輸入受限輪式移動機器人軌跡跟蹤控制

2022-11-21 13:57:20師五喜姜萬蕾李寶全

天津工業(yè)大學學報 2022年5期

師五喜，姜萬蕾，李寶全

（天津工業(yè)大學控制科學與工程學院，天津300387）

近年來，隨著機器人技術的快速發(fā)展，輪式移動機器人在軍事、醫(yī)療、民生等領域發(fā)揮著重要作用。但由于輪式移動機器人系統(tǒng)是受非完整約束的多輸入多輸出非線性系統(tǒng)，如何設計精確穩(wěn)定的軌跡跟蹤控制器一直是國內外學者研究的熱點。目前，主要控制方法有滑模變結構控制方法[1-2]、反步法控制方法[3-4]、自適應控制方法[5-7]和智能控制方法[8-9]等。文獻[1]提出了一種可提高系統(tǒng)魯棒性、同時抑制信號抖振的自適應二階滑?？刂品椒?。為了克服機器人打滑引起的外部干擾，文獻[2]利用自適應滑?？刂品椒▉硪种萍袛_動，提高了軌跡跟蹤控制器的性能。文獻[3]提出了一種魯棒反步法控制器，有效抑制系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，同時降低了輪子側滑引起的擾動，但誤差的波動幅度較大。文獻[4]針對未知滑動參數(shù)下的機器人系統(tǒng)，設計了自適應反步法軌跡跟蹤控制器。文獻[5]在考慮了機器人受驅動器飽和約束和外部擾動的情況下，利用自適應神經(jīng)網(wǎng)絡控制方法對其進行漸近跟蹤控制。文獻[6]在機器人動力學參數(shù)不確定的情況下，基于Lyapunov直接法和反步法控制技術，提出了一種新型時變自適應控制器以解決機器人軌跡跟蹤問題。文獻[7]針對機器人受側滑引起的與狀態(tài)相關的運動學和動力學干擾問題，設計了一種模糊自適應軌跡跟蹤控制器。文獻[8]利用神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)逼近最優(yōu)控制律中的非線性函數(shù)，解決了系統(tǒng)中存在未知的時變參數(shù)和擾動情況下的軌跡跟蹤問題。文獻[9]提出了一種魯棒智能控制器，在系統(tǒng)參數(shù)未知、動力學模型未知和受擾情況下都能獲得較好的軌跡跟蹤控制效果。另外，文獻[10]提出了一種側滑狀態(tài)下，基于擾動觀測器的魯棒跟蹤控制器。文獻[11]通過提出一個受柔度參數(shù)影響的控制方案，來提高系統(tǒng)的魯棒性。

雖然以上方法都取得了較好的跟蹤控制效果，但均基于傳統(tǒng)的三階運動學模型進行控制器設計，此模型中機器人位姿和誤差模型之間不是一一對應關系。文獻[12]提出了一種新的四階運動學模型，并設計軌跡跟蹤控制器，很好地解決了位姿和誤差模型之間的一一對應關系問題。但以上這些方法均只考慮了系統(tǒng)的軌跡跟蹤問題，并未考慮實際系統(tǒng)中的輸入受限問題。由于輪式移動機器人車輪的執(zhí)行電機轉矩大小是受約束的，因此，機器人運動過程中的線速度和角速度是有一定限制的，如果不考慮實際控制輸入的約束，可能會降低控制性能甚至導致系統(tǒng)失穩(wěn)。文獻[13-15]設計了飽和約束下的軌跡跟蹤控制器，但這些方法均基于傳統(tǒng)的三階運動學模型。

本文受文獻[12]的啟發(fā)，利用輪式移動機器人四階運動學模型設計了軌跡跟蹤控制器，該控制器可使閉環(huán)系統(tǒng)所有信號有界，跟蹤誤差收斂到0，同時還能保證線速度和角速度有界受限。并通過仿真和Quanser QbotII平臺實驗驗證了本文方法的有效性。

1 問題描述

本文的研究對象為雙輪驅動輪式移動機器人，在全局坐標系XOY和機器人局部參考坐標系XcOcYc下，其模型如圖1所示。圖1中，（x，y）表示質心P在全局坐標系XOY下的坐標值；θ表示機器人的方向角；v表示機器人的線速度；w表示機器人的角速度。

圖1 雙輪驅動輪式移動機器人模型Fig.1 Model of two-wheel driven mobile robot

輪式移動機器人當前時刻位姿可用向量q=[x，y，θ]T表示，其運動學模型可表示為：

假設1[16]輪式移動機器人參考位姿向量qr=[xr，yr，θr]T，則其期望軌跡可表示為：

式中：vr為機器人期望線速度；wr為機器人期望角速度。

假設2機器人期望速度滿足如下條件：

式中：cv、cw均為正常數(shù)。

根據(jù)機器人當前位姿和參考位姿可得到三階位姿誤差方程為[16]：

由于在以上三階誤差模型中，機器人位姿和誤差模型之間的轉換關系不是一一對應的，文獻[12]提出了一種新的四階運動學模型，該模型通過將三階運動學模型中的θ替換成2個新變量s（t）=sin θ和c（t）=cos θ，可得到新的四階運動學模型為：

定義新的誤差變量如下：

對式（6）求導并結合式（2）和式（5），可得機器人位姿誤差的動態(tài)方程為：

2 控制器設計

本文的控制目標是通過設計機器人運動學控制器，使機器人能夠跟蹤期望軌跡且使控制輸入滿足如下約束：

為此設計如下的控制律

式中：參數(shù)k1、k2、k3均為正常數(shù)。為了便于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，定義ec=ecos-1，將其與式（9）和式（10）代入到式（7）中，可得閉環(huán)系統(tǒng)的誤差方程為：

定理1若參數(shù)k1、k2、k3滿足以下條件：

且移動機器人滿足假設1和假設2，則控制輸入式（9）和式（10）可使閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號有界，跟蹤誤差ex、ey、es、ec收斂到0，且v，w滿足約束（8）。

為了便于定理證明，首先引入2個引理：

引理1（Barbǎlat′s Lemma）[17]若（τ）dτ存在且有界，函數(shù)（ft）一致連續(xù)，則（ft）=0。

引理2[18]若函數(shù)f（t）滿足f∈L2∈L∞，則有（ft）=0。

假設3 V（0）＜2，其中V（t）如式（18）所示。

注1：由于初始值是設計者取定的，因此，以上假設是可實現(xiàn)的。

定理1證明選擇如下的Lyapunov函數(shù)：

對式（18）求導可得

根據(jù)式（11）和式（12）有

根據(jù)式（13）和式（14）有

將式（20）和式（21）代入式（19）中整理可得

由雙曲正切函數(shù)的特性可知，當ex≠0時則有extanh（ex）＞0，可推出V˙≤0，因此，ex、ey、es、ec有界。根據(jù)式（3）可知vr、wr有界，且函數(shù)tanh（ex）∈（-1，1），因此，式（9）—式（10）中控制輸入v、w有界，由式（11）—式（14）可知有界，由此可得ex、ey、es、ec一致連續(xù)。對式（22）兩端同時積分有：

由式（23）可得

由于ex、ey有界且一致連續(xù)，可得有界且一致連續(xù)，根據(jù)引理1有：當t→∞時，有，則ex→0。由式（24）可知dt有界，因此，es∈L2，又∈L∞，由引理2可得：當t→∞時，有es→0，由三角函數(shù)性質可得ec→0或-2。當t=t1時，Lyapunov函數(shù)V在e（t1）=[0 0 0-2]T處的值V（t1）=2，由假設3可以看出V（t1）＞V（0）。由于V為單調非增函數(shù)，則對任意t1有V（0）≥V（t1），與上文矛盾，因此，ec只能收斂至0。

由于ex、ey、es、ec一致連續(xù)，可得k3es一致連續(xù)，則有一致連續(xù)，根據(jù)式（13）一致連續(xù)。由于es（t）存在且有界，且一致連續(xù)，根據(jù)引理1可得（t）=0。結合式（13）得

由于t→∞時ec（t）+1收斂至1，則由式（15）得，由此可得當t→∞時有ey→0。

綜上所述，跟蹤誤差ex、ey、es、ec收斂到0。

由式（3）和式（8）—式（10）可得：

因此，v，w滿足約束（8）。

3 仿真與實驗

3.1 仿真驗證

為了驗證所設計控制器的有效性，本文通過Matlab進行仿真驗證，并與文獻[12]中普通的基于機器人四階運動學模型的控制器進行對比。

令移動機器人做半徑r=1的圓周運動，參考速率vr=0.2 m/s，wr=0.2 rad/s，速度上限cv=0.7 m/s，cw=2 rad/s。通過式（15）—式（17）可確定參數(shù)k1、k2、k3的取值范圍，在范圍內經(jīng)過多次實驗選取較為理想?yún)?shù)k1=0.45、k2=0.1、k3=0.6，在初始位姿（x0，y0，s0，c0）=（0.6，-0.6，0，0）下進行軌跡跟蹤仿真。對于文獻[12]中提出的控制器，選定參數(shù)a=5，kx=1.6，k=29，ks=4.2，給定相同的期望軌跡進行跟蹤控制。2種方法的仿真結果如圖2—圖5所示。

由圖2可以看出，2種方法都可以使機器人短時間內跟蹤上給定軌跡圓。由圖3和圖4可以看出，本文控制方法可以將移動機器人線速度和角速度控制在給定范圍內，且變化平穩(wěn)；而參考文獻[12]方法控制的機器人速度前幾秒變化率較大，且啟動時線速度和角速度均超過給定界限，在實際機器人系統(tǒng)中很可能導致機器人失控。由圖5可以看出，兩種方法都能夠使位姿誤差均收斂至0并保持穩(wěn)定狀態(tài)，但文獻[12]方法控制的機器人的es、ec在前10 s變化幅度較大。