k(y0-kx0)a2x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0.

由于直線AP與橢圓相切，則

Δ=[2k(y0-kx0)a2]2-4(b2+a2k2)[a2(y0-kx0)2-a2b2]=0,

在探究6的基礎(chǔ)上繼續(xù)深入可得:如圖2，設(shè)切線AP交x軸于點(diǎn)Q，直線AM,AN分別交x軸于點(diǎn)E,F，由于∠AEF=∠AFE，而∠AFE=∠NAQ+∠AQF且∠AEF=∠AMP+∠MDE，由直線AP和直線MN的傾斜角互補(bǔ)可得∠AQE=∠PDQ，從而∠NAP=∠AMN(類似圓中弦切角等于同弧所對(duì)的圓周角)，因此△APN∽△APM，從而PA2=PN·PM(類似圓中的切割線定理).

圖2

由上可知，增加一條切線，探究3又得到了許多優(yōu)美結(jié)論，問題探究的活力就在于此.筆者認(rèn)為條件的加強(qiáng)或減弱是在充分理解問題背景的基礎(chǔ)上，找到問題“生長(zhǎng)點(diǎn)”的有力武器，是培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)的重要素材.當(dāng)然更替要適度，不能喧賓奪主.事實(shí)上，在具體實(shí)踐中，可以讓學(xué)生先自我嘗試探究，通過直覺、觀察、聯(lián)想等方式進(jìn)行大膽猜測(cè)，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理論證，以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.只有經(jīng)歷過探究的失敗，才能感受到探究成功的喜悅.

將探究6一般化可得：

圖3 圖4

1)AD,BC的傾斜角互補(bǔ)；

2)若AD,BC相交于點(diǎn)T，求證：|AT|·|DT|=|BT|·|CT|.

kAB+kCD=0，

由圖4可知∠A′EF=∠C′HG,又∠A′EF=∠A′B′C′+∠EFB′=∠A′B′C′+∠C′FH,同理可得

∠C′HG=∠C′D′A′+∠HGD′=∠C′D′A′+∠A′GE,

而

∠A′B′C′=∠A′D′C′,

于是

∠C′FH=∠A′GE，

即

kB′C′+kA′D′=0.

|A′T|·|D′T|=|B′T|·|C′T|，

從而

|AT|·|DT|=|BT|·|CT|，

即橢圓內(nèi)的相交弦定理.

從探究6所得結(jié)論發(fā)現(xiàn)：圓中成立的很多命題，在橢圓中同樣成立，因此該證法的獲得就是受圓的啟發(fā)，將橢圓通過伸壓變換成圓，從而使命題的論證變得簡(jiǎn)潔.對(duì)探究7進(jìn)一步推廣，如果點(diǎn)T在橢圓外，那么|AT|·|DT|=|BT|·|CT|仍然成立，這時(shí)可以看成橢圓中的割線定理.綜上可知，橢圓內(nèi)的“圓冪定理”仍然成立.

3 高考對(duì)接

探究5對(duì)接例2的第1)小題：

1)求l的斜率；

(2022年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第21題)

探究7對(duì)接例3的第2)小題:

1)求C的方程；

(2021年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第21題)

有興趣的讀者不妨試著做一做例2和例3，本文不一一贅述.

4 兩點(diǎn)思考

4.1 4種探究方式的關(guān)系

4種探究方式四位一體，關(guān)系緊密.從原命題出發(fā)，易位變形是基礎(chǔ)，學(xué)生在論證所探究命題正確性時(shí)，需時(shí)刻辨清條件與結(jié)論，以便及時(shí)選擇證明方法和調(diào)整證明方向.類比是拓展，探究與原命題在同一維度或更高維度上，學(xué)生需找到“相似點(diǎn)”才能夠使類比順利進(jìn)行，同時(shí)要關(guān)注好類比前后產(chǎn)生的差異性.一般化是深化，由于所得命題具有普適性，這比原命題提高了一個(gè)層次和境界，需要學(xué)生動(dòng)用聯(lián)想、想象、觀察等各種感觀才能發(fā)現(xiàn)并解決問題.條件加強(qiáng)或減弱是升華，它把數(shù)學(xué)問題的探究推向了一個(gè)新的高潮，使原問題有了更強(qiáng)的生命力.4種探究方式都要求學(xué)生有較好的數(shù)學(xué)應(yīng)用遷移的能力，需要學(xué)生具備直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

4.2 4種探究方式能有效地輔助教與學(xué)

“教之道在于度”.教師要根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)適時(shí)調(diào)整探究的深度，制定合理的教學(xué)目標(biāo)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，喚醒、發(fā)掘和提升學(xué)生的內(nèi)在潛能.教師要根據(jù)學(xué)生的層次將探究能力不同的學(xué)生組合在一起，綜合協(xié)調(diào)教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生在合作中取長(zhǎng)補(bǔ)短，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，提升學(xué)生的探究能力，發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.

“學(xué)之道在于悟”.4種探究的進(jìn)程是自我數(shù)學(xué)素養(yǎng)評(píng)價(jià)的標(biāo)志.在學(xué)生自主探究中，易位變形和類比提供了學(xué)生進(jìn)行自主探究的方向，讓學(xué)生自主探究有章可依.一般化對(duì)學(xué)生自主探究提高了要求，條件的加強(qiáng)與減弱更是學(xué)生自我提升的增長(zhǎng)點(diǎn).4種探究波浪式前進(jìn)，螺旋式上升，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、解決、反思問題中品嘗樂趣.教師把握度，學(xué)生及時(shí)悟，更能有效地培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)，才能更好地踐行高中數(shù)學(xué)新課程“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”這一理念.