HPM視角下“三角形內(nèi)角和定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)

200336 上海市仙霞高級(jí)中學(xué) 許 意

HPM是指數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透.筆者通過查閱三角形內(nèi)角和定理的相關(guān)資料，采用HPM視角開展教學(xué)，重組教學(xué)內(nèi)容，重構(gòu)教學(xué)過程，借助數(shù)學(xué)史重現(xiàn)數(shù)學(xué)問題發(fā)現(xiàn)和解決的過程，幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)問題解決的一般規(guī)律.

一、 歷史材料及其運(yùn)用

公元前6世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯通過拼圖發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得采用過三角形一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊的平行線的方法，將三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角.現(xiàn)行教材(如滬教版七下教材、蘇科版七下教材、滬科版八上教材)也大多采用這樣的方法.除添平行線法以外，法國數(shù)學(xué)家克萊羅在《幾何基礎(chǔ)》中給出了證明三角形內(nèi)角和定理的另一種方法.德國數(shù)學(xué)家提波特首次利用旋轉(zhuǎn)方法證明了三角形內(nèi)角和定理.查閱資料后，筆者認(rèn)為證明方法大致可以分為添平行線法與不添平行線法.平行線的添加原理大致相同，學(xué)生較易理解，可以作為學(xué)生論證的基本方法.不添平行線的方法較難講解，可通過視頻資源和幾何畫板等現(xiàn)代教育技術(shù)手段輔助講解.本節(jié)課結(jié)合HPM的理論框架，運(yùn)用附加式、順應(yīng)式這兩種數(shù)學(xué)史教學(xué)方式，呈現(xiàn)知識(shí)形成的自然過程，幫助學(xué)生理解三角形內(nèi)角和定理.

二、 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

(一)三角形內(nèi)角和定理的發(fā)現(xiàn)

問題1三角形的三個(gè)內(nèi)角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

如圖1，教師邊講解邊使用幾何畫板演示三角形內(nèi)角和計(jì)算結(jié)果，使學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角和等于180°有直觀感受.

圖1

設(shè)計(jì)意圖：在小學(xué)階段，學(xué)生已認(rèn)識(shí)三角形，并了解三角形內(nèi)角和為180°.通過幾何畫板的操作演示，學(xué)生直觀感受到隨著三角形形狀的改變，三角形三個(gè)內(nèi)角的大小也會(huì)改變，不變的是三個(gè)內(nèi)角和始終為180°.演示過程符合該階段平面幾何學(xué)習(xí)以實(shí)驗(yàn)幾何為主的學(xué)習(xí)方式.

問題2是誰首先發(fā)現(xiàn)了三角形內(nèi)角和定理？

相傳，公元前6世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯在觀察工人裝修的過程中，通過觀察瓷磚的鋪設(shè)，發(fā)現(xiàn)了三角形內(nèi)角和為180°.

教師邊講述泰勒斯的故事，邊播放小視頻(視頻來源網(wǎng)站：嗶哩嗶哩，網(wǎng)址：https://www.bilibili.com/video/BV1j64y1Z7xk，圖2顯示了視頻的某一片刻).

圖2

設(shè)計(jì)意圖：有資料顯示，泰勒斯通過拼圖發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理.為使學(xué)生直觀感受泰勒斯的證明方法，筆者選用視頻資料演示證明過程.問題2中的證明采用實(shí)驗(yàn)論證的方法.該種證明方式還可以討論將六個(gè)同樣大小的等邊三角形轉(zhuǎn)化為六個(gè)同樣大小的等腰三角形，或者將其替換成不等邊三角形來拼圖的情況.泰勒斯的證明方法不作為重點(diǎn)，可以啟發(fā)學(xué)生課后思考與研究.

泰勒斯是西方思想史上第一位有記載有名字留下來的思想家，他曾利用日影測量金字塔的高度，泰勒斯定理以他命名……在視頻網(wǎng)站中，可以找到泰勒斯在數(shù)學(xué)方面劃時(shí)代貢獻(xiàn)的相關(guān)介紹，且有些視頻以動(dòng)畫形式呈現(xiàn)，在課堂上播放小視頻使數(shù)學(xué)史不再只是書本上的文字，真正實(shí)現(xiàn)搭建數(shù)學(xué)與人文、數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生探究的橋梁.

(二)三角形內(nèi)角和定理的證明

活動(dòng)1歷史上有多位數(shù)學(xué)家對(duì)三角形內(nèi)角和為180°進(jìn)行了研究.1809年，德國數(shù)學(xué)家提波特通過旋轉(zhuǎn)法證明了三角形的內(nèi)角和為180°.

教師通過視頻(圖3顯示了視頻的某一片刻)，演示旋轉(zhuǎn)法的證明過程：固定筆的中心，順時(shí)針或逆時(shí)針依次轉(zhuǎn)動(dòng)圖中∠1、∠2和∠3的相應(yīng)度數(shù).觀察三次轉(zhuǎn)動(dòng)后筆尖的方向，即可發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和為180°.

圖3

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)1基于提波特的證明法，該法符合學(xué)生實(shí)驗(yàn)幾何的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，即通過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等運(yùn)動(dòng)方式，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)和幾何圖形經(jīng)驗(yàn)，直觀感受幾何圖形的某些特性，并總結(jié)相關(guān)規(guī)律，從而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)結(jié)論進(jìn)行演繹推理，激發(fā)學(xué)生探究的興趣.

活動(dòng)2關(guān)于三角形內(nèi)角和為180°的證明，不得不提起一個(gè)人，大家對(duì)他并不陌生，他就是畢達(dá)哥拉斯.我們今天就來研究一下他的證明方法.

教師介紹，學(xué)生完成證明過程:

如圖4，在△ABC的頂點(diǎn)A作直線EF∥BC，由平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”證得.

圖4

∵EF∥BC(已知)，∴∠EAB=∠B,∠FAC=∠C(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角的意義),∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代換).

設(shè)計(jì)意圖：泰勒斯從拼圖的實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)了三角形內(nèi)角和，這樣的發(fā)現(xiàn)是實(shí)驗(yàn)性的，但他并未證明該定理.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在泰勒斯的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)了更多的幾何定理，如“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”及其逆定理.知道平行線的上述性質(zhì)，再證明內(nèi)角和定理就是水到渠成的事了.滬教版教材也采用了該方法進(jìn)行證明.同時(shí)，詳細(xì)講解畢氏證明法可以幫助學(xué)生理解歐幾里得、克萊羅的證明方式.

畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了奇數(shù)、偶數(shù)、素?cái)?shù)、合數(shù)、完美數(shù)等，他證明了三角形內(nèi)角和定理，他還發(fā)現(xiàn)了黃金分割.畢達(dá)哥拉斯在幾何、代數(shù)領(lǐng)域的卓越成就值得學(xué)生了解和學(xué)習(xí).在活動(dòng)2中，學(xué)生自主完成證明過程，融入古人的發(fā)現(xiàn)旅程，提升對(duì)數(shù)學(xué)史研究的興趣，感受與偉人同行的成就感.

活動(dòng)3畢達(dá)哥拉斯證明法的再探究

師：同學(xué)們，畢達(dá)哥拉斯的證明方法是過三角形的頂點(diǎn)作平行線，將三角形三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化成平角，證得三角形內(nèi)角和為180°.請思考，如果將過三角形一個(gè)頂點(diǎn)改為過三角形邊上的任意一點(diǎn)添平行線，還能證明三角形內(nèi)角和為180°嗎？

學(xué)生以小組為單位，討論過三角形一邊上的任意一點(diǎn)作平行線，口述證明過程.

已知：如圖5，點(diǎn)M為AB上的一點(diǎn)，請說明∠A+∠B+∠C=180°.

圖5

過AB邊上的一點(diǎn)M作EF∥AC,GH∥BC.∵EF∥AC，∴∠A=∠2，∵GH∥BC，∴∠B=∠GMB.又∵∠GMB=∠3，∴∠B=∠3.同理可得∠C=∠1.∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.

師：通過同學(xué)們的討論，我們發(fā)現(xiàn)過三角形邊上的任意一點(diǎn)作平行線，也能將三角形三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為平角，證得三角形內(nèi)角和為180°.我們是否可以進(jìn)一步將三角形三邊上的任意一點(diǎn)改為平面內(nèi)的任意一點(diǎn)進(jìn)行證明呢？

學(xué)生再次嘗試，并證得結(jié)論.

已知：如圖6，點(diǎn)M為平面內(nèi)的一點(diǎn)，請說明∠A+∠B+∠C=180°.

圖6

過平面內(nèi)任意一點(diǎn)M作EF∥AC,GH∥BC，PQ∥AB.∵GH∥BC，∴∠3=∠4，∵PQ∥AB，∴∠B=∠4，∴∠B=∠3.同理可得∠C=∠1,∠A=∠2.∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)3是整節(jié)課探究的重點(diǎn).通過對(duì)畢達(dá)哥拉斯證明方法的再探究，學(xué)生感受化歸數(shù)學(xué)思想的魅力.畢達(dá)哥拉斯證明法的再探究使學(xué)生感受從特殊到一般的研究方法.從特殊到一般的研究過程符合人類認(rèn)識(shí)事物的過程.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，無論是公式還是定理，往往都是從特殊開始形成一般結(jié)論，解決其他相關(guān)問題.活動(dòng)3中，從特殊點(diǎn)的添平行線法到平面內(nèi)任意一點(diǎn)添平行線的研究，學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角和定理產(chǎn)生更深層次的理解.

活動(dòng)3的設(shè)計(jì)使學(xué)生有更強(qiáng)的成就感.牛頓曾說：“我比別人看得遠(yuǎn)是因?yàn)槲艺驹诹司奕说募绨蛏?”如果數(shù)學(xué)課堂僅停留在對(duì)歷史證明方法的介紹上，這節(jié)課只能稱為數(shù)學(xué)史拓展課.HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)知識(shí)產(chǎn)生的歷史動(dòng)機(jī)與學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī).融入數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)教學(xué)意義在于教授學(xué)生如何學(xué)以及怎么學(xué).通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)古代數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生濃厚的興趣.從特殊到一般的證明過程也進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，所學(xué)即所用的方法使學(xué)生以數(shù)學(xué)獨(dú)有的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度研究數(shù)學(xué)問題.

(三)三角形內(nèi)角和定理的形成

教師板書三角形內(nèi)角和定理，并將定理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言.

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生認(rèn)識(shí)到三角形內(nèi)角和為180°后，教師自然地給出三角形內(nèi)角和定理，至此學(xué)生完成了概念的建構(gòu)和形成過程.

(四)三角形內(nèi)角和定理的鞏固與內(nèi)化

例題在△ABC中，∠B=35°，∠C=55°，求∠A的度數(shù)，并判斷△ABC的形狀.

練習(xí)五邊形ABCDE的內(nèi)角和等于多少度？你能運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理加以證明嗎？

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置例題的目的是為學(xué)生進(jìn)行示范，有利于學(xué)生的參與和探索，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的完整性；有利于培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力，使學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

練習(xí)題的設(shè)計(jì)建立在學(xué)生已有的認(rèn)知水平及知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，具有一定的挑戰(zhàn)性.引導(dǎo)學(xué)生通過聯(lián)結(jié)對(duì)角線，將五邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和進(jìn)行探究.將一個(gè)問題由難化易、由未知化已知的解題策略，旨在激發(fā)學(xué)生探究的欲望，讓學(xué)生體會(huì)化歸的數(shù)學(xué)思想.

三、 教學(xué)設(shè)計(jì)立意解析

(一)HPM視角下教學(xué)內(nèi)容的再整合

三角形內(nèi)角和定理是平面幾何中最重要的定理之一.教材強(qiáng)調(diào)實(shí)驗(yàn)幾何中的操作部分，強(qiáng)調(diào)演繹推理，忽視結(jié)論發(fā)現(xiàn)的曲折過程，忽視數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的類比與歸納過程.數(shù)學(xué)本身在不斷發(fā)展(不斷發(fā)現(xiàn)問題并解決問題)的過程中得到完善.三角形內(nèi)角和定理本身有著悠久的歷史，有著眾多精彩的證明方法.在這節(jié)課中，筆者改變思路，將數(shù)學(xué)史融入三角形內(nèi)角和定理教學(xué)，與學(xué)生一同經(jīng)歷三角形內(nèi)角和定理的發(fā)現(xiàn)，探究不同的論證方法以及該定理的應(yīng)用，體驗(yàn)豐富的人文與歷史底蘊(yùn).

(二)HPM視角下教學(xué)手段的再整合

融入數(shù)學(xué)史的課堂需要學(xué)生知識(shí)體系的整合，還需要學(xué)生認(rèn)知體系的整合.因此，現(xiàn)代教育技術(shù)的加入改變了傳統(tǒng)授課模式，以動(dòng)態(tài)的形式精準(zhǔn)地表現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程.

例如，在對(duì)三角形三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系的探究中，選用幾何畫板度量三角形三個(gè)內(nèi)角的大小，既能使學(xué)生有直觀的感受，又能達(dá)到數(shù)形結(jié)合的目的.在介紹畢達(dá)哥拉斯生平故事時(shí)，筆者播放了網(wǎng)絡(luò)上查找到的動(dòng)畫視頻.視頻的播放使學(xué)生視覺與聽覺得以整合，增加書面材料的感染力，同時(shí)突破時(shí)間、空間上的局限，激發(fā)學(xué)生在課堂中的參與度與心理上的認(rèn)同感.又如，介紹1809年德國數(shù)學(xué)家提波特提出的旋轉(zhuǎn)法時(shí)，視頻資源使原本晦澀難懂的證明原理變得清晰易懂，將抽象的過程以簡單準(zhǔn)確的方式呈現(xiàn)，幫助學(xué)生理解該種方法的簡便性與可操作性.

筆者通過對(duì)數(shù)學(xué)史資料的查閱、網(wǎng)絡(luò)資源的查找，在三角形內(nèi)角和定理教學(xué)中，借助多媒體技術(shù)將數(shù)學(xué)史與教學(xué)內(nèi)容緊密結(jié)合，學(xué)生參與度高，學(xué)習(xí)的主體地位得到尊重.學(xué)生學(xué)習(xí)興趣高漲、學(xué)習(xí)氛圍濃厚，課堂教學(xué)效果顯著.與數(shù)學(xué)史相結(jié)合的課堂教學(xué)對(duì)教師自身素養(yǎng)的要求較高，在今后的教學(xué)中，如何將隱形的歷史融入顯性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，將是筆者繼續(xù)努力的方向.