輸入受限輪式移動機器人軌跡跟蹤控制

師五喜，姜萬蕾，李寶全

（天津工業(yè)大學 控制科學與工程學院，天津300387）

近年來，隨著機器人技術的快速發(fā)展，輪式移動機器人在軍事、醫(yī)療、民生等領域發(fā)揮著重要作用。但由于輪式移動機器人系統(tǒng)是受非完整約束的多輸入多輸出非線性系統(tǒng)，如何設計精確穩(wěn)定的軌跡跟蹤控制器一直是國內外學者研究的熱點。目前，主要控制方法有滑模變結構控制方法[1-2]、反步法控制方法[3-4]、自適應控制方法[5-7]和智能控制方法[8-9]等。文獻[1]提出了一種可提高系統(tǒng)魯棒性、同時抑制信號抖振的自適應二階滑?？刂品椒?。為了克服機器人打滑引起的外部干擾，文獻[2]利用自適應滑?？刂品椒▉硪种萍袛_動，提高了軌跡跟蹤控制器的性能。文獻[3]提出了一種魯棒反步法控制器，有效抑制系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，同時降低了輪子側滑引起的擾動，但誤差的波動幅度較大。文獻[4]針對未知滑動參數(shù)下的機器人系統(tǒng)，設計了自適應反步法軌跡跟蹤控制器。文獻[5]在考慮了機器人受驅動器飽和約束和外部擾動的情況下，利用自適應神經(jīng)網(wǎng)絡控制方法對其進行漸近跟蹤控制。文獻[6]在機器人動力學參數(shù)不確定的情況下，基于Lyapunov直接法和反步法控制技術，提出了一種新型時變自適應控制器以解決機器人軌跡跟蹤問題。文獻[7]針對機器人受側滑引起的與狀態(tài)相關的運動學和動力學干擾問題，設計了一種模糊自適應軌跡跟蹤控制器。文獻[8]利用神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)逼近最優(yōu)控制律中的非線性函數(shù)，解決了系統(tǒng)中存在未知的時變參數(shù)和擾動情況下的軌跡跟蹤問題。文獻[9]提出了一種魯棒智能控制器，在系統(tǒng)參數(shù)未知、動力學模型未知和受擾情況下都能獲得較好的軌跡跟蹤控制效果。另外，文獻[10]提出了一種側滑狀態(tài)下，基于擾動觀測器的魯棒跟蹤控制器。文獻[11]通過提出一個受柔度參數(shù)影響的控制方案，來提高系統(tǒng)的魯棒性。

雖然以上方法都取得了較好的跟蹤控制效果，但均基于傳統(tǒng)的三階運動學模型進行控制器設計，此模型中機器人位姿和誤差模型之間不是一一對應關系。文獻[12]提出了一種新的四階運動學模型，并設計軌跡跟蹤控制器，很好地解決了位姿和誤差模型之間的一一對應關系問題。但以上這些方法均只考慮了系統(tǒng)的軌跡跟蹤問題，并未考慮實際系統(tǒng)中的輸入受限問題。由于輪式移動機器人車輪的執(zhí)行電機轉矩大小是受約束的，因此，機器人運動過程中的線速度和角速度是有一定限制的，如果不考慮實際控制輸入的約束，可能會降低控制性能甚至導致系統(tǒng)失穩(wěn)。文獻[13-15]設計了飽和約束下的軌跡跟蹤控制器，但這些方法均基于傳統(tǒng)的三階運動學模型。

本文受文獻[12]的啟發(fā)，利用輪式移動機器人四階運動學模型設計了軌跡跟蹤控制器，該控制器可使閉環(huán)系統(tǒng)所有信號有界，跟蹤誤差收斂到0，同時還能保證線速度和角速度有界受限。并通過仿真和Quanser QbotII平臺實驗驗證了本文方法的有效性。

1 問題描述

本文的研究對象為雙輪驅動輪式移動機器人，在全局坐標系XOY和機器人局部參考坐標系XcOcYc下，其模型如圖1所示。圖1中，（x，y）表示質心P在全局坐標系XOY下的坐標值；θ表示機器人的方向角；v表示機器人的線速度；w表示機器人的角速度。

圖1 雙輪驅動輪式移動機器人模型Fig.1 Model of two-wheel driven mobile robot

輪式移動機器人當前時刻位姿可用向量q=[x，y，θ]T表示，其運動學模型可表示為：

假設1[16]輪式移動機器人參考位姿向量qr=[xr，yr，θr]T，則其期望軌跡可表示為：

式中：vr為機器人期望線速度；wr為機器人期望角速度。

假設2機器人期望速度滿足如下條件：

式中：cv、cw均為正常數(shù)。

根據(jù)機器人當前位姿和參考位姿可得到三階位姿誤差方程為[16]：

由于在以上三階誤差模型中，機器人位姿和誤差模型之間的轉換關系不是一一對應的，文獻[12]提出了一種新的四階運動學模型，該模型通過將三階運動學模型中的θ替換成2個新變量s（t）=sin θ和c（t）=cos θ，可得到新的四階運動學模型為：

定義新的誤差變量如下：

對式（6）求導并結合式（2）和式（5），可得機器人位姿誤差的動態(tài)方程為：

2 控制器設計

本文的控制目標是通過設計機器人運動學控制器，使機器人能夠跟蹤期望軌跡且使控制輸入滿足如下約束：

為此設計如下的控制律

式中：參數(shù)k1、k2、k3均為正常數(shù)。為了便于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，定義ec=ecos-1，將其與式（9）和式（10）代入到式（7）中，可得閉環(huán)系統(tǒng)的誤差方程為：

定理1若參數(shù)k1、k2、k3滿足以下條件：

且移動機器人滿足假設1和假設2，則控制輸入式（9）和式（10）可使閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號有界，跟蹤誤差ex、ey、es、ec收斂到0，且v，w滿足約束（8）。

為了便于定理證明，首先引入2個引理：

引理1（Barbǎlat′s Lemma）[17]若（τ）dτ存在且有界，函數(shù)（ft）一致連續(xù)，則（ft）=0。

引理2[18]若函數(shù)f（t）滿足f∈L2∈L∞，則有（ft）=0。

假設3 V（0）＜2，其中V（t）如式（18）所示。

注1：由于初始值是設計者取定的，因此，以上假設是可實現(xiàn)的。

定理1證明選擇如下的Lyapunov函數(shù)：

對式（18）求導可得

根據(jù)式（11）和式（12）有

根據(jù)式（13）和式（14）有

將式（20）和式（21）代入式（19）中整理可得

由雙曲正切函數(shù)的特性可知，當ex≠0時則有extanh（ex）＞0，可推出V˙≤0，因此，ex、ey、es、ec有界。根據(jù)式（3）可知vr、wr有界，且函數(shù)tanh（ex）∈（-1，1），因此，式（9）—式（10）中控制輸入v、w有界，由式（11）—式（14）可知有界，由此可得ex、ey、es、ec一致連續(xù)。對式（22）兩端同時積分有：

由式（23）可得

由于ex、ey有界且一致連續(xù)，可得有界且一致連續(xù)，根據(jù)引理1有：當t→∞時，有，則ex→0。由式（24）可知dt有界，因此，es∈L2，又∈L∞，由引理2可得：當t→∞時，有es→0，由三角函數(shù)性質可得ec→0或-2。當t=t1時，Lyapunov函數(shù)V在e（t1）=[0 0 0-2]T處的值V（t1）=2，由假設3可以看出V（t1）＞V（0）。由于V為單調非增函數(shù)，則對任意t1有V（0）≥V（t1），與上文矛盾，因此，ec只能收斂至0。

由于ex、ey、es、ec一致連續(xù)，可得k3es一致連續(xù)，則有一致連續(xù)，根據(jù)式（13）一致連續(xù)。由于es（t）存在且有界，且一致連續(xù)，根據(jù)引理1可得（t）=0。結合式（13）得

由于t→∞時ec（t）+1收斂至1，則由式（15）得，由此可得當t→∞時有ey→0。

綜上所述，跟蹤誤差ex、ey、es、ec收斂到0。

由式（3）和式（8）—式（10）可得：

因此，v，w滿足約束（8）。

3 仿真與實驗

3.1 仿真驗證

為了驗證所設計控制器的有效性，本文通過Matlab進行仿真驗證，并與文獻[12]中普通的基于機器人四階運動學模型的控制器進行對比。

令移動機器人做半徑r=1的圓周運動，參考速率vr=0.2 m/s，wr=0.2 rad/s，速度上限cv=0.7 m/s，cw=2 rad/s。通過式（15）—式（17）可確定參數(shù)k1、k2、k3的取值范圍，在范圍內經(jīng)過多次實驗選取較為理想?yún)?shù)k1=0.45、k2=0.1、k3=0.6，在初始位姿（x0，y0，s0，c0）=（0.6，-0.6，0，0）下進行軌跡跟蹤仿真。對于文獻[12]中提出的控制器，選定參數(shù)a=5，kx=1.6，k=29，ks=4.2，給定相同的期望軌跡進行跟蹤控制。2種方法的仿真結果如圖2—圖5所示。

由圖2可以看出，2種方法都可以使機器人短時間內跟蹤上給定軌跡圓。由圖3和圖4可以看出，本文控制方法可以將移動機器人線速度和角速度控制在給定范圍內，且變化平穩(wěn)；而參考文獻[12]方法控制的機器人速度前幾秒變化率較大，且啟動時線速度和角速度均超過給定界限，在實際機器人系統(tǒng)中很可能導致機器人失控。由圖5可以看出，兩種方法都能夠使位姿誤差均收斂至0并保持穩(wěn)定狀態(tài)，但文獻[12]方法控制的機器人的es、ec在前10 s變化幅度較大。

圖2 機器人軌跡跟蹤曲線對比Fig.2 Comparison of trajectory tracking curve of robot

圖3 機器人線速度曲線對比Fig.3 Comparison of line velocity curve of robot

圖4 機器人角速度曲線對比Fig.4 Comparison of angular velocity curve of robot

圖5 機器人位姿誤差曲線對比Fig.5 Comparison of position error curve of robot

3.2 實驗驗證

本文利用Quanser QbotII實驗平臺進行算法驗證，實驗所用機器人如圖6所示。

圖6 實驗平臺Fig.6 Experiment platform

設定參考速度vr=0.2 m/s、wr=0.2 rad/s，速度上限cv=0.7 m/s、cw=2 rad/s。經(jīng)多次實驗，選取可獲得較好實驗效果的控制器參數(shù)k1=0.35、k2=2.5、k3=0.5，實驗結果如圖7—圖9所示。

由圖7—圖9可知，將本文所提出的控制器應用在實際系統(tǒng)中時，移動機器人能夠跟蹤上期望軌跡，且線速度和角速度都能限制在給定范圍內。

圖7 軌跡跟蹤Fig.7 Diagram of trajectory tracking

圖9 角速度曲線Fig.9 Curve of angular velocity

圖8 線速度曲線Fig.8 Curve of line velocity

4 結論

本文基于移動機器人四階運動學模型，提出了可以使機器人速度受限的軌跡跟蹤控制方法。研究結果表明：

（1）本文所設計的控制律，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定，能夠使輪式移動機器人跟蹤到預設的期望軌跡，跟蹤誤差ex、ey、es、ec收斂到0。

（2）通過設定控制器的控制參數(shù)k1、k2、k3，可以限制輪式移動機器人的線速度v和角速度w在給定范圍內，即|v|≤cv，|w|≤cw。

下一步的工作是在現(xiàn)有速度受限的基礎上，對移動機器人進行加速度受限時軌跡跟蹤控制的研究。