概念教學：感受 感知 感悟
——以“公頃的認識”教學為例

文 /沈瑾瑜

引 言

概念教學的核心是概括，將凝結在數學概念中的數學思維打開，以典型豐富的實例為載體，引導學生觀察、分析各事物的屬性，抽象概括共同本質屬性，歸納得出數學概念[1]。因此，概念教學必須以學生生活經驗為生長點，以學生已有知識結構為依托，把學生帶入問題中，讓學生在發(fā)現問題、解決問題的過程中理解數學知識的本質。下面，筆者以“公頃的認識”一課為例，談談對概念教學的幾點思考。

一、在遷移中感受

概念教學不僅是對概念本身的闡述與解釋，還是讓學生參與新知的發(fā)生、發(fā)展和形成的過程；不僅是知識再現的過程，還是學生發(fā)現的過程；不僅是對概念的記憶和理解，還是通過遷移運用，實現有意義的學習，最終以個體生成為落足點。概念教學更關注學生的體驗與情感，強調學生知識的自主建構。

在“公頃的認識”一課的教學中，建立公頃的概念是重中之重、難中之難。公頃是一個較大的土地面積單位，是對平方米這一面積單位的拓展延伸。之所以這樣說，是因為對于學生而言，公頃在日常生活中并不常見；而對于教師而言，很難找到或者制作出面積正好是1公頃的教具或學具。這與之前對較小面積單位的學習形成了鮮明的對比，學生不能通過視覺直接感受1公頃的大小，就很難建立起正確的表象。由此可見，要在學生頭腦中建立起公頃這種大面積單位的空間觀念，無論從教師教還是學生學的角度來看，都具有一定的難度。因此，教師不能僅從感官層面去教學，而應從思維層面深入教學，以學生的認知起點為切入口，讓學生通過類比與思考理解公頃這一概念。

在之前的教學中，教材借助正方形這一平面圖形，把面積與邊長對應起來，幫助學生認識了一些較小的面積單位，搭建起長度單位與面積單位的橋梁，聯結起一維圖形與二維圖形之間的關系?；趯W生學習面積單位的經驗，教師可以從學生已有的知識結構入手，把以往的學習方法遷移過來，借助正方形強化學生對面積單位的認識。

在實際教學中，教師可以通過帶領學生復習已學的面積單位，引導其將面積單位按照大小順序進行排列，幫助學生鞏固腦海中對面積單位的表象認識，為之后學習新面積單位做遷移準備。教師可以通過展示鳥巢、故宮、天安門廣場等圖片，引起學生的認知沖突，使學生意識到測量這些名勝古跡的面積，用已學的面積單位并不合適，讓學生產生了解新面積單位的需求，從而切入新課。比平方米更大的面積單位會讓學生不由自主地聯想到更大的正方形，所以教師可以長度單位和面積單位的聯系為切入點，讓學生猜一猜正方形的邊長可能是多少及面積單位會是什么，隨后告訴學生：“邊長為100米的正方形的面積是1公頃。”

在“公頃的認識”一課中，教材側重對概念的講解。在實際教學中，教師要緊扣學生知識的生長點與延伸點，借助知識的遷移規(guī)律，用聯系的觀點把抽象的數學概念與具象的圖形大小對應起來，把長度單位與面積單位有機統(tǒng)一，把知識結構轉化為認知結構，從思想與方法的角度審視概念教學，加深學生對概念的認識。

二、在體驗中感知

概念是思維加工的最終成果，它能抽象地反映客觀存在的本質特征。而感知體驗突出了個體對數學本質的關注，借助個人的感官和思辨獲取知識，不只停留于書面上的理論和他人的經驗。在教學過程中，教師可以提供典型而豐富的實例，引導學生通過觀察、分析、推理、概括、對比等方法，感知概念在現實生活中的多元表征，體會概念的本質屬性，進一步建立對概念的深層認識。

“公頃的認識”是一節(jié)概念課，是一種有意義的接受性學習，同時又具有探索性質。這節(jié)課教學的關鍵在于引導學生體會1公頃到底有多大。僅憑借幾個數據或教師的言語描述，學生只能淺顯地體會到公頃是個很大的單位，但是對公頃到底有多大、可以用什么實物進行類比，認識是十分模糊的。因此，要想讓學生建立比較具體的面積概念，教師就要聯系生活實際設計數學活動，讓學生在一次次的比較、估計和想象中切身體驗1公頃到底有多大。當然，這些活動必須圍繞公頃的概念，緊扣面積與對應正方形邊長的關系展開，讓學生估計面積的大小并將其與1公頃比較，在多次反復的探究中加深對1公頃大小的認識，建立1公頃的正確表象，提升空間觀念，激發(fā)參與數學活動的熱情和積極性。

公頃不像其他較小的面積單位可以用具體的物品來感知，因此學生對1公頃的感知要擺脫直接測量與感官上的限制，要聯系操場、校園等場地，通過與已知的面積單位對比，多角度地進行感知。以下四個教學環(huán)節(jié)可以逐步實現學生對此概念的理解。

（1）體驗公頃。在課前，教師可以借助學校場地，讓學生手拉手圍成一個正方形（每邊大約10人），討論并估算這個正方形的邊長與面積，然后通過實際測量驗證。在此基礎上，教師可以讓學生思考：多少個這樣的正方形的面積和大約是1公頃？通過對數據的比較與估算，學生可以體會到每邊擺放10個這樣的正方形，即邊長是100米的正方形的面積就是1公頃。借助圍正方形，學生想象“邊長10米，面積是100平方米的正方形土地”有多大，繼而再想象“邊長為100米，面積是10000平方米的正方形土地”有多大。這樣的教學過程把實際操作與書本知識緊密聯系起來，能夠幫助學生在實踐與理論之間架起橋梁，在圖形與概念之間建立聯系，在對比與估計中相互驗證，使學生創(chuàng)造性地進行空間想象和空間估計，自主形成正確的概念表象和空間記憶。

（2）實例感知。為了進一步鞏固“公頃”這一概念，教師可以利用學生熟悉的生活場地，如教室、操場、學校等，讓學生通過測量計算、查閱圖紙，明確其實際的面積大小，并與1公頃進行對比，然后讓學生描述多少個這樣的場地面積和是1公頃，或這樣的場地面積大約是幾公頃。這樣做的目的是引導學生通過將公頃與其他面積單位進行對比，確定公頃在諸多面積單位序列中的位置，建構公頃這一面積單位的表象，從而幫助學生在數理層面上將公頃與平方米建立聯系。

（3）嘗試轉換。完成上述教學活動后，教師可以回過頭來看示例問題，讓學生在選擇合適的面積單位后，嘗試比較四個景區(qū)面積大小。結合具體情況和數值，學生會選擇合適的單位，擺脫視覺感官的桎梏，合理想象并估計面積的大小，整體認識面積單位體系中的大小位次和彼此間的聯系。通過單位轉換，學生能將新知識與舊知識建立聯系，進一步感受到1公頃的實際大小。

（4）找尋公頃。教師可以通過展示并計算不同形狀圖形的面積，讓學生進一步體會不管是什么平面圖形，只要面積是10000平方米，就可以說它的面積是1公頃。換句話說，1公頃不是簡單地被描述成邊長為100米的正方形的面積，它不局限于某種固定的圖形形狀，本質上反映的是圖形面積的大小。隨后，教師可以讓學生回顧和估算生活中以公頃為單位的占地面積，進一步將數學抽象概念與現實生活聯系起來，加深學生的認知。

教學不僅僅是“告知”，還是對知識的探究、創(chuàng)造與再認識，更是對數學方法的喚醒、思考與高度總結。這一系列課堂活動都是在具體的生活情境中展開的，可以說，不同的數學情境催化了學生對概念本質屬性的認識。概念的學習是一個知識內化的過程，學生要不斷剝離具體的生活背景，擺脫感觀的局限，尋找知識之間的相關性，從多角度認識概念，從全方位感知概念。對于“公頃”概念的學習，就是把“數”和“形”有機結合，把長度單位與面積單位有機整合，把知識點串成線、連成片、織成網，不斷重構認知結構，不斷延伸認知邊界。

三、在應用中感悟

生活可以抽象出概念，概念也需要在生活中活化。引導學生運用所學的抽象知識解決現實生活中的具體問題，是數學教學的最終目的。數學概念是從生活實際中凝練出的抽象表達，因此在教學中教師必須聯系生活講數學，把生活經驗數學化，把數學問題生活化。另一方面，概念并不僅僅是書本上的幾個關鍵字詞，實際生活中的問題常常賦予了概念多樣的“外衣”，但是這些問題的本質就是某一知識點。因此，生活問題數學化是必不可少的，這一方面可以鞏固學生對概念的理解，另一方面可以檢測學生對概念的掌握程度。

在實際教學過程中，教師可以設計分層作業(yè)，通過基礎聯系、變式練習、綜合練習等方式，循序漸進，不斷加深學習難度，使概念的表象在學生頭腦中不斷明晰，讓學生將其與以往所學的知識相比較，發(fā)現知識點之間的區(qū)別與聯系，將知識點連成線、串成面、織成網，內化為自己的認識結構。

在“公頃的認識”一課中，教材采用基礎練習夯實基礎知識?；A練習往往注重對知識的直接運用。在基礎練習中，學生會利用對所學面積單位建立的表象，對具體情境進行“數學化”的判斷，對數學問題進行“數字化”的表達。

變式練習注重知識點的多元表征。在不同類型的問題中，知識點往往有著不同的表現形式，教師需要引導學生靈活運用已學知識解決實際問題。例如，探究公頃與平方米之間的關系，學生可以從概念入手，計算正方形的面積，由此自然而然地推算出1公頃=100×100=10000平方米，進一步驗證正方形邊長比與面積比之間的關系。在單位換算時，教師可以讓學生用簡短的語言總結出轉換方法，就是多寫或少寫幾個0或小數點向左或向右移動幾位……教師借助變式練習，可以提高學生對概念的掌握程度。

綜合練習是對所學知識的全面考查。通過練習，學生可以對相關知識進行復習鞏固，進一步加強對概念的認識，提高解題能力。例如，一個面積為1公頃的正方形苗圃，邊長各加長100米，面積增加多少公頃？可能有學生會誤認為增加了100×100=10000平方米=1公頃。這時，教師可以引導學生通過畫圖來讓題目中的條件和問題變得更加直觀。通過觀察可知，增加的部分是個不規(guī)則圖形，學生可將其分割成幾個部分，分別計算出各部分的面積，再求和計算出增加的面積即可；也可以用現在正方形的面積減去原來正方形的面積計算出增加的面積；還可以通過邊長比與面積比的關系算出增加的面積。無論采用哪種做法，學生都必須先推理出原來正方形的邊長為100米。教師可以通過展示不同的解法，引導學生從不同角度思考問題，使其在鞏固“公頃”概念的基礎上，進一步發(fā)散思維，體會數學學習的靈活與巧妙。

數學的生命力在于回歸生活的實際運用。在具體的問題情境中，學生必須敏銳捕捉有用的數學信息，提取出數學問題的核心，再從頭腦中檢索出相關的概念知識，進一步思考、探索和驗證。多次提取已經建立的概念表象，與相關概念知識進行比較區(qū)分，學生就能理解數學概念間的橫向聯系與縱向聯系，構建較為完整的知識網絡。

在“公頃的認識”一課中，教師可以借助豐富的感性材料，引導學生了解概念的多元表征，幫助學生建立正確的表象，抽象出概念的本質屬性，構建認知結構。通過真實體驗，學生能夠身臨其境；通過動態(tài)的呈現過程，學生能夠加深印象；通過填補思維環(huán)節(jié)，學生能夠實現對概念的再創(chuàng)造；通過將現有經驗和生活實際相結合，學生能夠將圖像感知提升為抽象概念，經歷從具體到抽象再回歸具體的過程，體會知識與知識之間的聯系，從而生成知識體系。

結 語

數學概念從本質上說是抽象的，其抽象程度通常比邏輯學更高一級。在概念教學中，教師必須緊扣概念的內涵，創(chuàng)設相關的生活情境，引導學生從情境中抽象出數學問題，在探索中歷經概念的形成與發(fā)展過程，逐漸明晰概念的本質特征。在深度認識概念內涵的基礎上，學生能夠形成更完善的認知結構，深度挖掘知識背后隱藏的思想方法并不斷遷移運用，從而提高數學學習能力。