發(fā)動(dòng)機(jī)流道氣動(dòng)分析的上下游邊界替代降階模型

張 珺， 李立州， 王沐晨， 路 寬， 原梅妮

(1.太原學(xué)院 數(shù)學(xué)系，太原 030032； 2.中北大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，太原 030051)

1 引 言

在航空發(fā)動(dòng)機(jī)流道中存在多排的葉型、支柱和凸肩等結(jié)構(gòu)。這些結(jié)構(gòu)相互影響，導(dǎo)致某一個(gè)流域的流動(dòng)特性受到其他區(qū)域影響，形成上下游干涉問(wèn)題。

通常上下游干涉問(wèn)題的分析方法是對(duì)整個(gè)流道進(jìn)行數(shù)值模擬[1]。然而，這種方法的代價(jià)通常十分高昂[2]，尤其是在需要反復(fù)迭代的某一個(gè)葉片優(yōu)化設(shè)計(jì)和可靠性分析過(guò)程中，這種數(shù)值模擬的計(jì)算代價(jià)甚至讓人對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)和可靠性分析失去興趣。

氣動(dòng)力降階模型方法ROM(Reduced Order Model)通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型表征線性和非線性氣動(dòng)力系統(tǒng)的主要特性[3]，提高機(jī)翼和葉片氣動(dòng)彈性分析[4-12]和形狀優(yōu)化[13-18]的速度，因而近年來(lái)得到了廣泛的研究。文獻(xiàn)[12-14]回顧了氣動(dòng)力降階模型的相關(guān)工作。文獻(xiàn)[16,17,19-21]建議用氣動(dòng)力降階模型部分或完全地代替氣動(dòng)模擬。文獻(xiàn)[19]用正交分解法POD討論了翼型反設(shè)計(jì)問(wèn)題。文獻(xiàn)[16,17,20]提出了仿真模型與POD降階模型混合的方法，用仿真模型精確地模擬近壁面的非線性流動(dòng)，用降階模型模擬平緩的遠(yuǎn)場(chǎng)。

本文針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)上下游干涉的問(wèn)題，提出了降階模型與全階模型耦合的邊界替代方法。該方法建立了研究流域與相鄰流域交界面的流動(dòng)特性降階模型，并將該降階模型與研究流域的仿真模型耦合，由此將存在上下游干涉的流動(dòng)模擬轉(zhuǎn)化為單個(gè)流域的流動(dòng)模擬，同時(shí)考慮上下游的耦合效應(yīng)。該方法非常適合航空發(fā)動(dòng)機(jī)流道中葉片的優(yōu)化設(shè)計(jì)和可靠性分析。

2 上下游邊界替代降階模型

圖1給出了上下游邊界替代降階模型方法的主要思想。圖1的流道由三排結(jié)構(gòu)組成。對(duì)第二排葉片的流域進(jìn)行分析時(shí)，該區(qū)域與其上游流域(第一排葉片)的交界面是上游的出口，也是其進(jìn)口；其與下游流域(第三排葉片)的交界面是下游的進(jìn)口，也是出口。在對(duì)第二排葉片流域進(jìn)行模擬時(shí)，可以建立該流域與上游流域和下游流域交界面的流動(dòng)特性降階模型(第一排和第三排對(duì)第二排影響的邊界代替降階模型)。根據(jù)壓力和流量在界面守恒的條件，將該流域的仿真模型和交界面降階模型耦合，可以建立僅包含該流域的仿真模型，同時(shí)可以考慮上下游影響的第二排的流場(chǎng)仿真模型。

用到的界面降階模型從上下游流域已知的流動(dòng)分析結(jié)果中辨識(shí)得到，包含了上下游流域內(nèi)結(jié)構(gòu)特征對(duì)界面流動(dòng)特性的影響，具體來(lái)說(shuō)，就是界面降階模型能夠在給定的流量下計(jì)算出和上下游流域仿真模型相同的界面壓力，或者在給定的界面壓力下計(jì)算出和上下游流域仿真模型相同的界面流量。通過(guò)研究流域的仿真模型和降階模型耦合，就可以表征整個(gè)流道的結(jié)構(gòu)特征對(duì)研究流域的影響。

需要指出的是，本文的上下游區(qū)域是相對(duì)于研究對(duì)象的。圖1中，如果選定第二排葉片所在的流域?yàn)檠芯繉?duì)象，則第一排葉片的流域是上游，第三排葉片的流域?yàn)橄掠?；如果選定第一排葉片所在的流域?yàn)檠芯繉?duì)象，第二排和第三排葉片的流域一起組成下游。

圖1 航空發(fā)動(dòng)機(jī)流道模擬邊界替代降階模型Fig.1 Boundary ROM for aeroengine flow passage

采用Volterra級(jí)數(shù)法建立上述邊界替代降階模型。當(dāng)然該降階模型也可以采用POD和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法建立。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，采用二維流動(dòng)問(wèn)題詳述Volterra級(jí)數(shù)方法，三維問(wèn)題可參照施行。

對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)流道中的任意一個(gè)區(qū)域進(jìn)行研究，可以用交界面將該流域與其他區(qū)域分開(kāi)。該研究流域與任意一個(gè)相鄰流域交界面的壓力和流量可以表示為

{p(y,t)}=Ψ{m(y,t)}

(1)

式中Ψ為交界面的流動(dòng)模型，m(y,t)為界面流量分布，p(y,t)為界面壓力分布，y為坐標(biāo)，t為時(shí)間。

根據(jù)多輸入多輸出Volterra級(jí)數(shù)理論[22，23]，式(1)可以用離散的一階卷積Volterra級(jí)數(shù)表示為

(i,j=1,2,…,r) (2)

Bj i的本質(zhì)是i節(jié)點(diǎn)單位流量變化引起j節(jié)點(diǎn)壓力的脈沖響應(yīng)，通常從仿真或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)中辨識(shí)得到[8,10-12]。本文從包含界面Ψ的相鄰流域的氣動(dòng)分析結(jié)果中辨識(shí)得到。由于這些氣動(dòng)分析結(jié)果包含了相鄰流域內(nèi)部結(jié)構(gòu)對(duì)界面的影響，由此辨識(shí)出的Bj i也包含了相應(yīng)的信息。當(dāng)降階模型和研究區(qū)域的仿真模型耦合時(shí)界面流動(dòng)特性就包含了所有區(qū)域?qū)缑娴挠绊憽?/p>

如果只考慮靜態(tài)響應(yīng)，式(2)可簡(jiǎn)化為

(i,j=1,2,…,r)(3)

由于式(2,3)只保留了一階項(xiàng)，忽略了高階項(xiàng)，因此是一種降階模型。

對(duì)于選定的研究區(qū)域，建立仿真模型。用上述方法建立其上下游界面的邊界替代降階模型。將仿真模型與降階模型耦合，可以建立選定區(qū)域的混合模型。這樣，在選定區(qū)域進(jìn)行流動(dòng)分析時(shí)，可以大幅減少計(jì)算量，非常適合發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的優(yōu)化設(shè)計(jì)和可靠性分析。

3 邊界替代降階模型的算例驗(yàn)證

3.1 算例說(shuō)明

用圖2的算例驗(yàn)證本文方法。整個(gè)流域的入口總壓為120 kPa，整個(gè)流域的出口壓力為 101.325 kPa，入口進(jìn)氣角和出口排氣角都為0°。研究圖2中翼型區(qū)域的流場(chǎng)特性。翼型區(qū)域和下游擾流柱區(qū)域的交界面取在x/Lc=1.42，下游擾流柱間距 0.5Lc。用邊界替代降階模型表征下游擾流柱區(qū)域?qū)σ硇偷挠绊?。模擬采用雙精度理想氣體、Spallart-Allmaras模型、空氣和周期條件。收斂精度 1e -6。

圖2 計(jì)算域Fig.2 Flow domain

3.2 界面壓力與流量關(guān)系的降階模型

以下游擾流柱區(qū)域的進(jìn)口壓力和流量的關(guān)系建立界面降階模型。選定下游擾流柱流域進(jìn)口各點(diǎn)的基準(zhǔn)流量通量為190 kg/(m2·s)。對(duì)該基準(zhǔn)流量下的流動(dòng)特性進(jìn)行模擬，流場(chǎng)的速度如圖3(a)所示。提取此狀態(tài)下的進(jìn)口壓力，將該壓力作為基準(zhǔn)壓力(圖4中baseline)。

圖3 不同位置流量擾動(dòng)后下游流域的速度分布(部分?jǐn)?shù)據(jù))Fig.3 Velocity of the downstream domain with disturbances at several locations (part of data)

采用逐點(diǎn)擾動(dòng)進(jìn)口流量的方法獲得不同流量擾動(dòng)下的進(jìn)口壓力分布。本文流量的擾動(dòng)量為 -30 kg/(m2·s)，即在擾動(dòng)點(diǎn)處流量設(shè)置為190-30=160 kg/(m2·s)。圖3(b～d)給出了流量擾動(dòng)下的流場(chǎng)速度。圖4給出了流量擾動(dòng)下的進(jìn)口壓力分布。該算例的下游流域仿真模型進(jìn)口共有100個(gè)網(wǎng)格，因此要想完整獲得下游流域進(jìn)口流量和壓力的關(guān)系需要100組數(shù)據(jù)?？紤]到下游流域具有對(duì)稱性，因此僅需要25組數(shù)據(jù)就足夠降階模型辨識(shí)。另外，本文針對(duì)降階模型辨識(shí)的需要專門進(jìn)行了仿真，在實(shí)際問(wèn)題中這些數(shù)據(jù)完全可以從已有的設(shè)計(jì)過(guò)程和試驗(yàn)結(jié)果中獲得。

圖4 不同位置流量擾動(dòng)后下游流域界面的壓力分布(部分?jǐn)?shù)據(jù))

3.3 翼型仿真模型與下游界面降階模型的耦合

將翼型流域的仿真模型與下游界面降階模型耦合，形成混合模型。由該混合模型計(jì)算界面壓力和速度，結(jié)果如圖5和圖6的mixed所示。為了驗(yàn)證本文方法，還給出了翼型和下游流域都采用CFD模型的結(jié)果(圖5和圖6中CFD)，這里簡(jiǎn)稱CFD模型結(jié)果?？梢钥闯?，混合模型結(jié)果和CFD模型結(jié)果一致，這說(shuō)明本文的方法是可行的。

圖5 混合模型和CFD模型的界面壓力和速度Fig.5 Interface pressures and velocities of the mixed and CFD models

圖6 混合模型和CFD模型的翼型區(qū)域壓力(單位：Pa)Fig.6 Airfoil pressures of the mixed and CFD models (unit:Pa)

4 基于混合模型的翼型優(yōu)化

用混合模型優(yōu)化翼型，目標(biāo)是增大翼型升力。采用Hicks-Henne方法進(jìn)行翼型參數(shù)化[24,25]。本文只對(duì)上表面的6個(gè)形狀參數(shù)a1至a6進(jìn)行了優(yōu)化，其取值范圍為[-0.01,0.01]。采用序列二次規(guī)劃法SQP作為優(yōu)化算法。優(yōu)化共迭代230次，得到的翼型升阻比為0.07186/0.02424。

為了驗(yàn)證本文方法，還給出了采用CFD模型的優(yōu)化結(jié)果。優(yōu)化時(shí)采用完全相同的參數(shù)化方法、取值范圍、優(yōu)化目標(biāo)和優(yōu)化算法。采用CFD模型也迭代230次，得到翼型升阻比為0.07176/0.02417。

圖7和圖8比較了采用混合模型和CFD模型優(yōu)化得到的最優(yōu)翼型、壓力系數(shù)和壓力分布。結(jié)果表明，采用混合模型和CFD模型的優(yōu)化結(jié)果一致。因此，基于邊界替代降階模型法是可行的。

在優(yōu)化過(guò)程中每個(gè)混合模型需要13分鐘(2970次迭代，0.2626 s/次)收斂，每個(gè)CFD模型需要29 min(6262次迭代，0.2779 s/次)收斂，這表明降階模型提高了計(jì)算效率?？紤]到在算例中只替代了一個(gè)很小的流域，因此單次迭代計(jì)算效率提高不明顯。如果替代的區(qū)域很大，如發(fā)動(dòng)機(jī)多級(jí)葉片的流域，則效率提升會(huì)非常顯著。從每個(gè)模型收斂所用的迭代次數(shù)來(lái)看，混合模型比CFD模型收斂速度快。分析可知，混合模型的網(wǎng)格比CFD模型少，因此，消除所有網(wǎng)格計(jì)算誤差的迭代次數(shù)少。

圖7 混合模型和CFD模型的優(yōu)化翼型和壓力系數(shù)Fig.7 Optimal airfoil and its pressures of the mixed and CFD models

圖8 優(yōu)化翼型的混合模型和CFD的壓力云圖(單位：Pa)Fig.8 Pressures contour of the optimal airfoil by the mixed and CFD model (unit:Pa)

5 總 結(jié)

為了降低航空發(fā)動(dòng)機(jī)流道某個(gè)區(qū)域流動(dòng)特性分析的計(jì)算量，提出了一種邊界替代降階模型方法。該方法用界面將研究區(qū)域與上下游區(qū)域分開(kāi)，從上下游區(qū)域的模擬結(jié)果中辨識(shí)出界面的壓力和流量關(guān)系的邊界替代降階模型，將流域仿真模型與邊界替代降階模型耦合，舍棄了流道內(nèi)大部分區(qū)域的仿真模型，同時(shí)保留其對(duì)研究區(qū)域的影響。

用一排翼型和一排下游擾流柱的例子驗(yàn)證了本文的方法，結(jié)果表明,(1) 采用本文方法與完全采用CFD得到的翼型流域的壓力和流速完全一致； (2) 采用本文方法將減小計(jì)算量； (3) 采用本文方法更容易收斂?？偟膩?lái)說(shuō)，本文方法可以極大地提高發(fā)動(dòng)機(jī)流道氣動(dòng)優(yōu)化和可靠性分析的效率。