基于泰勒展開的二階層次分析法初探

趙維濤， 尹福平， 胡東超

(沈陽航空航天大學 航空宇航學院，沈陽 110136)

1 引 言

層次分析法AHP(Analytic Hierarchy Process)因其操作簡單，且不需要大量數(shù)據(jù)等優(yōu)點得到廣泛使用，并且ADC模型[1]的能力矩陣大多采用AHP計算。近年來，許多學者對AHP做出改進，衍生出多種AHP，如群組AHP、模糊AHP和區(qū)間AHP等。

閻朝一[2]以判斷矩陣的一致性指標作為專家權重的標準，構建了群組AHP。李春強[3]基于區(qū)間AHP構建了艦船動力系統(tǒng)的評估模型。馬淼等[4]運用AHP與模糊綜合評價法對拋錨器作戰(zhàn)效能進行評估。周曼等[5]將模糊AHP應用在綜合電子信息系統(tǒng)標準適用性分析中。段若晨等[6]通過三標度法代替九標度法，并采用最優(yōu)傳遞矩陣對AHP進行改進。王建等[7]通過將判斷矩陣轉化成模糊一致性矩陣，使其自然滿足一致性檢驗。LI等[8]采用模糊綜合評價法對指標進行評價，采用AHP確定指標體系的權重，進而評估潛艇集群魚雷武器系統(tǒng)作戰(zhàn)效能。Zhao等[9]利用AHP確定無人機回收系統(tǒng)的影響權重，通過定性分析和定量分析相結合，對無人機回收系統(tǒng)進行有效評價。Jia等[10]將熵權法和AHP結合確定權重，最終得出設備管理信息系統(tǒng)的綜合水平。Wei等[11]采用模糊AHP與ADC模型相結合的方式對艦載通信設備進行效能評估。Mangla等[12]采用模糊AHP對風險進行定性和定量評估，確定其關注的優(yōu)先級。He等[13]通過引入一種基于評價者偏好順序的相對權重計算方法，取代傳統(tǒng)的九標度法。雷寧等[14]等采用AHP確定武器導彈維修保障指標體系的權重，結合模糊綜合評價法確定武器導彈維修保障效能。唐政等[15]提出水聲對抗系統(tǒng)效能灰色層次分析評估方法，解決了水下信息模糊與數(shù)據(jù)缺失對水聲對抗系統(tǒng)效能評估的影響。楊東岳等[16]使用德爾菲咨詢法構建了云探測的能力指標，首次引用AHP對云探測的作戰(zhàn)效能進行了相對客觀的系統(tǒng)評估。Chang等[17]結合AHP、重要性能分析和二元模糊語言表示模型來確定仿真訓練系統(tǒng)的效益，該方法不損失專家提供的任何有價值的信息。Xing等[18]運用AHP和模糊評價法，定量分析鄉(xiāng)村旅游發(fā)展的各種要素。Han等[19]為減少主觀因素的影響，提出了一種基于層次分析與熵權的無人機智能群系統(tǒng)效能評估方法。

目前，AHP的研究主要集中在判斷矩陣、比例標度和一致性與可信度等問題上，但這些研究并未改變AHP采用底層指標效能線性加權模型的本質，對于非線性體系效能或能力評估誤差較大。因此，本文以底層指標效能值等于1/2為展開點，基于泰勒展開推導出二階加權模型的表達式，并給出二階AHP效能評估步驟，構建二階AHP的基本框架，減少利用AHP評估非線性體系效能或能力的誤差，進而減少產生決策性錯誤的機率。

2 經典AHP

2.1 基本原理和方法

經典AHP評估系統(tǒng)效能的基本思想是將研究對象的目標分解為一個層次結構模型。然后由專家對同一層次的因素進行兩兩比較與評估，形成判斷矩陣并對其進行一致性檢驗，若不滿足則需要重新構建判斷矩陣,若滿足則可獲得各評估指標的權重。最后,由底層次向頂層次(目標層)逐層進行計算，進而得到系統(tǒng)效能評估值。

設頂層指標效能為E，底層指標i的效能為ei，則經典AHP數(shù)學表達式為

(1)

2.2 缺陷分析

經典AHP為線性加權模型，而在實際問題中，絕大多數(shù)體系頂層指標效能與底層指標效能的關系為非線性，當采用經典AHP評估高度非線性問題時會引入較大的誤差，易產生決策錯誤。若武器裝備效能評估值高于真實效能，則可能導致裝備在實戰(zhàn)中執(zhí)行力不足和任務失敗，影響戰(zhàn)爭結局；若武器裝備效能評估值低于真實效能，則可能導致裝備保障和維修等費用增加，造成資源浪費。

3 二階AHP

3.1 二階效能模型

二階效能模型的數(shù)學表達式為

(2)

式中fi(ei)為底層指標效能的非線性函數(shù)。

將各評估指標數(shù)據(jù)進行規(guī)范化處理后，效能值E處于[0,1]。因此，當ei=0時，fi(ei)=0；當ei=1時，fi(ei)=1。

在ei=1/2處對fi(ei)進行二階泰勒展開，得

fi(ei)=fi(1/2)+f′i(1/2)(ei-1/2)+

[f″i(1/2)/2](ei-1/2)2

(3)

當ei=0時，有

fi(0)=fi(1/2)-(1/2)f′i(1/2)+f″i(1/2)/8=0

(4)

當ei=1時，有

fi(1)=fi(1/2)+(1/2)f′i(1/2)+f″i(1/2)/8=1

(5)

將式(4,5)分別進行相加和相減計算，并將相加和相減結果代入式(3)，得

fi(ei)=fi(1/2)+ei-1/2+[2-4fi(1/2)]×

(ei-1/2)2

(6)

將式(6)代入式(2)，得

(7)

式(7)為頂層指標效能與底層指標效能之間的數(shù)學表達式，其中fi(1/2)為未知常量。只有確定fi(1/2)值，才能得出頂層指標效能E與底層指標效能ei的數(shù)學表達式。對于所有評估指標，本文令fi(1/2)均相等，即fi(1/2)=f(1/2)，則

(8)

由式(8)可知，當ei=1/2時，E=f(1/2)，故f(1/2)物理意義為當?shù)讓又笜诵芫?/2時，頂層指標的效能值。

3.2 底層指標效能函數(shù)

底層指標效能函數(shù)f(ei)為ei的二次函數(shù)，因此f(ei)可能出現(xiàn)負值或大于1的情況，而效能值范圍為[0,1]，因此需要對f(ei)進行修正。修正方法為,當效能值不處于[0,1]時，二次函數(shù)采用直線進行代替。修正后的f(ei)數(shù)學表達式為

當f(1/2)=1/2時，

f(ei)=ei

(9)

當f(1/2)∈[1/4，1/2)∪(1/2,3/4]時，

f(ei)=f(1/2)+ei-1/2+[2-4f(1/2)]×

(ei-1/2)2

(10)

當f(1/2)∈[0,1/4)時，

(11)

當f(1/2)∈(3/4,1]時，

(12)

當f(1/2)分別取1/8，1/3，1/2，2/3和7/8時，函數(shù)f(ei)如圖1所示。

圖1 f (ei)與ei關系曲線Fig.1 Relationship curve between f (ei) and ei

3.3 二階AHP基本步驟

(1) 建立效能評估指標體系； (2) 利用經典AHP確定權重； (3) 通過專家評估模型的非線性程度，打分確定當?shù)讓又笜诵芫?/2時頂層指標效能，即確定f(1/2)；4)根據(jù)f(1/2)值，計算f(ei)； (5)根據(jù)式(8)計算頂層指標效能。

4 算例

4.1 數(shù)學問題

設某系統(tǒng)頂層指標效能E與底層指標效能e1和e2之間的關系為

(13)

4.1.1 經典AHP計算表達式

為獲得權重，將e1和e2分別在0～1均勻生成10個點，然后組合可構建出100個樣本點并利用式(13)計算解析解，最后通過優(yōu)化(經典AHP評估值與解析解誤差最小)得到權重。計算結果為ω1=ω2=1/2，故經典AHP的表達式為

Ea=e1/2+e2/2

(14)

4.1.2 二階AHP計算表達式

(15)

4.1.3 結果討論

按照100個樣本點效能值大小進行排序，解析解、經典AHP和二階AHP的評估值如圖2所示?？梢钥闯?，采用二階AHP給出的效能評估值比經典AHP更接近于解析解，二階AHP評估效果優(yōu)于經典AHP。另外，對比式(13～15)可知，二階AHP模型保留了解析解的二次特征，而經典AHP模型為線性模型，從理論上講,二階AHP模型相比經AHP典模型更接近解析解。

圖2 評估結果(算例1)Fig.2 Results of evaluation (Example 1)

4.2 拉桿強度效能評估

拉桿截面為圓形，半徑為r，拉力為P。由材料力學可知，拉桿的正應力σ為

σ=P/πr2

(16)

式中r∈[0.1,1]為趨大型指標，P∈[0,π [σ]/100]為趨小型指標，σ∈[0，[σ]]為趨小型指標，[σ]為許用應力。

4.2.1 效能解析解

將底層指標r和P以及頂層指標σ按其所屬類型轉換到[0,1]區(qū)間內的效能指標，并代入式(16)，得效能解析解為

E=1-(1-eP)/(9er+1)2

(17)

4.2.2 經典AHP計算表達式

采用與算例1相同的優(yōu)化方法計算權重，經典AHP的數(shù)學表達式為

Ea=0.7273er+0.2727eP

(18)

4.2.3 二階AHP計算表達式

當er=eP=1/2時，效能解析解為119/121，即f(1/2)=119/121，則二階AHP的數(shù)學表達式為

Es=0.7273f(er)+0.2727f(eP)

(19)

式中

表1記錄了25個底層指標效能er與eP，分別采用經典AHP和二階AHP計算25個樣本點的效能，計算結果如圖3所示?？梢钥闯觯AAHP評估效能比經典AHP更接近于解析解。

表1 樣本點效能值Tab.1 Efficiency of sample points

圖3 評估結果(算例2)Fig.3 Results of evaluation (Example 2)

4.3 火力打擊能力評估

該算例來源于文獻[20]，為火炮火力打擊能力評估?；鹆Υ驌裟芰H由火力反應時間tF、彈藥殺傷半徑r、射擊精度PS和彈藥威力DW決定，火力打擊能力的計算模型[20]為

CH=(1-tF/t)πr2PSDW/S

(20)

4.3.1 火力打擊能力解析解

(21)

4.3.2 經典AHP計算表達式

采用與算例1相同的優(yōu)化方法計算權重，則經典AHP的數(shù)學表達式為

Ca=0.2458CtF+0.2626Cr+

0.2458PS+0.2458DW

(22)

4.3.3 二階AHP計算表達式

當CtF=Cr=PS=DW=1/2時，能力的解析解為1/32，則二階AHP評估能力Cs的表達式為

Cs=0.2458f(CtF)+0.2626f(Cr)+

0.2458f(PS)+0.2458f(DW)

(23)

4.3.4 結果討論

文獻[20]介紹了M777輕型火炮、FH-77B牽引火炮、T-240 mm 榴彈炮以及66式152 mm榴彈炮，四種火炮性能指標參見文獻[20]。采用經典AHP和二階AHP的能力評估結果如圖4所示?？梢钥闯觯AAHP相比于經典AHP更接近于解析解。

圖4 評估結果(算例3)Fig.4 Results of evaluation (Example3)

5 結 論

(1) 針對經典AHP采用線性加權模型的缺陷，本文基于泰勒展開建立二階加權模型，對于線性系統(tǒng)，二階加權模型可退化為線性加權模型。推導出二階AHP的數(shù)學表達式，給出二階AHP效能評估步驟，構建二階AHP的基本框架。

(2) 算例結果表明，二階AHP的評估結果相比經典AHP的評估結果更接近解析解。對于武器裝備而言，若評估誤差較大會給決策者提供錯誤的信息或帶來一定的負面影響，因此采用二階AHP可減少產生決策性錯誤的機率，從而提高戰(zhàn)爭勝率。

(3) 本文引入了f(1/2),其物理意義為當?shù)讓又笜诵芫?/2時頂層指標的效能值。算例f(1/2)均采用解析解，對于實際問題f(1/2)，可由專家按照尺度標準打分給出，尺度標準等問題將在后續(xù)研究中結合實際問題進行深入探究。