張弛皆有度 動靜總相宜
——圓錐曲線中的調和平均問題初探

馮廣軍 郭琳芳

(廣東省深圳科學高中 518129)

圓錐曲線中蘊藏著豐富的規(guī)律，如定點與定值問題等.這些規(guī)律大多都反映了圓錐曲線中的一種動態(tài)而和諧的平衡，正是“張弛皆有度，動靜總相宜”，比如低調而絕妙的調和平均問題.

1 研教材，啟示多從教材來

(人教A版教材2019版第45頁)如圖1，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a，BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE，連結AD，BD.你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？

圖1

圖2 圖3

事實上，如果作出圓的另一條切線AM，易知點E即為過圓心的割線AC與切點弦DM的交點，一個自然的想法是：如果割線AC不過圓心，AE是否仍然是a，b的調和平均？結論是肯定的.

圖4

結論1 過圓O外一點P作圓O的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，過點P任作圓O的一條割線，交圓O于C，D兩點，交切點弦AB于點Q，則PQ為PD，PC的調和平均.

2 善變通，味道盡在類比中

圖5

該結論在雙曲線和拋物線中仍然成立，證明略.

結論2 過圓錐曲線E外一點P作E的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，過點P任作E的一條割線，交E于C，D兩點，交切點弦AB于點Q，則PQ為PD，PC的調和平均.

3 再尋覓，沿途處處有驚喜

圖6

對于雙曲線(交于同一支時的情形)和拋物線，可通過類似的證明過程得到這一結論，不再一一給出.

結論3 圓錐曲線的焦點弦的兩個焦半徑的調和平均是其通經(jīng)的一半.(雙曲線中的焦點弦是指過焦點的直線與雙曲線交于同一支的情形)

圖7

調和平均原本是統(tǒng)計學中的術語，是一種某一特定條件下的平均量，我們能在圓錐曲線中不斷發(fā)現(xiàn)它的存在，這為我們從多個角度去理解調和平均又打開了一扇門.或許數(shù)學的魅力也正在于此，而更多的美正等著我們去發(fā)現(xiàn)！