轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

文 /吳存寶

引 言

轉(zhuǎn)化思想是一種常見的數(shù)學(xué)思維。初中生在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，不僅可以快速找到解題的思路，還可以促進(jìn)數(shù)學(xué)邏輯思維的形成，對(duì)自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的發(fā)展及數(shù)學(xué)思維的形成產(chǎn)生積極的影響。

一、轉(zhuǎn)化思想方法概述

（一）基本內(nèi)涵

轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)的基本思想之一，轉(zhuǎn)化是客觀存在的，是主觀對(duì)客觀事物的反映。轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用頻率較高，在具體解題時(shí)可通過思維的轉(zhuǎn)化解決問題。數(shù)形結(jié)合思想能夠具體體現(xiàn)數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化。函數(shù)和方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、不等式之間的轉(zhuǎn)化，分類討論思想能夠體現(xiàn)局部和整體之間的轉(zhuǎn)化。上述思想類型便是轉(zhuǎn)化的具體形式。運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想需注意在量變的同時(shí)保證質(zhì)不變，這樣能夠保證轉(zhuǎn)化僅為恒等或等價(jià)變形。如果因?yàn)檗D(zhuǎn)化導(dǎo)致制約條件發(fā)生變化，取值范圍也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，此時(shí)便需進(jìn)行驗(yàn)證。教師在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想時(shí)，應(yīng)通過轉(zhuǎn)化思想來(lái)使學(xué)生變化思維角度，從問題的不同側(cè)面尋找相應(yīng)的解決方法。

（二）解決問題

除使用相關(guān)的定義和法則進(jìn)行解題之外，一般還需將題目的條件和結(jié)論進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，即將隱性轉(zhuǎn)為顯性，將分散轉(zhuǎn)為集中，將高次轉(zhuǎn)為低次，或者實(shí)現(xiàn)數(shù)與形、動(dòng)與靜、部分與整體等方面的轉(zhuǎn)化，達(dá)到解決問題的目的。在研究具體的學(xué)科問題時(shí)，轉(zhuǎn)化思想需依據(jù)下述原則。第一，將不熟悉或解答難度較高的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、解答難度較低的問題。第二，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題。第三，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題。第四，將一般問題轉(zhuǎn)為特殊問題。這樣能夠降低解決問題的難度。

轉(zhuǎn)化的內(nèi)涵比較豐富，等價(jià)和非等價(jià)、已知與未知、圖形與非圖形間均可進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而順利解決問題。學(xué)生在運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想時(shí)，需從多個(gè)角度和層面來(lái)看待問題，通過變化角度尋找更簡(jiǎn)單和直接的解題方法，發(fā)揮轉(zhuǎn)化思維的應(yīng)用價(jià)值。

（三）主要類型

1.類比的思想

類比，即把不同的兩個(gè)（兩類）對(duì)象進(jìn)行比較，根據(jù)兩個(gè)（兩類）對(duì)象在一系列屬性上的相似，由其中一個(gè)對(duì)象具有的其他的屬性，推出另一個(gè)對(duì)象也具有相似的其他屬性，它的本質(zhì)是“轉(zhuǎn)化”。用類比思想解決問題，是初中數(shù)學(xué)的常見教學(xué)方式[1]。

2.分解的思想

化繁為簡(jiǎn)、化整為零，這是分解思想的本質(zhì)。利用分解的思想，能夠?qū)⒉襟E繁多、思路復(fù)雜的問題簡(jiǎn)化為多個(gè)形式和結(jié)構(gòu)單一的簡(jiǎn)單問題，對(duì)其逐一解答，達(dá)到解決困難題目的目的。這種教學(xué)方式有利于培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)解題思維，并且通常被應(yīng)用于分解因式、拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)等做題步驟中。

3.語(yǔ)言的思想

數(shù)學(xué)語(yǔ)言與生活用語(yǔ)有所差異。將生活用語(yǔ)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系抽象出來(lái)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以闡釋，便是運(yùn)用語(yǔ)言思想解決問題的過程。

4.等價(jià)的思想

等價(jià)思想源于類比思想。它是指將兩個(gè)性質(zhì)相同的事物進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從另一個(gè)角度解決問題。初中數(shù)學(xué)中等價(jià)思想主要體現(xiàn)在整式與無(wú)理式、四項(xiàng)運(yùn)算法則之間的轉(zhuǎn)換。

5.間接的思想

向問題中引入中介，并借助中介化繁為簡(jiǎn)，這就是間接思想在解題過程中的具體應(yīng)用。初中數(shù)學(xué)中間接思想主要體現(xiàn)在逆推法、換元法等解題方法中。

二、初中生數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思維能力現(xiàn)狀

（一）主動(dòng)思維的意識(shí)較弱

部分?jǐn)?shù)學(xué)教師受應(yīng)試教育的影響，對(duì)學(xué)生的思維能動(dòng)性重視程度不足，教學(xué)手段較為單一和落后。這不但無(wú)法充分發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用，同時(shí)也難以深度挖掘?qū)W科知識(shí)，不能為學(xué)生創(chuàng)建相對(duì)融洽的學(xué)習(xí)氛圍。學(xué)生沒有自主思考和分析的空間，因此便逐漸放棄鍛煉自身分析和歸納等思維能力。

（二）缺少思維的實(shí)踐機(jī)會(huì)

部分?jǐn)?shù)學(xué)教師側(cè)重發(fā)揮自身的主導(dǎo)作用，將師生雙向活動(dòng)變成教師自主講解的單向活動(dòng)。學(xué)生無(wú)法獲得發(fā)揮自主能動(dòng)性的機(jī)會(huì)，只能以被動(dòng)的狀態(tài)接受知識(shí)，導(dǎo)致在面對(duì)具體問題時(shí)無(wú)從下手。

（三）使用的解題方法缺乏靈活性

部分學(xué)生在對(duì)例題進(jìn)行感知和分析時(shí)，無(wú)法形成思考和解答問題的基本策略，難以準(zhǔn)確分析問題的條件和要求之間的關(guān)系，無(wú)法找到正確的解題思路。尤其針對(duì)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生不能進(jìn)行知識(shí)遷移，難以使用靈活有效的解題方法來(lái)處理。以“全等三角形判定”的學(xué)習(xí)活動(dòng)為例，判定三角形全等可運(yùn)用多種方式，但學(xué)生在處理具體問題時(shí)，難以依據(jù)具體的要求靈活運(yùn)用相應(yīng)的判斷方法。究其原因，在于學(xué)生運(yùn)用多種判斷方法時(shí)缺乏靈活性。

（四）綜合歸納的能力較低

數(shù)學(xué)知識(shí)之間具有較為緊密的關(guān)系，可形成一個(gè)綜合有機(jī)整體。在解答包含多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的問題時(shí)，學(xué)生需運(yùn)用不同的策略和方法。而學(xué)生在此方面的能力較低，無(wú)法進(jìn)行綜合歸納和推理，因此難以順利解答問題。

針對(duì)以上情況，教師需提高對(duì)學(xué)生轉(zhuǎn)化思維能力培養(yǎng)的重視程度，盡量為學(xué)生提供適合的鍛煉機(jī)會(huì)，讓學(xué)生靈活轉(zhuǎn)化思維，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)提高解題的靈活性與準(zhǔn)確性，實(shí)現(xiàn)學(xué)科能力的提高。

三、利用轉(zhuǎn)化思想解答問題的策略

（一）化生為熟進(jìn)行解答

知識(shí)的理解、記憶和升華源自積累和大量練習(xí)，學(xué)習(xí)的目的在于將陌生的知識(shí)轉(zhuǎn)化為自身熟悉的語(yǔ)言并加以記憶。因此，面對(duì)煩瑣、復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題，初中生應(yīng)具備自主思考與主動(dòng)探究的意識(shí)，借助課堂所學(xué)知識(shí)將困難題目進(jìn)行劃分，即使用“轉(zhuǎn)化思想”化繁為簡(jiǎn)，將復(fù)雜的解題步驟轉(zhuǎn)變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)單一、思路清晰的數(shù)個(gè)簡(jiǎn)單問題。初中教師在引導(dǎo)學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想解決問題時(shí)，應(yīng)及時(shí)了解學(xué)生的解題進(jìn)展，并適時(shí)進(jìn)行鼓勵(lì)，培養(yǎng)其不畏艱難、勇于挑戰(zhàn)的精神[2]。

例如，在講授“二元一次方程組”一課時(shí)，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生使用轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜的二元一次方程組轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于解答的一元一次方程。同時(shí)，對(duì)于不畏困難、努力探索解題方法的學(xué)生，教師應(yīng)適時(shí)鼓勵(lì)；對(duì)于思維較為開闊、已經(jīng)能夠巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決問題的學(xué)生，教師應(yīng)對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步的引導(dǎo)。比如，在解答“已知二元一次方程組求x，y的值”這道題時(shí)，教師就可以使用轉(zhuǎn)化思想。首先，第一個(gè)方程可以轉(zhuǎn)化為x=y+5，即用關(guān)于y的一元一次等式表達(dá)x。因?yàn)閮蓚€(gè)方程式中的x代表相同的數(shù)值，所以可以將x=y+5代入4x-7y=16，即得出4(y+5)-7y=16，如此就將本題轉(zhuǎn)變成了關(guān)于y的一元一次方程。

綜上所述，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)充分利用轉(zhuǎn)化思想，幫助學(xué)生解決較為復(fù)雜、煩瑣的數(shù)學(xué)難題。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想化繁為簡(jiǎn)，將復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化。

（二）化零為整進(jìn)行解答

復(fù)雜的題目中通常蘊(yùn)含著一定的數(shù)學(xué)規(guī)律，并且這些規(guī)律常常隱藏在題目中的局部細(xì)節(jié)，對(duì)整體的解題方式產(chǎn)生影響。因此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生挖掘題目的細(xì)節(jié)，并探索細(xì)節(jié)與整體的關(guān)系，進(jìn)而使用轉(zhuǎn)化思想將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化?！盎麨榱恪彼枷胧墙鉀Q數(shù)學(xué)問題的重要方式之一，對(duì)初中生今后更加深入地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有重要作用?；麨榱闶且环N重要的解題思路，并非局限于數(shù)學(xué)難題，同樣適用于范圍更廣、形式更復(fù)雜的生活問題。

例如，在解答問題“若2x-y=1，則-8x+4y+2014等于多少”時(shí)，教師就可以借助化整為零的轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)學(xué)生。根據(jù)2x-y=1，可以得出4(-2x+y)=-4，即無(wú)須求得x和y的具體數(shù)值，將所求表達(dá)式用已知表達(dá)式進(jìn)行表達(dá)。將前者代入后者可得出，4(-2x+y)=-8x+4y=-4，加上2014即得2010。在解決這道題目的過程中，就運(yùn)用了化零為整的轉(zhuǎn)化思想。

（三）化繁為簡(jiǎn)進(jìn)行解答

化繁為簡(jiǎn)是轉(zhuǎn)化思想最為普遍的體現(xiàn)方式，并且這種思維方法理解難度低，因而容易被初中生接受。初中數(shù)學(xué)教師在引導(dǎo)學(xué)生采取化繁為簡(jiǎn)思維解答問題的過程中，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生從題目本身入手，挖掘其背后蘊(yùn)藏的規(guī)律，并按照規(guī)律簡(jiǎn)化題目。這種解題思維對(duì)學(xué)生的全局意識(shí)要求較高，并且還需要學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式具備一定的敏感性，認(rèn)真觀察和挖掘題目中蘊(yùn)含的細(xì)節(jié)，尋找解決問題的切入點(diǎn)。

例如，在解答“(a-2)2-3(a-2)+2=0”這道一元二次方程題目時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用化繁為簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行解答，而非將二項(xiàng)式完全展開。通過細(xì)致觀察可以發(fā)現(xiàn)，(a-2)本身可以被視為一個(gè)整體，即將(a-2)用b代替，這個(gè)等式就變成了b2-3b+2=0，如此則將復(fù)雜的題目變成了簡(jiǎn)單的一元二次方程。然后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生采取分解因式的方法解題，將關(guān)于b的等式變化為b-1和b-2兩個(gè)單項(xiàng)式的乘積。得出b的數(shù)值后，再代入b=a-2，即可得出a的數(shù)值。同理，對(duì)于高次方程如a4-a2-6=0，也可以借助化繁為簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化思想即用b代替a2，將原式化簡(jiǎn)為b2-b-6=0，使其變?yōu)閎-3和b+2兩個(gè)單項(xiàng)式的乘積，從而得出答案。

（四）化同為殊進(jìn)行解答

化同為殊也是轉(zhuǎn)化思想在解決初中數(shù)學(xué)問題時(shí)的具體思維方式之一。在初中生解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，數(shù)學(xué)教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生引入化同為殊的思想，幫助他們“另辟蹊徑”。

例如，在解答題目“在三角形ABC中，AB邊長(zhǎng)為5，角B為60度，AC邊長(zhǎng)為7，求BC的邊長(zhǎng)”時(shí)，初中數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用化同為殊的解題思維。從上述數(shù)值可以看出，這個(gè)三角形并非特殊三角形，因此難以直接求出BC邊長(zhǎng)。此時(shí)，學(xué)生可以利用化同為殊的方式，將這一普通三角形轉(zhuǎn)化為特殊三角形，即直角三角形。首先，在BC邊上做一條連接A點(diǎn)并與BC邊垂直的輔助線，與BC邊相交于D點(diǎn)，將BC邊分為兩個(gè)部分，分別為BD和CD，這兩部分分別作為兩個(gè)直角三角形的直角邊。由于這兩個(gè)直角三角形共用一條直角邊即AD，因此學(xué)生很容易根據(jù)勾股定理求出其各個(gè)邊長(zhǎng)，得出BD和CD的數(shù)值后，將其相加即得出BC的長(zhǎng)度。

又如，面對(duì)涉及數(shù)值較多、較大的非零整數(shù)的棘手題目，使用常規(guī)四則運(yùn)算很難迅速得出答案，且容易計(jì)算錯(cuò)誤。如“計(jì)算59+599+5999+59999+599999”這道題目，學(xué)生如果使用傳統(tǒng)的四則運(yùn)算，不僅耗費(fèi)時(shí)間較多，且容易出錯(cuò)。此時(shí)，學(xué)生可以利用化同為殊的思維方式，將題目中的五個(gè)數(shù)字分別改寫成60-1、600-1、6000-1、60000-1、600000-1，并將其相加，再調(diào)換數(shù)字之間的位置，就可以將59+599+5999+59999+599999改寫為“60+600+6000+60000+600000-5”，如此便能迅速得出答案，即666655。由此可見，基于轉(zhuǎn)化思想的化同為殊思維方式能夠使學(xué)生迅速找到解決困難問題的捷徑，在提升解題速度的同時(shí)保證正確率。

（五）形數(shù)互變強(qiáng)化聯(lián)系

形數(shù)互變是指在一些數(shù)學(xué)問題中，需要進(jìn)行形和數(shù)互相轉(zhuǎn)化，做到“以數(shù)化形”和“以形變數(shù)”的結(jié)合。“數(shù)”和“形”這兩個(gè)概念，是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要內(nèi)容，“數(shù)”表示的是數(shù)量關(guān)系，“形”表現(xiàn)的是直觀的形象，將二者結(jié)合，可以把抽象思維和形象思維結(jié)合，找到題目的答案。數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢(shì)是取數(shù)之優(yōu)、揚(yáng)形之長(zhǎng)，做到“數(shù)量關(guān)系”和“空間形式”的呼應(yīng)。

例如，求下列數(shù)的絕對(duì)值：（1）-8；（2）a（a＜0）

分析：一些學(xué)生得出的答案是：（1）|-8|=8，（2）|a|=a。而學(xué)生給出這種答案，可見其對(duì)絕對(duì)值概念理解不深。學(xué)生如果可以正確畫出數(shù)軸的草圖，那么解題結(jié)果可能會(huì)有所改變。由于a是負(fù)數(shù)，所以其位置應(yīng)在數(shù)軸的左邊，這時(shí)候?qū)W生對(duì)“a是負(fù)數(shù)”的概念會(huì)有直觀的理解，那么再求a（a＜0）的絕對(duì)值，就不會(huì)給出答案a了。

結(jié) 語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)解題中引入轉(zhuǎn)化思想，可以幫助學(xué)生快速找到解題思路，也可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成，奠定初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。