巧借數(shù)形結(jié)合 優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)

文/王海燕

引言

數(shù)學(xué)用符號和數(shù)字描述數(shù)量關(guān)系和反映空間特征，看似簡單的符號和數(shù)字卻有著深?yuàn)W的意義，這也使得數(shù)學(xué)具有高度的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?。?shù)學(xué)對于以形象思維為主的小學(xué)生來說是一個(gè)挑戰(zhàn)。面對僵硬呆板的數(shù)學(xué)概念、公式、定理，學(xué)生常常不知所措。相對于枯燥的數(shù)學(xué)理論而言，圖形就顯得更加直觀，能夠增加學(xué)生對知識的直觀認(rèn)識。數(shù)形結(jié)合像一條紐帶，將直觀與抽象、感知與思維有效地連接在一起，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)如魚得水、如虎添翼，讓他們在數(shù)學(xué)知識的海洋里盡情遨游。

一、數(shù)形結(jié)合的思想概述

數(shù)與形是組成數(shù)學(xué)的基本元素，數(shù)學(xué)教學(xué)就是圍繞這兩個(gè)最古老的元素展開的。中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容就是這兩大部分。二者是你中有我、我中有你的關(guān)系。代數(shù)中的很多知識需要借助幾何圖形解決，幾何圖形也需要利用數(shù)量關(guān)系反映幾何特征。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中常常需要將兩者結(jié)合起來，形成一種思想方法，即數(shù)形結(jié)合，以此幫助學(xué)生更好地理解、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。根據(jù)數(shù)形結(jié)合的組成特點(diǎn)，它大致可分為以數(shù)解形和以形助數(shù)兩種情況。

所謂數(shù)形結(jié)合，就是通過數(shù)與形的有效轉(zhuǎn)化解決數(shù)學(xué)問題的思想。它可以使隱含的數(shù)量關(guān)系、抽象的數(shù)學(xué)符號、概括的數(shù)學(xué)語言直觀形象地展現(xiàn)出來，降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題用一種簡單直觀的方法高效解決，優(yōu)化學(xué)生的解題思路[1]。數(shù)學(xué)正是因?yàn)橛辛藬?shù)形結(jié)合才變“靜態(tài)”為“動(dòng)態(tài)”，變“無形”為“有形”，獨(dú)具魅力。

二、數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

（一）有助于拓展學(xué)生的思維能力

數(shù)形結(jié)合是代數(shù)與幾何的結(jié)合，學(xué)生利用圖形能夠直觀地反映數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型，使問題條件的顯現(xiàn)更加直觀形象，從而充分調(diào)動(dòng)其思維的積極性和主動(dòng)性。因此，教師不能將“數(shù)與形”思想剝離開來，也不能僅用抽象思維和形象思維中的某一類思維類型去審視數(shù)學(xué)知識。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的主要目的是將抽象的知識直觀化、具體化，促使學(xué)生的思維由具體向抽象過渡，拓展思維能力，掌握將抽象問題與具體形象相結(jié)合、相融合的技巧。

（二）有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

興趣在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著至關(guān)重要的作用，能夠激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，提高認(rèn)知能力。對于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)來說，激發(fā)興趣往往比傳授知識更重要。學(xué)生一旦對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣，就會(huì)全身心投入到學(xué)習(xí)中，效果自然有保證。傳統(tǒng)理論說教的教學(xué)模式常常讓學(xué)生叫苦不迭，因?yàn)樗麄兊某橄笏季S還處于形成階段。數(shù)形結(jié)合則不同，它可以使抽象的數(shù)學(xué)符號直觀化、具體化、形象化，使復(fù)雜的問題簡單化。問題簡單了，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣自然就有了。他們會(huì)覺得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不難，進(jìn)而樂學(xué)、愛學(xué)，越學(xué)越有意思，學(xué)習(xí)的自主性也會(huì)大大提升。

（三）有助于培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的習(xí)慣

數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用能夠幫助學(xué)生更加高效地解決問題。學(xué)生在品嘗成功的喜悅后會(huì)產(chǎn)生更加強(qiáng)大的學(xué)習(xí)動(dòng)力。他們會(huì)積極主動(dòng)地分析、探索問題，不再是被動(dòng)地接受知識，改變了傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)模式，消除對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的恐懼感，從而以積極的心態(tài)和飽滿的情緒投入到學(xué)習(xí)中。同時(shí)，學(xué)生在主動(dòng)探究過程中不斷挖掘?qū)W習(xí)潛力，其想象力和創(chuàng)造力都得到有效的提升。借助數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生可以進(jìn)行代數(shù)與空間的轉(zhuǎn)換，從而提高解題能力，這對提高教學(xué)質(zhì)量有著重要意義。

三、數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用策略

（一）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，理清數(shù)量關(guān)系

理解題目中的數(shù)量關(guān)系是解決問題的重要環(huán)節(jié)，一旦數(shù)量關(guān)系清晰明了，學(xué)生就能找到問題的突破口。但由于數(shù)學(xué)語言含蓄簡練，學(xué)生從有限的文字描述中很難提煉出各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，若用一般的思考方法很難發(fā)現(xiàn)解題線索。這時(shí)，教師就可以將數(shù)形結(jié)合運(yùn)用其中，引導(dǎo)學(xué)生“按圖索驥”，理清數(shù)量關(guān)系，突破重難點(diǎn)，使問題迎刃而解[2]。

例如，人教版數(shù)學(xué)六年級“分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題”一課中有這樣一道練習(xí)題：一堆煤用去后，又運(yùn)來8，原來這堆煤有多少噸？

（二）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，突破重點(diǎn)難點(diǎn)

小學(xué)生的抽象思維還有所欠缺，他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要有感性材料的支撐。數(shù)形結(jié)合是一種直觀形象的表達(dá)符號，能夠使抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題以一種直觀形象的方式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，刺激學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，突破教學(xué)重難點(diǎn)[3]。

計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，也是重要的模塊。學(xué)生的計(jì)算能力直接影響著他們對問題的分析和解決水平，可以說在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中時(shí)時(shí)刻刻都要用到計(jì)算。因此，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力就至關(guān)重要。但受傳統(tǒng)教學(xué)理念的影響，部分教師在計(jì)算教學(xué)中只注重對計(jì)算結(jié)果的探討，忽視算理，導(dǎo)致學(xué)生在計(jì)算中出現(xiàn)這樣或那樣的問題。殊不知，算理是計(jì)算的理論準(zhǔn)則，學(xué)生只有弄清算理才能確保計(jì)算結(jié)果正確。然而算理的推導(dǎo)、闡述錯(cuò)綜復(fù)雜，是教學(xué)的重難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，教師要善于借助數(shù)形結(jié)合這一思想方法，在直觀中加深學(xué)生對計(jì)算算理的理解。

例如，人教版數(shù)學(xué)六年級“分?jǐn)?shù)乘法”一課中有這樣一道練習(xí)題：“修一段路，每小時(shí)可以修小時(shí)可以修這段路的幾分之幾？”學(xué)生讀題理解題意，根據(jù)“工作時(shí)間×工作效率=工作總量”很快可以列出算式。學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)過“分?jǐn)?shù)與整數(shù)的乘法”，但仍無法推導(dǎo)出兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘的計(jì)算結(jié)果。這時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合推導(dǎo)最后的結(jié)果：將一張長方形紙的面積看作單位“1”，橫向平均分成2 份，涂出其中的1 份表示，再豎向平均分成5份，用不同的顏色涂出其中的3 份，兩種顏色重合的部分即為計(jì)算結(jié)果，由此，學(xué)生可以明顯地看出結(jié)果為，并總結(jié)出“分子乘分子、分母乘分母”的計(jì)算法則。數(shù)形結(jié)合思想可以使計(jì)算過程直觀呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，從而更好地理解計(jì)算算理。

最后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合談一談對于“分子乘分子、分母乘分母”的理解，學(xué)生們各抒己見。有的學(xué)生說：“先把長方形紙的面積看作單位‘1’，平均分成2份，取其中的1份，再把這1份看作單位‘1’，平均分成5 份，取其中的3 份。實(shí)際上，相當(dāng)于把原來的單位‘1’平均分成10 份，取其中的3 份。因此是分子與分子相乘，分母與分母相乘?！庇械膶W(xué)生說：“正是因?yàn)榉至嗽俜?，取了再取，才?dǎo)致乘積比原分?jǐn)?shù)小?！庇辛藬?shù)形結(jié)合的幫助，可以使學(xué)生對計(jì)算算理的內(nèi)涵和外延有深刻而全面的理解，有效地突破教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。

（三）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，拓寬解題思路

數(shù)形結(jié)合作為一種重要的思想方法，在解決問題中具有重要的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用，被稱為“看得見的思維”。數(shù)學(xué)是一門注重思維的學(xué)科。圖形能夠?yàn)樗季S提供支撐，使學(xué)生依托圖形獲得不同的認(rèn)知體驗(yàn)，得到不同的解題思路，最大限度地激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維。教師要學(xué)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖、線段圖等方法，尋求解決問題的多種方案，拓寬解題思路。

例如，在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)六年級“分?jǐn)?shù)乘法”中的例題“美術(shù)小組有25 人，比航模小組多，航模小組有多少人？”時(shí)，教師可以借助線段圖引導(dǎo)學(xué)生多角度思考，尋求多種解題方法，拓寬解題思路。首先找出單位“1”的量——航模小組，用一條線段表示并將其平均分為4 份，美術(shù)小組在單位“1”的基礎(chǔ)上多1份，按照相同的單位長度畫出5 個(gè)這樣的單位長度表示美術(shù)小組。學(xué)生從圖上可以得到不同的啟示。有的學(xué)生用份數(shù)解題，5 份的量是25 人，則每份人數(shù)為25÷5=5（人），航模小組有4份，因而人數(shù)為5×4=20（人）；有的學(xué)生用方程解題，從圖上可以看出美術(shù)小組的人數(shù)占航模小組人數(shù)的）。設(shè)航模小組的人數(shù)為x人，方程為；還有的學(xué)生從圖上找出等量關(guān)系：航模小組人數(shù)×（=美術(shù)小組人數(shù)，再利用逆運(yùn)算用除法列出算式，）。

若沒有數(shù)形結(jié)合這一思想方法，學(xué)生的思維就得不到發(fā)散，解題方法就僅僅局限于固定的模式，難以獲得對知識的全面理解，也不能對各個(gè)知識點(diǎn)展開縱橫交錯(cuò)的分析和建構(gòu)。而借助數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就不再是零敲碎打，而是系統(tǒng)化的，更有利于學(xué)生對知識的理解和把握。

（四）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)空間觀念

空間觀念是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，是對幾何物體形狀、特征、位置的表象認(rèn)知?？臻g觀念的培養(yǎng)需要教師為學(xué)生提供豐富的感性支撐，學(xué)生的感性認(rèn)知越豐富，越能建立幾何體的表象意象，從而發(fā)現(xiàn)幾何體的性質(zhì)、規(guī)律。數(shù)形結(jié)合可以讓學(xué)生在觀察、操作、想象等交流活動(dòng)中積累豐富的表象認(rèn)知，培養(yǎng)空間觀念，提升核心素養(yǎng)。

例如，人教版數(shù)學(xué)六年級（上冊）“圓柱體的體積”中有這樣一道練習(xí)題：有塊正方體的木料，它的棱長是5 分米，把這塊木料加工成一個(gè)最大的圓柱體，求這個(gè)圓柱的體積是多少立方分米？教師可以先讓學(xué)生拿出橡皮泥實(shí)際操作，初步建立相關(guān)模型，再讓學(xué)生在紙上畫出來，從而拓展解題思路，提高分析解決問題的能力。有了一系列的直觀操作，學(xué)生便找出了隱藏的條件，發(fā)現(xiàn)了圓柱體底面圓的直徑就是正方體的棱長，因此很快就得出了正確答案。

新課程改革背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)不再僅僅是教師講解、學(xué)生模仿的機(jī)械教學(xué)模式，而是倡導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作、實(shí)物觀察、抽象概括的新型教學(xué)模式，通過讓學(xué)生經(jīng)歷將具體問題簡化為數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)過程，使觀察物的整體模型儲(chǔ)存于腦海中形成印象從而高效解決問題。在境物交融中，學(xué)生參與過、經(jīng)歷過、思考過，從而使空間觀念在活動(dòng)體驗(yàn)中得以培養(yǎng)和形成。由此可見，數(shù)形結(jié)合的思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用，可以有效促進(jìn)新課程改革理念在數(shù)學(xué)教學(xué)中的落實(shí)。

結(jié)語

總之，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想體系中一顆耀眼的星星，它囊括了以形助數(shù)、以數(shù)輔形的方法。教師將其運(yùn)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，就等于為學(xué)生找到了攀登數(shù)學(xué)高峰的腳手架，可以使機(jī)械枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得簡單快樂，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力。小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該對數(shù)形結(jié)合這一思想方法的價(jià)值和功效進(jìn)行充分的研究，并能夠巧妙地運(yùn)用在教學(xué)中，更好地助力學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。