體驗(yàn)與思考并重，內(nèi)外兼修培量感
——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生量感的培養(yǎng)策略

四川省成都市建設(shè)路小學(xué) 何 辛

生活中有很多與數(shù)學(xué)息息相關(guān)的“量”，如購(gòu)物需知道價(jià)格、導(dǎo)航會(huì)提示距離、駕駛汽車要控制速度、日常生活要遵循時(shí)間……而量感主要是對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀感知。由于這部分知識(shí)在小學(xué)教材中篇幅較少，并以螺旋式上升的形式分散出現(xiàn)，且這些知識(shí)具有抽象、非標(biāo)準(zhǔn)化的特點(diǎn)，量感的培養(yǎng)在教學(xué)中往往缺乏足夠的重視，相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)效果也常常不盡如人意。比如，學(xué)生盲選度量單位、數(shù)與量的匹配脫離實(shí)際、不能準(zhǔn)確使用度量工具、缺乏估測(cè)經(jīng)驗(yàn)等。隨著新課標(biāo)的出臺(tái)，廣大教師應(yīng)在其引領(lǐng)下，從這些問(wèn)題的源頭入手，深刻解讀、剖析教材，挖掘知識(shí)間的聯(lián)系，尋找共性，精選、重組素材，搭建起量感培養(yǎng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)；設(shè)計(jì)開展豐富的活動(dòng)，與真實(shí)世界現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)聯(lián)，凸顯發(fā)展量感的價(jià)值，讓學(xué)生的量感真正建立培養(yǎng)起來(lái)，并內(nèi)化于心。

一、多元體驗(yàn)，建立量感

對(duì)于“量感”，有這樣一種定義：不使用測(cè)量工具對(duì)某個(gè)量的大小進(jìn)行推斷，或推斷用某個(gè)計(jì)量單位表示的量與哪個(gè)實(shí)際物體的大小、長(zhǎng)短、輕重相吻合的一種感覺。如果說(shuō)數(shù)感被描述為有六要素——數(shù)的意義、表示、關(guān)系、運(yùn)算、估算和問(wèn)題解決，那么與它相對(duì)，“量感”關(guān)注學(xué)生關(guān)于量的比較、意義和估計(jì)等方面的感悟。小學(xué)涉及量感的教學(xué)包含長(zhǎng)度、面積、體積、角度、質(zhì)量、時(shí)間、溫度、人民幣等，這些具體的量，有直觀可感的，也有抽象難解的。如何讓它們進(jìn)入學(xué)生的認(rèn)知，使量感得以建立？量感，離不開量（liánɡ）（度量），更離不開感（體驗(yàn)），需要在“感量”中培養(yǎng)“量感”。

（一）化抽象為形象可感

對(duì)于小學(xué)生而言，時(shí)間概念看不見、摸不著，且難以言傳，僅僅通過(guò)認(rèn)識(shí)鐘面的大小格、數(shù)字、指針是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。例如，教師在教學(xué)“認(rèn)識(shí)分和秒”時(shí)，以“1分有多久？能做多少事？”帶動(dòng)學(xué)生活動(dòng)——跳繩、拍球、讀書、寫字、算口算、摸脈搏、數(shù)心跳，全員參與，不亦樂(lè)乎。經(jīng)過(guò)這些充滿生機(jī)的親身體驗(yàn)，學(xué)生對(duì)于時(shí)間的認(rèn)識(shí)變得具象生動(dòng)，量感在親力親為的多感官參與中得以啟蒙。

還有些量感的建立，是比較抽象的。如質(zhì)量單位“千克與克”的學(xué)習(xí)，不能只依靠眼睛觀察，必須有肌肉感覺來(lái)參與覺知。所以，課堂上創(chuàng)設(shè)稱、掂、抱、找、猜等活動(dòng)，讓學(xué)生親身體驗(yàn)到1克、1千克的真實(shí)質(zhì)量，再逐步擴(kuò)大感知范圍，認(rèn)識(shí)幾克、幾千克，幾十克、幾十千克等，為后續(xù)噸的認(rèn)識(shí)做好鋪墊。在多次體驗(yàn)中，學(xué)生建立了豐富的質(zhì)量表象和標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量經(jīng)驗(yàn)，并用這種經(jīng)驗(yàn)去推測(cè)其他物品質(zhì)量，有效建立了量感。

（二）于平淡處見沖突

《史記》中說(shuō)“孔子身長(zhǎng)9尺6”，按1米約為3尺計(jì)算，也已經(jīng)超過(guò)3米，會(huì)讓人驚嘆“這么高，是真的嗎？”但仔細(xì)了解，商朝的1尺等于現(xiàn)在的16厘米，換算下來(lái)其實(shí)大約是153厘米。再比如，餐廳有7寸的比薩，裁縫制作腰圍2尺5寸的褲子，同樣的“寸”，長(zhǎng)度卻差不少。原來(lái)比薩用的是英寸，褲子用的是市寸，1英寸約為2.54厘米，1市寸（寸）約為3.33厘米。這些看似“司空見慣”的小細(xì)節(jié)，稍不留神就會(huì)被忽略。從中可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)度量單位五花八門、各行其道時(shí)，會(huì)給生活與交流造成極大的困惑與不便，所以很有必要進(jìn)行度量單位的統(tǒng)一。而一個(gè)基本計(jì)量單位不夠用時(shí)，還會(huì)根據(jù)需要衍生新的度量單位，成為一套套度量單位家族。

（三）估與測(cè)交替開展，以估帶測(cè)，以測(cè)促估，相輔相成

測(cè)量是重要的技能，目的得到精確的結(jié)果，而量感則要求在不借助工具的情況下對(duì)量有較準(zhǔn)確的感知，兩者各有側(cè)重，卻互為表里，相輔相成。建立良好的量感，就需要對(duì)量進(jìn)行多次嘗試估測(cè)，并尋覓合適的估測(cè)策略，不斷積累經(jīng)驗(yàn)提高精準(zhǔn)度。如估測(cè)教室長(zhǎng)多少米、估測(cè)國(guó)歌用時(shí)多少秒等，再實(shí)際測(cè)量加以驗(yàn)證。運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)繼續(xù)估測(cè)教室寬度、大樹高度等，并適時(shí)引入手機(jī)測(cè)距儀或?qū)Ш杰浖?，協(xié)助完成測(cè)量以驗(yàn)證估測(cè)的精準(zhǔn)度。估測(cè)的設(shè)計(jì)能極大地調(diào)動(dòng)起學(xué)生的參與熱情與興趣，經(jīng)過(guò)不斷調(diào)試，他們對(duì)長(zhǎng)度的感知會(huì)更為準(zhǔn)確。雖然估測(cè)活動(dòng)用時(shí)較多，但對(duì)發(fā)展學(xué)生的量感、數(shù)學(xué)理解、思維的靈活性有著重要的作用。因?yàn)樗枰獙W(xué)生在多次的估測(cè)活動(dòng)中逐步積累經(jīng)驗(yàn)，建立起數(shù)與量之間的聯(lián)系，再在具體經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上對(duì)結(jié)果進(jìn)行評(píng)估調(diào)整，進(jìn)一步加深數(shù)與量之間的聯(lián)系。

（四）標(biāo)準(zhǔn)單位與非標(biāo)準(zhǔn)參照物相聯(lián)動(dòng)

教學(xué)中，常?？吹綄W(xué)生不能準(zhǔn)確填寫合適的單位，亂點(diǎn)數(shù)與量匹配的“鴛鴦譜”，比如黃河全長(zhǎng)約5464（米）、長(zhǎng)白山主峰2691（千米）。雖然教師都非常重視“標(biāo)準(zhǔn)單位的建立”，例如教學(xué)“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度單位”，創(chuàng)設(shè)多元體驗(yàn)活動(dòng)幫助學(xué)生形成1米、1千米的表象，并強(qiáng)化對(duì)標(biāo)準(zhǔn)單位大小的感知。但是，對(duì)于超越學(xué)生感知的量，學(xué)生就難以想象，難以感覺量的大小，僅僅憑感知一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位并不足以幫助學(xué)生在生活中正確估測(cè)。所以實(shí)際估測(cè)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)單位不一定是最適宜的參照物，還需要與非標(biāo)準(zhǔn)參照物相聯(lián)動(dòng)，雙管齊下發(fā)揮參照作用。例如，學(xué)生在填寫單位表示黃河全長(zhǎng)和長(zhǎng)白山主峰高度時(shí)，可以參照成都市東郊記憶到人民公園的距離大約是8千米，珠穆朗瑪峰海拔大約是8844米。思考如下：黃河是我國(guó)第二長(zhǎng)河，支流貫穿9大省份，如果全長(zhǎng)為5464（米），還沒(méi)有東郊記憶（學(xué)校附近）到人民公園的距離長(zhǎng)，貫穿成都市都不能做到，所以不可能填“米”，應(yīng)該填“千米”。同理，如果長(zhǎng)白山主峰是2691（千米），即2691000米，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)世界最高峰珠穆朗瑪峰，這顯然是不對(duì)的?？梢?，有時(shí)選用學(xué)生身邊較熟悉的非標(biāo)準(zhǔn)量作為參照解決問(wèn)題，比用1米、1千米等標(biāo)準(zhǔn)單位作為參考更能幫助學(xué)生有效理解數(shù)量的實(shí)際意義與大小，幫助學(xué)生建立量感。

二、深入思考，發(fā)展量感

量感的培養(yǎng)需要豐富生動(dòng)的體驗(yàn)，但僅有淺層的體感上的體驗(yàn)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，更應(yīng)該有思維理性的深度參與。增加數(shù)學(xué)思考的含量，加強(qiáng)對(duì)測(cè)量本質(zhì)和原理的探索，才能真正發(fā)展學(xué)生的良好量感。比如通過(guò)推理計(jì)算和想象去認(rèn)知不可直接感知的較大量，思考度量物體不同屬性背后的原理是什么，探索為什么現(xiàn)有的度量單位是這樣的……

（一）借助數(shù)感、推理與想象

量感與數(shù)感息息相關(guān)，密不可分。如果只知道千米，不知道是多少千米，是無(wú)法形成關(guān)于千米的量感的。運(yùn)用“數(shù)+度量單位”，方能準(zhǔn)確表達(dá)量的大小，發(fā)展量感。

而遇到一些超越認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)且不能在課堂教學(xué)里直接體驗(yàn)的度量單位，比如“公頃和平方千米”的教學(xué)，則可以借助數(shù)感、推理和想象來(lái)進(jìn)行。學(xué)生完成前置作業(yè)——牽手圍一個(gè)邊長(zhǎng)近10米，面積約100平方米的正方形，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生想象100個(gè)這樣大面積的正方形就是1公頃。再聯(lián)系生活實(shí)際，學(xué)生身處其中的教室通常有50平方米左右，近200間這樣的教室總面積是1公頃。牽手所圍正方形與1公頃、教室與1公頃，大小對(duì)比鮮明，學(xué)生的空間想象在強(qiáng)烈的反差中打開了。雖然對(duì)于公頃這樣較大的面積單位，學(xué)生難以直接感知，但是將100平方米與1公頃的量感關(guān)系轉(zhuǎn)化成1與100的數(shù)感關(guān)系，學(xué)生就可以借助已有經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)合情推理和合理想象，將量感內(nèi)化于心。同理，平方千米的認(rèn)識(shí)也可以此類推。

二年級(jí)教材中有一個(gè)有意思的問(wèn)題：“你知道比毫米更小，比千米更大的長(zhǎng)度單位嗎？”學(xué)生提到了超級(jí)小的納米、超級(jí)大的光年。納米（Nanometer）是微觀長(zhǎng)度單位，單位縮寫為nm，其中字頭nano來(lái)源于希臘語(yǔ)，是侏儒的意思，1納米相當(dāng)于1毫米的一百萬(wàn)分之一。光年是天文學(xué)中使用的長(zhǎng)度單位，1光年是指光在真空中經(jīng)過(guò)1年走過(guò)的距離，約等于9.46萬(wàn)億千米。光1秒傳播距離相當(dāng)于繞地球7.5圈，光年的距離在地球上是不可想象的。像這樣完全超出了學(xué)生認(rèn)知范圍的量，我們只能借助于納米與毫米、光年與千米的推理?yè)Q算，來(lái)進(jìn)行想象，從而拓展數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生量感。

（二）度量單位溯源，感受量的歷史文化演變，提升量感

幾乎所有度量單位的產(chǎn)生和發(fā)展都經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的時(shí)間，承載了度量單位由多元到統(tǒng)一、由粗略到精細(xì)的發(fā)展過(guò)程。度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人創(chuàng)造出來(lái)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，是人認(rèn)識(shí)、理解、表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的工具。度量單位經(jīng)歷了長(zhǎng)久演變，才形成如今國(guó)際通用的標(biāo)準(zhǔn)形式。

課堂學(xué)習(xí)之余，常有學(xué)生思考“古代人用什么工具、什么單位進(jìn)行度量呢？”其實(shí)，量由體感而來(lái)。在古代，人們常以身體為尺。中國(guó)人“布手知尺”“身高為丈”“邁步定畝”；埃及人用“腕尺”；英國(guó)人以腳長(zhǎng)為英尺，以3粒最大的大麥粒并排一列長(zhǎng)為英寸。長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)的混亂，給溝通造成極大不便。直到統(tǒng)一度量衡，五花八門的標(biāo)準(zhǔn)才逐步退出歷史舞臺(tái)。但時(shí)至今日，世界上一些非國(guó)際單位的使用仍然相當(dāng)普遍。學(xué)生在計(jì)量單位的產(chǎn)生及演變的回溯中恍然大悟：原來(lái)統(tǒng)一度量單位與標(biāo)準(zhǔn)化度量所藏學(xué)問(wèn)深具價(jià)值。比如，通過(guò)了解米原器的產(chǎn)生，更讓學(xué)生意識(shí)到隨著科技的進(jìn)步，人類的度量會(huì)越來(lái)越精準(zhǔn)，誤差會(huì)越來(lái)越小，學(xué)生的量感也得以提升。再比如學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)人民幣，在無(wú)現(xiàn)金支付盛行的今天，學(xué)生很少接觸到真實(shí)的人民幣。因此，在課堂上組織開展人民幣的認(rèn)一認(rèn)、數(shù)一數(shù)、換一換等活動(dòng)，使學(xué)生興味盎然，將學(xué)生代入真切的生活體驗(yàn)，喚醒其潛在的量感。還可以通過(guò)云博物館，組織學(xué)生一起鑒賞我國(guó)歷史上曾出現(xiàn)的一些貨幣，并特別介紹世界最早使用的紙幣——交子，它出現(xiàn)在我們的家鄉(xiāng)——四川成都。伴著油然而生的自豪感，量感也得以在學(xué)生心中生根發(fā)芽。

（三）打破壁壘，尋找共性，建立知識(shí)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)是我們認(rèn)識(shí)世界的工具，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓。教師在對(duì)照復(fù)習(xí)長(zhǎng)度、面積、體積的教學(xué)中時(shí)，拋出問(wèn)題：“有人認(rèn)為長(zhǎng)度、面積、體積的測(cè)量道理是一樣的，你們是怎么想的？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)，不管測(cè)量以上的哪一個(gè)量，都是量、數(shù)有多少個(gè)度量單位，即度量單位的疊加，充分體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想。不僅如此，其實(shí)其他度量單位也一樣，甚至學(xué)法也可以相通，由“認(rèn)一認(rèn)”→“找一找”→“量一量”→“估一估”→“算一算”等，建立起培養(yǎng)量感的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)。

量與量各有其獨(dú)特的屬性，但它們之間也有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，因此有必要思考它們之間的關(guān)聯(lián)。比如，速度通過(guò)路程除以時(shí)間得到，度量單位也是路程單位除以時(shí)間單位；面積通過(guò)長(zhǎng)度乘長(zhǎng)度得到，度量單位則是長(zhǎng)度單位的平方。推理、歸納、對(duì)比等思維活動(dòng)的加入，有利于幫助學(xué)生找到各類度量單位的異同與聯(lián)系，不僅可以理清序列，更能夠明確各自屬性。而長(zhǎng)度與加法相聯(lián)系，面積與加法乘法相聯(lián)系，又體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，使量感的建立得到發(fā)展升華。

（四）巧借故事反轉(zhuǎn)，理解度量在生活中的實(shí)際意義

學(xué)生都喜歡聽故事，喜歡其中的跌宕起伏。因此學(xué)習(xí)了長(zhǎng)度的知識(shí)后，可以分享一則趣談。比如，中國(guó)火箭院的梁小虹問(wèn)潤(rùn)米咨詢創(chuàng)始人劉潤(rùn)：“你知道火箭直徑為什么是3.35米嗎？”劉潤(rùn)說(shuō)：“因?yàn)榛鸺\(yùn)輸靠火車。火車涵洞的寬度，決定了火箭的直徑。”梁小虹說(shuō)：“火車涵洞寬度是什么決定的？”劉潤(rùn)說(shuō)：“鐵軌寬度?！绷盒『缯f(shuō)：“那鐵軌寬度是什么決定的？”劉潤(rùn)說(shuō)：“馬屁股決定的。因?yàn)殍F軌寬度沿襲電車軌道寬度，電車軌道的寬度沿襲了馬車車輪的間距，馬車車輪的間距接近兩匹馬屁股的寬度。也就是說(shuō)，火箭的直徑，是由馬屁股的寬度決定的。”出其不意卻又在情理之中的答案，估計(jì)會(huì)讓學(xué)生爆發(fā)出陣陣笑聲。在開心學(xué)習(xí)中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)世界的事物竟有如此奇妙的聯(lián)系。

經(jīng)過(guò)種種體驗(yàn)和思考，學(xué)生必然能深深感受到度量的價(jià)值和意義，并在相關(guān)學(xué)習(xí)活動(dòng)之中，外感量的筋骨皮——數(shù)學(xué)現(xiàn)象表象，內(nèi)悟量的精氣神——數(shù)學(xué)思想方法，真正建立并發(fā)展良好的量感，內(nèi)化于心，外運(yùn)于行，內(nèi)外兼修，提高自身的核心素養(yǎng)，體會(huì)數(shù)學(xué)之趣、數(shù)學(xué)之美。