循理入法 以理馭法
——以“點到直線的距離公式”為例談數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)

周建峰

(浙江師范大學附屬中學，浙江 金華 321004)

中學數(shù)學教學一直重視數(shù)學運算能力的培養(yǎng)，從“雙基”、數(shù)學“三大能力”到“四基”“四能”，再到六大核心素養(yǎng)，無不突出數(shù)學運算的重要性．《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》提出6大數(shù)學核心素養(yǎng)，“數(shù)學運算”是其中之一，是在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)，主要包括理解運算對象，掌握運算規(guī)則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等[1]．

在教學實際中，筆者發(fā)現(xiàn)：多數(shù)學生運算能力不強，學習中“看看會，算算不對”的現(xiàn)象屢見不鮮．究其原因，看似學生能力欠缺，但真正的根源在于教師，教師在教學中急功近利，偏重知識和方法，希望通過題海戰(zhàn)術達到提升數(shù)學運算核心素養(yǎng)，而忽略了對算理的探究，沒能在課堂上扎扎實實地開展運算教學．

數(shù)學運算的關鍵是對算理的探究和算法的設計，包括要算什么、可以怎么算、為什么這樣算、實際操作、可不可以優(yōu)化等．數(shù)學教材是數(shù)學課程實施的重要載體，人教版普通高中新課程《數(shù)學(選擇性必修第一冊)》第2．2．3節(jié)“點到直線的距離公式”較好地呈現(xiàn)了數(shù)學運算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)藍本．

1 新舊教材比較

新舊教材都重視對概念的理解，體現(xiàn)坐標法處理問題的思想，并設置“思考”引導教學進行更深層次的探究，用較為簡潔的方法推導出點到直線的距離公式，但在解決問題的策略上存在明顯的差異．

1.1 教材內(nèi)容呈現(xiàn)的差異

舊教材設置了“思考”，從點到直線的距離的定義出發(fā)，引導學生思考如何求P0Q的長即點P0到直線l的距離，但教材中回避了用坐標法具體求解，采用面積法得到點到直線的距離公式．

新教材設置了“探究”，同樣從點到直線的距離的定義出發(fā)，引導學生思考如何求P0Q的長即點P0到直線l的距離，詳細地給出了通過坐標法得到點到直線的距離公式的求解過程，繼而利用“思考”引導學生反思優(yōu)化運算的方法．再用“探究”帶領學生利用向量法，通過投影向量運算求出結果，體現(xiàn)了方法的多樣性和向量的工具性．

1.2 教學處理的差異

1.2.1 解決問題的方式

舊教材提及從定義出發(fā)推導公式的自然思路，但由于具體運算需要一定的技巧沒有呈現(xiàn)運算過程，雖設置“思考”：試一試，你能求出|P0Q|嗎？但教師和學生都有排斥煩瑣運算的正常心理，教材沒有呈現(xiàn)，自然以為是不重視這種“常規(guī)思路”，那么教學實踐中一般不會采用常規(guī)方法．教學中常見的處理方法有以下3種.

給定點P0(x0,y0)和直線l：Ax+By+C=0，先分析A=0和B=0這兩種特殊情況，然后再分析一般情況：

方法1和教材一樣采用面積法或者相似等方法.

方法3同新教材一樣用常規(guī)思路，但只是為推導結果，不會深入探究改進運算方法．

使用以上3種處理方法時，往往都會回避復雜的運算過程，只呈現(xiàn)運算結果，用較長時間和較多例題在公式的應用上，強化記憶公式，忽視運算能力的培養(yǎng)．

而新教材不僅呈現(xiàn)了從定義出發(fā)推導公式的完整過程：基于定義所給定的幾何要素，利用垂線求交點，再用兩點間距離公式推導出點到直線的距離公式[2]．在此基礎上設置“思考”,啟發(fā)學生反思引起運算復雜的原因，附上一段文字說明引導學生發(fā)現(xiàn)簡化運算的方法，從而巧妙解決問題．新教材的優(yōu)點在于不僅強調(diào)處理問題的一般思路，還啟迪學生尋找優(yōu)化的方案，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng)．

1.2.2 運算方法的選擇

舊教材只用了坐標法推導公式，而新教材不僅采用坐標法，還提供了向量法．點到直線的距離公式的推導方法有很多，但究其本質(zhì)進行歸類主要還是以上兩種，因此在教學時，要從思想方法的高度將學生的各種不同運算方法進行歸類，這也是運算教學需要解決的問題．

1.3 側(cè)重點的差異

從教材切入方法看，舊教材引導學生“思考”，側(cè)重于“想”，新教材卻引導學生“探究”，側(cè)重于“操作”．

從知識和能力層面看，舊教材側(cè)重于知識，即點到直線的距離公式，強調(diào)“雙基”．而新教材通過經(jīng)歷點到直線的距離公式獲得的過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學運算能力，強調(diào)“四基、四能”．

從數(shù)學運算本身看，舊教材注重算理弱化算法，通過分析教材，使學生明白可以怎么算，但對于復雜的運算采用回避的辦法.而新教材則算理和算法并重，通過算理理解算法，反之通過算法實現(xiàn)算理，發(fā)揮了良好的育人功能，啟發(fā)學生深度思考.面對棘手的運算分析原因，探究改進方法，使學生“知其然，知其所以然”，還“知其何以使然”.此外,新教材還通過多元處理問題的方法，告訴我們數(shù)學運算素養(yǎng)不僅包括運算的能力，還包括運算方法的選擇．

2 基于數(shù)學運算素養(yǎng)培養(yǎng)的教學過程設計

基于培養(yǎng)學生數(shù)學運算能力的教學，需要引導學生明晰算理、理解運算的依據(jù)，在獲取算法和應用算法時應“知其然，且知其所以然”，引導學生認真剖析“獲取正確運算結果的歷程”，形成“范式”，以規(guī)范的數(shù)學語言將運算步驟程序化、數(shù)學化，并不斷滲透運算技巧，探尋運算的“捷徑”，使學生逐步養(yǎng)成優(yōu)化算法的習慣[3]．

2.1 尋找算理——要算什么，可以怎么算

點P到直線l的距離，就是點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中點Q是垂足(如圖1)．

圖1

求出垂足Q的坐標，利用兩點間的距離公式求出|PQ|，即求得點P到直線l的距離．

2.2 設計算法——為什么這樣算

已知條件是點P的坐標(x0,y0)和直線l的方程Ax+By+C=0，可以通過以下路徑求得|PQ|(如圖2)．

圖2

2.3 實現(xiàn)算法——具體運算過程

即

Bx-Ay=Bx0-Ay0.

解方程組

得到垂足Q的坐標為

從而 |PQ|

驗證當A=0或B=0時，上式仍然成立．因此，點P(x0,y0)到直線l：Ax+By+C=0的距離為

這種求解方法利用坐標法，把幾何關系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算得以實現(xiàn)．

2.4 優(yōu)化算法——可不可以優(yōu)化

反思上述方法，由點到直線距離的定義，將點到直線的距離轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離，思路自然，設計合理，但運算量較大，特別是其中求點Q的坐標和利用兩點間距離公式求|PQ|過程中的化簡，大多數(shù)學生很難單獨完成．

針對以上兩個計算中的難點，進一步思考有沒有簡化運算的方法．

思路1“設”的是什么？“求”的是什么？

從兩點間距離公式求|PQ|的形式看，

能否不求出點Q的坐標，而直接求(x-x0)2+(y-y0)2？

把x-x0,y-y0看成整體,得

(A2+B2)[(x-x0)2+(y-y0)2]=(Ax0+B+y0+C)2,

這里利用了設而不求的方法，循理入法，通過求(x-x0)2+(y-y0)2實現(xiàn)了問題求解，避免了復雜的運算．

思路2由PQ⊥l，可否構造直角三角形求解？

優(yōu)化方法2設直線l與y軸的交點為R，聯(lián)結PR.在Rt△PRQ中，利用勾股定理求出|PQ|(如圖3)．

圖3 圖4

這個方法起點很低，利用了初中的知識，但在求解過程中，發(fā)現(xiàn)利用點A，B，C和x0,y0表示|QR|比較困難．

思路3垂線段長可以看成三角形的高，能否構造三角形通過面積法求解？

優(yōu)化方法3如圖4，過點P分別作x軸和y軸的平行線，交直線l于點S，R，則可求得

根據(jù)等面積法可得

思路還是構造三角形，但利用與坐標軸平行的線段降低了長度表示的難度，優(yōu)化了運算的煩瑣程度，以理馭法，這也是舊教材中選擇的求解辦法．

思路4通過前一章學習，我們知道，向量是解決距離和角度問題的有力工具，能否利用向量方法求得點到直線的距離呢？

由向量知識可知n=(A,B)是與直線l的方向向量垂直的向量，則

通過投影向量，運用向量運算求解，既簡化了運算，又拓寬了思考問題的思路，起到了異曲同工的效果．

3 結語

數(shù)學運算是數(shù)學活動的基本形式，在數(shù)學六大核心素養(yǎng)中占據(jù)基礎性和工具性地位．數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)不可能一蹴而就，僅僅通過學生多做、死做、蠻做難以實現(xiàn)，需要教師在教學過程中有效利用載體，扎扎實實地進行數(shù)學活動，通過課堂師生雙邊活動，發(fā)揮學生的無限想象，探究計算方向，合理設計算理，通過反思不斷優(yōu)化算法，方可真正達到育人的目的，一展數(shù)學魅力！