基于我國實際工程場地的不同基本周期計算方法差異性研究

李明睿，李瑞山，袁曉銘，陳卓識

（中國地震局工程力學(xué)研究所地震工程與工程振動重點實驗室；地震災(zāi)害防治應(yīng)急管理部重點實驗室，黑龍江哈爾濱 150080）

引言

基本周期是表征場地動力特性的最基本指標(biāo)，也是研究巖土地震工程中很多問題的基礎(chǔ)。歷次震害調(diào)查研究表明：局部場地條件對地震動特性以及震害嚴(yán)重程度有重要影響［1-2］。當(dāng)建筑物的自振周期與場地的基本周期相等或相近時，會引發(fā)強烈的共振作用，從而顯著增加建筑物的震動響應(yīng)和破壞程度。為了避免這類震害發(fā)生，應(yīng)使建筑物的自振周期盡可能避開場地的基本周期［3］，因此，選擇可靠的方法對場地的基本周期進行合理地估計便顯得十分重要。隨著巖土地震工程領(lǐng)域的學(xué)者們對場地放大效應(yīng)的研究越來越深入，發(fā)現(xiàn)地表30 m內(nèi)的等效剪切波速Vs30只能反映場地剛度的影響，而場地周期既能反映場地剛度的影響，還能考慮場地的覆蓋土層厚度的影響［4-5］，并且采用場地周期的單參數(shù)指標(biāo)相比Vs30而言能更好得表征場地的放大作用［6-7］。

從工程波動理論來講，地震波從基巖向地表傳播的過程中，會在地層分界面存在不同程度的反射和透射現(xiàn)象，因此土層順序結(jié)構(gòu)的不同必然會導(dǎo)致場地動力特性的差異。從這個角度來講，可靠的場地周期估算方法應(yīng)該具備考慮土層順序結(jié)構(gòu)差異性的能力。本文將選取四種場地周期估算方法來檢驗其在我國實際工程場地中的適用性。由于成層場地的基本周期往往很難給出解析表達，所以在研究中通常采用數(shù)值掃頻的方法來獲得，并以此作為檢驗標(biāo)準(zhǔn)。不同頻率荷載輸入下，場地效應(yīng)傳遞函數(shù)表達式為［8］：

式中：ω為頻率；ω0和ξ分別為場地基頻（與基本周期對應(yīng)的圓頻率）和阻尼比。圖1給出了式（1）典型的頻響曲線，從圖中可以明顯看出：基頻附近的放大作用最強烈，頻響曲線的最高點所對應(yīng)的荷載頻率即為場地基頻，相應(yīng)周期即為場地基本周期。

圖1 典型成層場地頻響曲線Fig.1 Typical frequency response curve of layered soil site

本文以傳遞函數(shù)法結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，選取了子層周期求和法、子層周期貢獻系數(shù)法、簡化Rayleigh法以及逐層單自由度法，以我國605個實際工程鉆孔為標(biāo)本，對這四種方法的計算結(jié)果進行對比檢驗，就不同方法的偏差進行了深入分析，給出了其統(tǒng)計結(jié)果，并剖析了各方法應(yīng)用于實際工程場地的適宜性，為工程建設(shè)和后續(xù)的相關(guān)研究提供參考。

1 場地基本周期的計算方法

場地基本周期的計算方法較多，大致可以分為以下四類［9］：解析法、數(shù)值法、直接測定法以及簡化算法。解析法是根據(jù)波動方程推導(dǎo)出場地周期的理論解，目前只針對一些比較簡單的理想場地模型，難以在實際工程場地中使用。數(shù)值法通常是采用差分法或有限元法來計算場地的基本周期，雖然從理論上講這種方法可適用于各種場地，但對于絕大多數(shù)實際工程而言由于其繁冗復(fù)雜并不具備實際可操作性。直接測定法無需鉆孔的測試資料，通過分析觀測的地脈動等記錄來得到場地周期，但依賴觀測儀器的精準(zhǔn)性以及技術(shù)的可靠性，很難在實際當(dāng)中全面推廣。目前工程上一般采用基于土層剪切波速剖面的簡化計算方法。

本文選取的第一種方法是國內(nèi)外廣泛應(yīng)用的子層周期求和法，其具體表達見式（2）。從式中可以看出：該簡化算法通過將各子層周期簡單代數(shù)相加來獲得場地的基本周期，其無法考慮波速結(jié)構(gòu)對場地動力特性的影響，計算所得的場地周期不隨土層順序的改變而變化。

式中：T為場地基本周期；hi和vi分別為第i層土的厚度和剪切波速；N為場地土層層數(shù)。

事實上，土層順序結(jié)構(gòu)的改變會直接導(dǎo)致土層界面性質(zhì)發(fā)生變化，進而會對場地整體的動力特性產(chǎn)生影響［10］。為此，李瑞山等［11］從波動問題物理本質(zhì)出發(fā)，提取了阻抗比和周期比作為反映不同土層條件下場地周期變化規(guī)律的基本特征量，并闡述了其完備性。在此基礎(chǔ)上提出了子層周期貢獻系數(shù)的概念，建立了其與阻抗比和周期比之間的一般關(guān)系式，采用子層周期加權(quán)累加的方式形成了一套具有明確物理意義的成層場地基本周期估算新方法，本文稱為子層周期貢獻系數(shù)法，其初始條件和遞推公式表達分別為式（3）和式（4），最終形成的計算公式如式（5）：

式中：Ti和Ti-1分別為考慮全部i層土和全部i-1層土后場地的基本周期；Ti為第i子層按單層精確解公式計算得到的周期；χi為第i子層對場地基本周期貢獻系數(shù)，代表第i子層周期的真實參與比例。

此外，齊文浩等［12］基于單自由度體系振動理論，也提出了一種成層場地基本周期估算方法。該方法通過把水平成層場地逐層單自由度化，采用以深厚比加權(quán)的子層周期平方和開平方的形式，給出了如式（6）所表達的場地周期計算公式，本文稱為逐層單自由度法，其相較于規(guī)范法一個明顯的改進是能夠考慮土層埋深的影響。

Rayleigh法適用于求解分布質(zhì)量的廣義單自由度體系或多自由度體系的任何一階自振頻率［13］，其計算公式如下：

式中：ρ和V分別代表場地各土層的密度和剪切波速；H為土層的總厚度；X是振型函數(shù)，當(dāng)求解場地基頻時，X為基本振型函數(shù)。

在實際操作時，首先需要假定其振型函數(shù)X（1），然后根據(jù)式（8）所給的公式不斷迭代，直到獲得滿足精度要求的結(jié)果。

Rayleigh法不僅具有較高的計算精度，其另外一個優(yōu)點是收斂速度非?？?。通常在假定基本振型后，經(jīng)過一次迭代便可獲得較高精度的計算結(jié)果。如果假定土層的基本振型X（1）=1，將其按式（8）計算后的X（2）帶入式（7），便可得到有較高精度的場地基頻估算值，此方法稱為簡化Rayleigh法［14］。如果不考慮土層密度隨深度的變化，當(dāng)X（1）=1時，式（8）所給的迭代公式可以簡化為：

對成層場地，第i層土的上邊界處（z=ziu）的振型函數(shù)值Xiu和下邊界處（z=zil）的振型函數(shù)值Xil之間的關(guān)系為：

式中：zmi是第i層土層中點的坐標(biāo)值，即zmi=（ziu+zil）/2；Hi是第i層的厚度，即Hi=ziu-zil。

當(dāng)用各層土中點的振型函數(shù)值代表該層土的振型時，自振頻率計算公式（7）可以簡化為公式（11）。由此可見：簡化Rayleigh法巧妙地假定X（1）=1，并忽略了土層重度隨深度的變化，在大幅降低計算復(fù)雜性的基礎(chǔ)上，保持了較高的計算精度。

2 工程場地剖面資料

為了使研究結(jié)果具有代表性，本文廣泛收集整理了我國實際工程場地地震安全性評價工作中的工程地質(zhì)鉆孔資料，共涉及到27個省（自治區(qū)和直轄市），圖2中給出了鉆孔的分布情況。由于單一均勻覆蓋土層場地的基本周期存在解析解T=4h/vs，故本文不將這類場地納入對比研究的范疇，最終共篩選出了605組鉆孔深度達到工程基巖（剪切波速不小于500 m/s）的剪切波速剖面資料，依據(jù)我國現(xiàn)行的《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》（GB 50011-2010）［15］的場地類別劃分標(biāo)準(zhǔn)，其中：Ⅰ類場地10個；Ⅱ類場地300個；Ⅲ類場地249個；Ⅳ類場地46個。從篩選結(jié)果來看Ⅱ類和Ⅲ類場地的鉆孔數(shù)量占絕大多數(shù)，這與我國場地類別劃分標(biāo)準(zhǔn)中Ⅱ類和Ⅲ類場地分布最為廣泛的情況相一致。結(jié)合圖3中所給出的鉆孔覆蓋土層厚度和等效剪切波速的分布情況，可以看出本文所選場地樣本空間具有典型性和代表性。

圖2 鉆孔位置分布Fig.2 Map of borehole locations

圖3 鉆孔場地基本信息Fig.3 Basic information of the borehole sites

3 四種方法計算結(jié)果對比檢驗

基于篩選出來的場地鉆孔，利用傳遞函數(shù)法計算了場地的基本周期，其統(tǒng)計結(jié)果如圖4所示：Ⅰ類場地的分布范圍為0.016～0.054 s，Ⅱ類場地的分布范圍為0.031～0.842 s，Ⅲ類場地的分布范圍為0.414～1.603 s，Ⅳ類場地的分布范圍為0.845～2.646 s。從圖4可以看出：相鄰兩類別場地的周期分布范圍有重疊的區(qū)間，Ⅲ類場地和Ⅳ類場地之間的重疊現(xiàn)象尤為嚴(yán)重，本文所篩選出的46個Ⅳ類場地其中有45個的基本周期都落在Ⅲ類場地的周期分布范圍內(nèi)。場地周期作為反映場地動力特性的重要指標(biāo)，不同類別場地周期分布范圍重疊嚴(yán)重的現(xiàn)象說明現(xiàn)有的場地類別劃分方法區(qū)分度略顯不足，尚有研究改進的余地。

圖4 四種類別場地基本周期分布范圍Fig.4 Distribution range of fundamental periods of four typesofsites

該次研究分別采用子層周期求和法、子層周期貢獻系數(shù)法、簡化Rayleigh法以及逐層單自由度法對篩選出的605個場地鉆孔進行了場地周期的計算。需要說明的是：四種方法均統(tǒng)一直接采用鉆孔資料中所給出的場地土層劃分，在計算時不再對土層進行進一步剖分，且都不考慮土層重度沿深度的變化。Ⅱ類和Ⅲ類場地的鉆孔數(shù)量分別占到鉆孔總數(shù)的50%和41%，本文以Ⅱ類和Ⅲ類場地為例，繪制出四種方法計算所得的場地基本周期的散點分布，如圖5所示，其中虛線代表計算值與標(biāo)準(zhǔn)值相等（簡稱“45°線”）。從圖中可以看出：（1）子層周期求和法的計算結(jié)果普遍存在顯著偏差。（2）在Ⅲ類場地上，子層周期求和法的偏差要明顯大于其在Ⅱ類場地上的偏差。（3）子層周期貢獻系數(shù)法和逐層單自由度法的計算結(jié)果集中地分布在“45°線”的兩側(cè)，說明這兩種方法與傳遞函數(shù)法結(jié)果相對比較接近。（4）簡化Rayleigh法在場地周期較小時與傳遞函數(shù)法結(jié)果比較接近，在場地周期較大時，存在一定程度的偏差。

圖5 不同方法計算所得場地基本周期分布Fig.5 Distribution of site fundamental periods calculated through the different methods

結(jié)合前面對四種方法的計算原理介紹，可以得出以下推論：子層周期求和法存在上述偏差分布特征的最主要因素是其無法考慮土層順序結(jié)構(gòu)的影響。Ⅲ類場地相較于Ⅱ類場地，覆蓋土層普遍更厚，波速結(jié)構(gòu)更復(fù)雜，因此其偏差也就更大，這在后文圖7中體現(xiàn)的更加清楚。

圖6中分別給出了四種方法計算得到的場地基本周期相對偏差的分布情況。本文采用的相對偏差計算公式如式（12）。從圖中可以看出：（1）子層周期求和法的偏差明顯最大，在某些情況下其偏差甚至可以達到50%。（2）在絕大多數(shù)情況下，子層周期貢獻系數(shù)法和逐層單自由度法的計算結(jié)果大于標(biāo)準(zhǔn)值（偏差為正），簡化Rayleigh法得到的結(jié)果小于標(biāo)準(zhǔn)值（偏差為負）。

圖6 不同方法計算所得場地基本周期偏差分布Fig.6 Distribution of relative deviations calculated through the different methods

式中：Test和Tstd分別代表基本周期的計算值和標(biāo)準(zhǔn)值。

表1中給出了四種方法計算所得場地基本周期偏差統(tǒng)計結(jié)果，需要說明的是：該結(jié)果只考慮偏差的絕對大小，不再區(qū)分其偏大或是偏小。從表中可以看出：（1）子層周期求和法計算結(jié)果的相對偏差的平均值約為20%，最大偏差接近50%，在本文所選的四種方法當(dāng)中偏差最為顯著，計算精度最低。（2）子層周期貢獻系數(shù)法計算精度在本文所選的四種方法當(dāng)中明顯最高，其偏差平均值不超過3%且最大偏差不超過10%，偏差在5%以內(nèi)的工況占比達到85%。（3）簡化Rayleigh法和逐層單自由度法的計算精度都要明顯高于子層周期求和法，二者偏差在5%以內(nèi)的工況占比分別達到80%和70%以上，但是簡化Rayleigh法在個別情況下最大偏差會接近20%，當(dāng)某一層土的厚度遠遠大于其它層的時候偏差尤為明顯，而逐層單自由度法的最大偏差一般只略大于10%。（4）子層周期求和法偏差的標(biāo)準(zhǔn)差要明顯大于其他三種方法，說明其計算結(jié)果受場地波速結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度的影響最為明顯，這與其無法考慮土層順序結(jié)構(gòu)的特征是相一致的。

表1 四種方法計算所得場地周期相對偏差統(tǒng)計：（單位：%）Table 1 Statistics on relative deviation of site fundamental period calculated by four different methods（unit：%）

表2中給出了各方法在不同類別場地上的偏差均值。從中可以看出：子層周期求和法、子層周期貢獻系數(shù)法和逐層單自由度法的偏差均值在Ⅱ類和Ⅲ類場地上基本相當(dāng)，而在Ⅳ類場地上明顯更大；簡化Rayleigh法的偏差均值在Ⅱ類場地上最大，在Ⅲ類和Ⅳ類場地上基本相當(dāng)。

表2 各方法在不同類別場地計算所得偏差均值：（單位：%）Table 2 Statistics on deviation mean of site fundamental period calculated by four different methods（unit：%）

圖7中給出了不同方法的相對偏差隨覆蓋層厚度變化的分布情況，其中虛線代表按線性擬合的變化趨勢線，從圖中可以看出：（1）子層周期求和法的相對偏差隨覆蓋層厚度的增加而明顯變大。（2）子層周期貢獻系數(shù)法、逐層單自由度法以及簡化Rayleigh法的偏差結(jié)果受覆蓋層厚度變化的影響較小。這種變化規(guī)律更進一步地印證了前面的推論，即子層周期求和法無法考慮土層順序結(jié)構(gòu)的影響，隨著覆蓋層厚度的增大，場地波速結(jié)構(gòu)總體上變得更復(fù)雜，由于其能力缺陷所導(dǎo)致的計算偏差也必然會更大，而另外三種方法能夠體現(xiàn)波速結(jié)構(gòu)差異對場地動力特性的影響，其計算偏差受覆蓋土層厚度的微弱影響基本可以歸因于誤差累積。

圖7 不同方法相對偏差隨覆蓋層厚度變化Fig.7 Relative deviations of the different methods varies with the thickness of the cover layer

4 結(jié)論

本文收集整理并篩選出了國內(nèi)605組鉆孔深度達到工程基巖的剪切波速剖面資料，以傳遞函數(shù)法結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，對四種計算場地基本周期的方法進行了對比檢驗，就不同方法的偏差進行了深入分析，給出了其統(tǒng)計結(jié)果，并剖析了各方法應(yīng)用于實際工程場地的適宜性。從現(xiàn)有的資料看，得到具有統(tǒng)計意義的主要結(jié)果如下：

（1）我國規(guī)范所采用的子層周期求和法將各子層的周期簡單代數(shù)相加來估計場地基本周期，雖然在工程中方便使用，但由于無法考慮土層順序結(jié)構(gòu)的影響，導(dǎo)致其計算結(jié)果普遍存在顯著偏差，偏差的平均值大于20%，最大偏差甚至接近50%，且偏差隨覆蓋層厚度的增大而明顯增大。

（2）簡化Rayleigh法和逐層單自由度法相較于規(guī)范法計算精度均有大幅提高，二者偏差在5%以內(nèi)的工況占比分別達到80%和70%以上，但是簡化Rayleigh法在個別情況下最大偏差會接近20%，而逐層單自由度法的最大偏差一般只略大于10%。

（3）子層周期貢獻系數(shù)法充分考慮了波速結(jié)構(gòu)對場地動力特性的影響，采用了加權(quán)累加的計算方式，繼承了規(guī)范法便于操作的優(yōu)點，計算精度是本文所選四種方法當(dāng)中最高的，其偏差平均值不超過3%且最大偏差不超過10%，偏差在5%以內(nèi)的工況占比達到85%，建議在實際工程中推廣應(yīng)用。

致謝：

在本文研究過程中，中國地震局工程力學(xué)研究所李山有研究員給予了重要的幫助，在此表示感謝。