自適應(yīng)順序采樣Kriging方法及其在增量動(dòng)力分析中的應(yīng)用

焦圣虎，侯和濤，冉德勝，陳 城，曾曉真，高夢起，熊方明

（1.山東大學(xué)土建與水利學(xué)院，山東濟(jì)南 250000；2.舊金山州立大學(xué)工程學(xué)院，美國舊金山94132；3.臨沂市建設(shè)工程施工圖審查有限公司，山東臨沂 276000；4.鄭州城建集團(tuán)投資有限公司，河南鄭州 450001；5.青島鑫光正鋼結(jié)構(gòu)股份有限公司，山東青島 266700）

引言

概率地震需求分析對于基于性能地震工程中有著重要的作用。對于一個(gè)選定的強(qiáng)度指標(biāo)（Intensity Measure，IM），通過增量動(dòng)力分析（Incremental Dynamic Analysis，IDA）對一組具有遞增強(qiáng)度的地震動(dòng)記錄進(jìn)行大量非線性動(dòng)力時(shí)程分析［1］，從而對結(jié)構(gòu)在各種極限狀態(tài)下的抗震性能，包括彈性、動(dòng)力失穩(wěn)和最終倒塌進(jìn)行詳細(xì)評估［2-3］，繼而獲得結(jié)構(gòu)的工程需求參數(shù)（Engineering Demand Parameter，EDP）。近年來，隨著計(jì)算機(jī)性能的提高，即使對于復(fù)雜的多自由度結(jié)構(gòu)，包含大量參數(shù)的IDA分析也變得可行［4-5］。結(jié)構(gòu)的最大層間位移角與結(jié)構(gòu)損傷密切相關(guān)，通常作為研究建筑物地震易損性的較為普遍的EDP［6］，而以5%阻尼的一階振型譜加速度Sa（T1，5%）作為地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)在IDA中被廣泛接受。但是IDA通常需要進(jìn)行大量的非線性動(dòng)力時(shí)程分析，因此具有計(jì)算量大的缺點(diǎn)。VAMVATSIKOS等［7］發(fā)展了一種基于靜力推覆分析與統(tǒng)計(jì)分析的簡化近似方法，但這種簡化方法只適用于基本振型起主導(dǎo)作用的結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，VAMVATSIKOS等提出了hunt&fill方法［8］，汪夢甫等［9］提出了快速增量動(dòng)力彈塑性分析方法（FIDA方法），為進(jìn)一步提高IDA的計(jì)算效率開展了開拓性的研究。

代理模型主要應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的可靠性分析以代替那些耗時(shí)的結(jié)構(gòu)計(jì)算模型［10］。通過結(jié)構(gòu)計(jì)算模型對少量樣本的數(shù)值模擬，對代理模型進(jìn)行訓(xùn)練從而較為準(zhǔn)確地模擬結(jié)構(gòu)可靠性分析中的極限狀態(tài)函數(shù)。常用的代理模型包括Kriging模型、徑向基函數(shù)模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型［11-14］。代理模型近年來逐漸應(yīng)用于抗震分析，GIOVANIS等［15］將基于蒙特卡洛（Monte Carlo，MC）的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型運(yùn)用于IDA，從而計(jì)算出有效的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和易損性曲線。因?yàn)橥瑫r(shí)提供了預(yù)測值和預(yù)測方差，Kriging代理模型是近年來得到較為廣泛的關(guān)注［16］。順序采樣（Sequential Sampling，SS）方法被廣泛應(yīng)用于基于Kriging的可靠性分析中。通過有限初始點(diǎn)及其響應(yīng)評估構(gòu)建一個(gè)初始Kriging模型，根據(jù)選定的采樣準(zhǔn)則確定新的樣本點(diǎn)并進(jìn)行相關(guān)的響應(yīng)評估，通過對元模型進(jìn)行不斷的更新以期增加其準(zhǔn)確性。研究表明：基于順序采樣的方法比通過一次性采樣建立Kriging模型的靜態(tài)方法更為有效［17］。本文根據(jù)選用IM和EDP，將基于主動(dòng)順序采樣的Kriging代理模型運(yùn)用于IDA分析，在保證計(jì)算準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)上，提高IDA的計(jì)算效率，并進(jìn)一步考慮結(jié)構(gòu)的不確定性。

1 Kriging代理法

Kriging模型是一種基于由回歸模型和隨機(jī)過程假設(shè)的插值方法，根據(jù)所研究問題定義的隨機(jī)場及其參數(shù)，通過最佳線性無偏估計(jì)預(yù)測在樣本點(diǎn)上的響應(yīng)。Kriging模型將確定性輸出y（x）視為隨機(jī)過程的實(shí)現(xiàn)Y（x）：式中：x為待預(yù)測的樣本點(diǎn)；μ是響應(yīng)均值；Z（x）表示空間內(nèi)x和w的兩點(diǎn)之間具有零均值和協(xié)方差的平穩(wěn)高斯過程，w是用于建立Kriging模型的初始點(diǎn)，其公式為：

式中：σ2是過程方差；Rθ是由一組參數(shù)θ定義的相關(guān)函數(shù)；θ的維度與x相同。本文中相關(guān)模型采用簡化的Matern-5/2函數(shù)，可由式（3）表示：

式中：θi（i=1，2，…，k）可以看作是變量在i方向的重要性：θi越大，x在i方向?qū)的影響越大。給定一組包含n個(gè)觀測點(diǎn)xD1，xD2，...，xDn的樣本XD及其所對應(yīng)的響應(yīng)yD=[yD1,yD2,...,yDn]T，其最佳線性無偏估計(jì)定義為：

式中：Jn是n維單位向量；RD為一個(gè)n×n矩陣，其元素表示兩個(gè)樣本點(diǎn)之間的相關(guān)性：RDij=Rθ(xDi,xDj)，1≤i，j≤n；n維 向 量rD(x)表示一個(gè)候選點(diǎn)與初始樣本點(diǎn)的相關(guān)性：rDi(x)=Rθ(x,xDi)，1≤i≤n；是μ的廣義最小二乘估計(jì)。

2 順序采樣Kriging模型

2.1 基于熵（Entropy）的順序采樣

SHANNON［18］和CURRIN等［19-20］提出了貝葉斯框架下計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的熵準(zhǔn)則用于量化信息量。給定一組樣本XD（包含所有l(wèi)個(gè)初始樣本點(diǎn)xD1，xD2，...，xDl）以及初始Kriging模型（基于初始樣本XD建立），熵采樣方法就是從一組新的樣本XC（包含m個(gè)樣本點(diǎn)xC1，xC2，...，xCm）中選擇一個(gè)使信息量最大化的樣本點(diǎn)。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)等價(jià)于：

式中：RA是樣本集XA=XD∪XC內(nèi)l+m個(gè)點(diǎn)的相關(guān)矩陣，其計(jì)算方式與Kriging模型中相關(guān)矩陣RD相同；Jl+m是l+m維單位向量；相關(guān)矩陣RA內(nèi)的相關(guān)性參數(shù)θi與初始Kriging模型中的相同，這使得新采樣點(diǎn)適用于現(xiàn)有的Kriging模型。

2.2 順序采樣Kriging模型的流程圖

圖1給出了順序采樣Kriging方法進(jìn)行IDA的的流程圖。其由6個(gè)步驟組成：

圖1 順序采樣Kriging模型方法的流程圖Fig.1 Flow chart for sequential Kriging surrogate approach

（1）首先在取值范圍內(nèi)選擇初始樣本點(diǎn)并計(jì)算其真實(shí)響應(yīng)，同時(shí)采用蒙特卡洛（Monte Carlo，MC）方法獲得候選樣本集S；

（2）利用初始樣本點(diǎn)及其真實(shí)響應(yīng)建立Kriging模型；

（3）依據(jù)Kriging模型，用熵采樣方法確定最優(yōu)的候選點(diǎn)，計(jì)算其真實(shí)響應(yīng)并對Kriging模型進(jìn)行更新；

（4）判斷是否滿足樣本點(diǎn)的數(shù)量要求；

（5）如果沒有滿足，確定新的最優(yōu)候選點(diǎn)及結(jié)構(gòu)的真實(shí)響應(yīng)，并對Kriging模型進(jìn)行更新；

（6）如果滿足樣本點(diǎn)的數(shù)量要求，則輸出最優(yōu)代理模型并計(jì)算均方根誤差（Root Mean Squared Error，RMSE）。RMSE用來評估元模型的準(zhǔn)確性，其定義為：

式中：xTi(i=1,2,…nt)是用于評估元模型精度的一組隨機(jī)樣本點(diǎn)分別是xTi處基于最優(yōu)Kriging模型的預(yù)測響應(yīng)和真實(shí)響應(yīng)；nt是驗(yàn)證點(diǎn)的數(shù)量，即真實(shí)IDA分析所用的Sa（T1，5%）數(shù)量。

3 算例分析

本文通過計(jì)算分析某二層單開間和某九層多跨的鋼框架（Steel Moment Resisting Frame，SMRF）來評估順序采樣Kriging模型方法的有效性。當(dāng)最大層間位移角達(dá)到10%時(shí)，結(jié)構(gòu)被視為倒塌［21］，從而停止分析。本文用以往記錄的兩組地震動(dòng)作為地震激勵(lì)。表1給出了這些地震動(dòng)記錄的詳細(xì)信息。

表1 選作計(jì)算研究的地震動(dòng)記錄信息Table 1 Selected ground motions

3.1 二層鋼框架結(jié)構(gòu)

本文用OpenSees軟件平臺(tái)對二層單開間鋼框架結(jié)構(gòu)模型［22-23］，以下簡稱“結(jié)構(gòu)A”，進(jìn)行建模，第一周期為0.84 s，示意圖和梁柱截面尺寸如圖2（a）所示。通過采用非線性IMK滯回模型建立框架結(jié)構(gòu)有限元模型來模擬因強(qiáng)度和剛度退化而導(dǎo)致的框架側(cè)移［24］，如圖2（b）所示，其中：My為屈服彎矩值，對應(yīng)梁和柱的值分別為1 235.83 kN·m和2 299.24 kN·m；Mc/My為屈服后硬化剛度，對應(yīng)梁和柱的值均為1.05；θcap，pl為塑性轉(zhuǎn)角，對應(yīng)梁和柱的值分別為0.014和0.275；θpc為峰值后轉(zhuǎn)角，對應(yīng)梁和柱的值分別為0.24和0.1。通過受重力荷載的P-Δ柱考慮地震中的P-Delta效應(yīng)。

圖2 結(jié)構(gòu)A示意圖Fig.2 Schematic of structure A

首先對結(jié)構(gòu)A進(jìn)行傳統(tǒng)的直接IDA分析，以0.005 g為間隔取Sa（T1，5%）值，并計(jì)算對應(yīng)的最大層間位移角，從而繪制IDA曲線并以此為真實(shí)解。同時(shí)采用VAMVATSIKOS等出的hunt&fill方法對結(jié)構(gòu)A進(jìn)行分析并繪制相應(yīng)IDA曲線。本文提出的熵順序采樣Kriging模型方法分別以GM1-0.5 g、GM3-0.5 g和GM4-0.5 g，GM2-0.3 g的Sa（T1，5%）增量，從0.1 g開始取4個(gè)點(diǎn)作為初始實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，在此基礎(chǔ)上補(bǔ)充5個(gè)候選點(diǎn)以完善Kriging模型。圖3顯示了將所選地震動(dòng)作用于結(jié)構(gòu)時(shí)，傳統(tǒng)方法、hunt&fill方法與使用熵順序采樣Kriging模型方法的IDA曲線比較。

從圖3（a）中可以發(fā)現(xiàn)：使用hunt&fill方法和熵順序采樣Kriging模型方法的曲線與傳統(tǒng)計(jì)算分析得到的真實(shí)IDA曲線十分接近；圖3（b）-圖3（d）表明：本文提出的方法所得到的IDA曲線比hunt&fill方法更貼近于真實(shí)的IDA曲線。從圖3（b）和圖3（d）中可知：θmax對應(yīng)的Sa值不唯一，即同一EDP值可能有多個(gè)IM值與其相對應(yīng)，這屬于結(jié)構(gòu)“硬化”現(xiàn)象［1，25］。這些拐點(diǎn)的出現(xiàn)使IDA曲線變得曲折，增加分析難度。而通過熵順序采樣方法選出的點(diǎn)更集中在這些重要的拐點(diǎn)處，從而使預(yù)測結(jié)果更貼近于真實(shí)的IDA曲線?？梢姡何闹刑岢龅姆椒ㄅc傳統(tǒng)的IDA方法具有很好的一致性。此外，圖3中的補(bǔ)充點(diǎn)存在分布位于初始點(diǎn)的范圍外的情況，這表明：即使在初始點(diǎn)具有局限性的情況下，熵采樣仍然能夠選取適當(dāng)?shù)臉颖军c(diǎn)從而使Kriging模型模擬出真實(shí)的IDA曲線。在使用相同配置電腦（CPU：Intel（R）Xeon（R）E5-2620 v4，內(nèi)存：16G）的情況下，一次地震波非線性時(shí)程分析需要70 s，傳統(tǒng)IDA方法獲得一條IDA曲線，需要至少200個(gè)Sa（T1，5%）點(diǎn)，即需要進(jìn)行200次非線性時(shí)程分析。在相同精度下，本文提出的熵順序采樣Kriging模型方法僅需要9次。相比之下，熵順序采樣Kriging模型方法可以有效地提高IDA計(jì)算效率。

圖3 結(jié)構(gòu)A三種方法的IDA曲線比較Fig.3 Comparison of IDA curves of three methods for structure A

圖4顯示了熵值的最大值和RMSE值隨樣本點(diǎn)變化的過程，圖4（b）中虛線為hunt&fill方法使用9個(gè)點(diǎn)得到的RMSE值。從圖4（a）可以看出：熵最大值總體處于下降趨勢，這說明利用熵順序采樣得到的點(diǎn)所建立的Kriging模型精度隨著樣本點(diǎn)的增加得到提高。其中：對應(yīng)GM1和GM4的熵值下降趨勢比GM2更為明顯，表明增加相同數(shù)量的樣本點(diǎn)更能有效提高GM1的IDA曲線的精度，這主要是由于GM2作用下的結(jié)構(gòu)IDA曲線有顯著的突變或彎折，相對難以預(yù)測。在補(bǔ)充4個(gè)點(diǎn)之后，熵值的最大值逐漸趨于穩(wěn)定，甚至出現(xiàn)過擬合，這表明繼續(xù)增加樣本點(diǎn)無法有效提高模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性。類似的結(jié)果也表現(xiàn)在圖4（b）中：隨著點(diǎn)數(shù)的增加，Kriging模型的RMSE值不斷降低，這意味Kriging模型精確度在不斷提高。值得一提的是：GM1作用下使用hunt&fill方法得到的RMSE值始終大于Kriging模型；GM2、GM3和GM4作用下，在補(bǔ)充4個(gè)點(diǎn)之后，Kriging模型的RMSE值小于hunt&fill方法，這表明在總樣本點(diǎn)相同的情況下，文中提出的熵順序采樣Kriging方法比hunt&fill方法的精度更高。

圖4 熵值和RMSE值的變化Fig.4 Variation of entropy and RMSE values

3.2 九層鋼框架結(jié)構(gòu)

九層鋼框架結(jié)構(gòu)［26］，下述簡稱“結(jié)構(gòu)B”，用于進(jìn)一步評估IDA的擬定方法。結(jié)構(gòu)B梁柱的示意圖和型號(hào)如圖5所示。結(jié)構(gòu)B的場地類別為D，第一周期為1.45 s。其樓層和屋頂?shù)挠谰煤奢d分別為5.08 kN/m2和3.97 kN/m2。構(gòu)建OpenSees模型的策略與結(jié)構(gòu)A的相同。

圖5 結(jié)構(gòu)B示意圖Fig.5 Schematic of structure B

與結(jié)構(gòu)A相同，以0.005 g為間隔取Sa（T1，5%）值，并計(jì)算對應(yīng)的最大層間位移角，從而繪制IDA曲線并以此為真實(shí)解。同時(shí)采用hunt&fill方法對結(jié)構(gòu)B進(jìn)行分析并繪制相應(yīng)IDA曲線。熵順序采樣Kriging模型方法分別以GM1-1 g、GM2-1 g和GM4-1 g，GM3-0.5 g的Sa（T1，5%）增量，從0.1 g開始取4個(gè)點(diǎn)作為初始實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，在此基礎(chǔ)上補(bǔ)充5個(gè)候選點(diǎn)以完善Kriging模型。將所選地震動(dòng)作用于結(jié)構(gòu)時(shí)，傳統(tǒng)方法、hunt&fill方法與本文方法的IDA曲線比較如圖6所示。

圖6中再次表明：使用本方法計(jì)算分析得到的IDA曲線非常接近真實(shí)IDA曲線，而且比hunt&fill方法吻合程度更高，特別是在曲線重要的拐點(diǎn)處?？梢姡何闹刑岢龅姆椒ㄅc傳統(tǒng)的IDA方法對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)仍具有很好的一致性。此外，圖6（a）-圖6（c）中的補(bǔ)充點(diǎn)超過初始點(diǎn)的范圍，這證明即使復(fù)雜結(jié)構(gòu)在初始點(diǎn)范圍有限的情況下，熵采樣仍然能夠選取合適的補(bǔ)充點(diǎn)從而使Kriging模型更準(zhǔn)確。從圖6（a）-圖6（c）中可以看出：Entropy采樣更聚焦于IDA曲線存在巨大突變的位置，這表明本文提出的方法對復(fù)雜IDA曲線具有更好的預(yù)測分析能力。計(jì)算耗時(shí)的結(jié)果與結(jié)構(gòu)A相同，由于結(jié)構(gòu)B為高層結(jié)構(gòu)，需要69 s進(jìn)行一次非線性分析。傳統(tǒng)的IDA方法比提出的方法花費(fèi)更多的時(shí)間來獲得IDA曲線。相比之下，建立Kriging模型的時(shí)間可以忽略不計(jì)。

圖6 結(jié)構(gòu)B三種方法的IDA曲線比較Fig.6 Comparison of IDA curves of three methods for structure B

熵值的最大值和RMSE值隨樣本點(diǎn)變化的過程如圖7所示，圖7（b）中虛線為hunt&fill方法使用9個(gè)點(diǎn)所得到的RMSE值。圖7（a）表明：總體上熵的最大值具有下降趨勢，這證明Kriging模型的精度不斷提高。同樣在圖7（b）中，Kriging模型的RMSE值隨著樣本點(diǎn)數(shù)的增加而降低，這說明Kriging模型精度在不斷提升。GM1、GM2、GM3和GM4作用下，在補(bǔ)充4個(gè)點(diǎn)之后，Kriging模型的RMSE值小于hunt&fill方法，這與圖4結(jié)果相同，證明在總樣本點(diǎn)相同的情況下，本文提出的方法比hunt&fill方法的精度更高。

圖7 熵值和RMSE值的變化Fig.7 Variation of entropy and RMSE values

3.3 考慮結(jié)構(gòu)不確定性的IDA曲線模擬

本文提出的熵順序采樣Kriging方法可以應(yīng)用于考慮結(jié)構(gòu)不確定性的IDA分析。以GM1為例，選取結(jié)構(gòu)A和結(jié)構(gòu)B中用于模擬構(gòu)件滯回特征的IMK模型為研究對象［23］，選用2個(gè)參數(shù)I和My分別代表轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和塑性鉸的屈服力矩的不確定性參數(shù)，其均服從均值為1，方差為0.01，上下邊界分別為0.70和1.30的正態(tài)分布，如表2所示。與前文相同，選取結(jié)構(gòu)的最大層間位移角作為輸出的EDP。

表2 隨機(jī)變量及其概率描述Table 2 Random variables andtheir probabilistic description

考慮此時(shí)不確定性參數(shù)數(shù)量為I、My和Sa，將初始點(diǎn)的數(shù)量設(shè)置為12，通過拉丁超立方采樣（Latin Hypercube Sampling，LHS）產(chǎn)生，考慮到所選用模型的非線性和不確定性較強(qiáng)，因此將補(bǔ)充樣本點(diǎn)的數(shù)量分別設(shè)置為100、200和300。運(yùn)用本文提出的熵順序采樣Kriging模型方法，使用最終的Kriging模型得到考慮結(jié)構(gòu)不確定性的IDA曲線。在最終的Kriging模型中代入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I和塑性鉸的屈服力矩My的均值，即可得到只考慮地震動(dòng)強(qiáng)度的IDA曲線，如圖8所示。由圖可知：樣本點(diǎn)的數(shù)量越多，熵順序采樣Kriging模型方法得到的IDA曲線越準(zhǔn)確，其中：300個(gè)點(diǎn)的預(yù)測結(jié)果在曲線重要的拐點(diǎn)處非常接近真實(shí)的IDA曲線。這表明補(bǔ)充點(diǎn)的數(shù)量對預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性影響較大。

圖8 考慮結(jié)構(gòu)不確定性的Kriging模型方法的IDA曲線比較Fig.8 Comparison of IDA curves of Kriging surrogate model method considering structural uncertainty

為進(jìn)一步校驗(yàn)熵順序采樣Kriging模型方法的有效性，選取預(yù)測曲線變化率較大處對應(yīng)的Sa（1.4 g）作為結(jié)構(gòu)A的特征點(diǎn)，Sa（2.5 g）作為結(jié)構(gòu)B的特征點(diǎn)。通過對結(jié)構(gòu)不確定性參數(shù)進(jìn)行10 000次蒙特卡洛模擬，對結(jié)構(gòu)非線性時(shí)程分析得到的EDP和Kriging模型預(yù)測值進(jìn)行比較，并用擬合優(yōu)度R2來描述預(yù)測結(jié)果的擬合程度。對比結(jié)果如圖9-10所示，不同樣本點(diǎn)數(shù)量的熵順序采樣Kriging模型均能較為準(zhǔn)確地預(yù)測出結(jié)構(gòu)的EDP，且隨著樣本點(diǎn)數(shù)量的增加，預(yù)測結(jié)果更精確。結(jié)構(gòu)A中：200個(gè)樣本點(diǎn)的Kriging模型預(yù)測R2超過90%。當(dāng)樣本點(diǎn)增加到300時(shí)，Kriging模型預(yù)測R2為91.972 6%，增長幅度較小。相同的現(xiàn)象也出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)B中?？傮w而言，本文中提出的熵順序采樣Kriging模型方法對考慮結(jié)構(gòu)不確定下的IDA分析具有較高的計(jì)算效率。

圖9 結(jié)構(gòu)A的蒙特卡羅方法與所提出方法的比較：Fig.9 Comparison of Monte Carlo and proposed method of structure A

圖10 結(jié)構(gòu)B的蒙特卡羅方法與所提出方法的比較：Fig.10 Comparison of Monte Carlo and proposed method of structure B

3.4 關(guān)于Kriging代理模型的討論

為進(jìn)一步評估熵順序采樣Kriging模型方法的準(zhǔn)確性和高效性，本文從樣本點(diǎn)和終止條件兩個(gè)方面進(jìn)行討論分析。

3.4.1 樣本點(diǎn)的影響

樣本點(diǎn)包括初始樣本點(diǎn)和候選樣本點(diǎn)。初始樣本點(diǎn)主要從兩個(gè)方面影響模擬的結(jié)果：

（1）初始點(diǎn)的數(shù)量，初始點(diǎn)數(shù)量越多，建立的初始Kriging模型越精確，同時(shí)需要補(bǔ)充的候選點(diǎn)的也會(huì)相應(yīng)的減少；但是因?yàn)槲闹蟹椒ǖ男鼠w現(xiàn)在用對非線性時(shí)程分析的調(diào)用次數(shù)上，所以初始點(diǎn)數(shù)量越多會(huì)導(dǎo)致計(jì)算效率降低。

（2）初始點(diǎn)的選取方法，在不清楚結(jié)構(gòu)倒塌所對應(yīng)的Sa（T1，5%）值的情況下，初始點(diǎn)的范圍應(yīng)該盡可能地大，但由于某些Sa（T1，5%）值會(huì)導(dǎo)致大于10%的層間位移角，從而無法用于建立模型。因此，按照一定的增量確定初始點(diǎn)是一種比較合理的方法。

與初始樣本點(diǎn)相同是：需要補(bǔ)充的候選樣本點(diǎn)應(yīng)該在數(shù)量和計(jì)算效率之間保持平衡。與初始樣本點(diǎn)不同的是：候選樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以盡可能的多，這樣可以有充足的選擇空間，同時(shí)模擬的結(jié)果包含更多的信息，可以提高準(zhǔn)確性。

3.4.2 自適應(yīng)順序采樣Kriging方法的改進(jìn)

本文提出的方法在達(dá)到預(yù)定樣本點(diǎn)數(shù)量之后終止，可能會(huì)造成樣本點(diǎn)的浪費(fèi)?？紤]將廣泛應(yīng)用于自適應(yīng)Kriging分析的min(U()

xC)≥2作為終止條件［27］，U的定義為：

圖11表明：GM1作用下，Kriging模型初始便滿足終止條件；GM2作用下，在加入第2個(gè)補(bǔ)充點(diǎn)之后滿足終止條件，精度達(dá)到要求?？紤]GM2的IDA曲線非線性較強(qiáng)，因此將終止條件U與RMSE值結(jié)合，進(jìn)行討論。在Kriging模擬中：不同結(jié)構(gòu)的輸出結(jié)果的單位影響RMSE值。但是，IDA一般選擇最大層間位移角為作為輸出，這意味著任意結(jié)構(gòu)的IDA中輸出結(jié)果的單位和限值均是一致的。min(U()xC)≥2對應(yīng)的誤差為2.3%，而本文中最大層間位移角的限值為0.1，因此，本文中誤差限值即RMSE的限值為0.1×2.3%=0.002 3。圖4（b）表明：在加入第4個(gè)補(bǔ)充點(diǎn)之后，GM2作用下Kriging模型的RMSE值已小于0.002 3，說明已滿足終止條件，精度達(dá)到要求，這個(gè)結(jié)果與圖4（a）中按照Entropy的最大值趨于穩(wěn)定作為終止條件的結(jié)論一致。因此，綜合考慮終止條件U和RMSE的影響，對本文中的二層鋼框架在GM1和GM2作用下，本文方法只需4個(gè)初始點(diǎn)和4個(gè)補(bǔ)充點(diǎn)即可滿足IDA精度要求。

圖11 U最小值的變化Fig.11 Variation of min（U）values

4 結(jié)論

增量動(dòng)力分析法在研究確定結(jié)構(gòu)處于不同強(qiáng)度地震動(dòng)作用下的反應(yīng)具有重要意義。本文將增量動(dòng)力分析法結(jié)合自適應(yīng)順序采樣和Kriging代理模型，構(gòu)造了一種基于自適應(yīng)順序采樣Kriging的IDA方法，即順序采樣Kriging模型方法。通過結(jié)構(gòu)模型分析，證明所提出的方法在耗時(shí)久的非線性時(shí)程分析中是高效的，并且其結(jié)果對于IDA曲線模擬是非常準(zhǔn)確的。

（1）該方法綜合了Kriging模型和順序采樣兩種方法的優(yōu)點(diǎn)。將Kriging模型的預(yù)測誤差用于實(shí)現(xiàn)順序采樣的自適應(yīng)學(xué)習(xí)，與一次性采樣生成Kriging模型相比，準(zhǔn)確性更高且更穩(wěn)定。同時(shí)充分利用候選點(diǎn)，使模型更合理。

（2）算例分析表明：本文提出的方法不僅計(jì)算精度滿足設(shè)計(jì)要求，計(jì)算過程所需要的時(shí)間與傳統(tǒng)IDA方法相比有顯著降低，計(jì)算效率得到較大提升。與hunt&fill方法相比，在運(yùn)算次數(shù)相同的情況下，本文方法得到的結(jié)果精度更高。

（3）在考慮結(jié)構(gòu)不確定性的IDA分析中，本文方法得到的IDA曲線與蒙特卡洛模擬的結(jié)果非常接近，但計(jì)算成本遠(yuǎn)低于后者，驗(yàn)證了本文方法的高效性和準(zhǔn)確性。

（4）算例表明本方法對低層和中高層鋼框架結(jié)構(gòu)的IDA適用性較好，但適用范圍有限，對于高層和其他結(jié)構(gòu)形式需要進(jìn)一步分析研究。