彈性地基上多孔功能梯度材料矩形板的自由振動(dòng)與臨界屈曲載荷分析

滕兆春， 席鵬飛

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院，蘭州 730050)

1 引 言

現(xiàn)代科技發(fā)展需要能滿足各種苛刻環(huán)境的材料，功能梯度材料FGM(Functionally Graded Materials)可以適應(yīng)包括熱載荷在內(nèi)的多種復(fù)雜工況，能很好地滿足這種需求。因此，許多學(xué)者對(duì)FGM構(gòu)件在各種條件下的動(dòng)靜態(tài)力學(xué)行為進(jìn)行了大量研究[1-3]。Hussain等[4]研究了Winkler和Pasternak彈性地基上旋轉(zhuǎn)FGM圓柱殼的振動(dòng)特性。Wang等[5]基于Levinson梁理論對(duì)FGM梁的自由振動(dòng)進(jìn)行了分析，并用數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了梯度指數(shù)、長(zhǎng)細(xì)比和邊界條件等對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的影響。鄧陽(yáng)等[6]基于修正偶應(yīng)力理論和Kirchhoff板理論研究了功能梯度微板的熱力耦合屈曲問(wèn)題，討論了材料尺度參數(shù)、邊長(zhǎng)比及梯度指數(shù)對(duì)板穩(wěn)定性的影響。近年來(lái)由于增強(qiáng)FGM材料的出現(xiàn)和使用，一些學(xué)者研究了碳納米管[7]和石墨烯[8]等增強(qiáng)FGM結(jié)構(gòu)的力學(xué)問(wèn)題，進(jìn)一步擴(kuò)展并豐富了FGM的基礎(chǔ)理論研究。但是，上述研究工作大多是從材料的理想形態(tài)入手建立力學(xué)模型并進(jìn)行分析，忽略了材料在實(shí)際應(yīng)用中孔隙的存在。

FGM在實(shí)際生產(chǎn)和制備中，由于生產(chǎn)方式和工藝的缺陷，在材料內(nèi)部往往會(huì)產(chǎn)生孔隙?？紫妒沟貌牧显诠こ虘?yīng)用中的力學(xué)性能存在不確定性，因此，孔隙對(duì)材料性能的影響得到很多學(xué)者的重視和研究，并提出了材料的多種孔隙分布理論。Nam等[9]基于高階剪切變形研究了用正交和斜加強(qiáng)筋增強(qiáng)的多孔功能梯度材料板的非線性熱機(jī)械屈曲，發(fā)現(xiàn)孔隙分布和加強(qiáng)筋等對(duì)板的性能影響較大。Kiran等[10]研究了不同孔隙分布、孔隙率和傾角等幾何參數(shù)對(duì)斜功能梯度磁彈性板的影響。Daikh等[11]采用一種新的簡(jiǎn)單的高階剪切變形理論，研究了多孔功能梯度夾層板的自由振動(dòng)和機(jī)械屈曲，分析了孔隙率、夾芯板幾何形狀和非均勻性參數(shù)對(duì)FG夾芯板屈曲和自由振動(dòng)的影響。上述研究都是在同一種孔隙分布體系下展開的，應(yīng)用了四種可用數(shù)學(xué)表述孔隙分布模型。同時(shí)，基于余弦函數(shù)形式的孔隙理論，Rezaei等[12]給出了多孔材料厚矩形板自由振動(dòng)的精確解，分析了約束、流體、板的幾何尺寸以及板的孔隙率對(duì)自由振動(dòng)的影響。Kim等[13]采用經(jīng)典和一階剪切變形板理論研究了功能梯度多孔微板的彎曲、自由振動(dòng)和屈曲響應(yīng)。這些研究在一定程度上驗(yàn)證了孔隙理論的適用性。

各種FGM力學(xué)性能的研究中，其控制微分方程可以通過(guò)各種方法求解，如有限單元法[14]和微分求積法[15]等。在多種求解方法中，微分變換法DTM(Differential Transformation Method)[16]受到了很多人的青睞。Ebrahimi等[17]基于DTM研究了旋轉(zhuǎn)的基于Mori-Tanaka模型FGM梁的自由振動(dòng)問(wèn)題。Ebrahiminejad等[18]基于DTM研究了不同邊界條件下，材料梯度、非局部效應(yīng)、壓電電壓以及溫度變化對(duì)壓電FGM納米梁振動(dòng)特性的影響。Houbowski等[19]用DTM研究了非均勻加載梁的橫向扭轉(zhuǎn)屈曲問(wèn)題。上述研究利用DTM對(duì)各問(wèn)題的控制微分方程進(jìn)行變換求解，得到方程各階導(dǎo)數(shù)微分變換式之間的代數(shù)關(guān)系，再將經(jīng)微分變換的邊界條件代入代數(shù)關(guān)系遞推，可求得原方程解的離散值，將這個(gè)解進(jìn)行微分反變換即可得到用連續(xù)自變量表示的級(jí)數(shù)形式方程的解，這一過(guò)程非常適合計(jì)算機(jī)編程計(jì)算。DTM在特征值問(wèn)題中不使用反變換就能求得特征值，從而在解決自由振動(dòng)和屈曲問(wèn)題中具有較多應(yīng)用。

目前，關(guān)于彈性地基上多孔FGM矩形板自由振動(dòng)與臨界屈曲載荷問(wèn)題的研究在國(guó)內(nèi)外還未有文獻(xiàn)報(bào)道，且考慮到彈性地基板在工程實(shí)際中的廣泛應(yīng)用背景，本文采用DTM對(duì)Winkler彈性地基上四邊受壓多孔FGM矩形板自由振動(dòng)與臨界屈曲載荷展開研究，分析梯度指數(shù)、孔隙率、地基剛度系數(shù)、長(zhǎng)寬比、四邊受壓載荷及邊界條件等對(duì)多孔FGM矩形板無(wú)量綱固有頻率的影響以及各參數(shù)對(duì)無(wú)量綱臨界屈曲載荷的影響，為今后多孔FGM板的研究提供數(shù)據(jù)支撐。

2 多孔FGM矩形板的物性參數(shù)

Winkler彈性地基上四邊受壓多孔FGM矩形板的力學(xué)模型如圖1所示。多孔FGM矩形板長(zhǎng)度為a，寬度為b，厚度為h，邊界上受到垂直于y軸截面上的壓載荷Ny和垂直于x軸截面上的壓載荷Nx的作用，Winkler地基剛度系數(shù)為kw，其邊界條件約定按x=0，y=b，x=a和y=0的順序給出。

圖1 Winkler彈性地基上四邊受壓多孔FGM矩形板Fig.1 Porous FGM rectangular plate with four sides compression on Winkler elastic foundation

含孔隙FGM矩形薄板的彈性模量和密度等沿厚度方向呈梯度變化，上表面是負(fù)向，為完全金屬，下表面是正向，為完全陶瓷，可用改進(jìn)的混合率公式表示為[10]

P(z)=(Pc-Pm)(1/2+z/h)n+

Pm-(Pc+Pm)Vjθ/2

(1)

式中n為梯度指數(shù)，Pc和Pm分別為無(wú)孔隙時(shí)陶瓷和金屬材料的物性參數(shù)，θ為孔隙率，Vj為四種孔隙分布模型(j=1,2,3,4)，根據(jù)z軸正向向下，可得孔隙分布如圖2所示?？紫堆睾穸确较虻牟煌植寄Ｐ蚔j如下。

(a) 孔隙均勻分布

V1=1

(2)

(b) 孔隙集中在兩種材料結(jié)合部分，并向頂部和底部呈線性減少至零。

V2=1-2|z|/h

(3)

(c) 中間結(jié)合部分孔隙率低，靠近頂部和底孔隙率增大。

V3=2|z|/h

(4)

(d) 正向孔隙率高，負(fù)向孔隙率低。

V4=1+2z/h

(5)

圖2 孔隙分布Fig.2 Pore distribution

3 控制微分方程的推導(dǎo)與DTM變換

3.1 無(wú)量綱控制微分方程

考慮到FGM矩形薄板的面內(nèi)尺寸遠(yuǎn)大于其橫向尺寸，橫向剪切變形可忽略，即多孔FGM矩形板滿足克?；舴蚣僭O(shè)，其位移分量為

u(x,y,z,t)=-(z-z0)?w/?x

v(x,y,z,t)=-(z-z0)?w/?y

w(x,y,z,t)=w(x,y,t)

(6)

式中u，v和w分別為板內(nèi)一點(diǎn)沿x，y和z方向的位移，t為時(shí)間，z0為物理中面。物理中面內(nèi)應(yīng)力分量與應(yīng)變分量為零，其表達(dá)式為[20]

(7)

基于經(jīng)典薄板理論所給的本構(gòu)關(guān)系，應(yīng)用Hamilton原理[21]可推導(dǎo)出Winkler彈性地基上四邊受壓多孔FGM矩形板的自由振動(dòng)與屈曲問(wèn)題的控制微分方程。Hamilton原理為

(8)

式中T，U和V分別為系統(tǒng)的動(dòng)能、應(yīng)變能和外力勢(shì)能，δ為變分符號(hào)，t1和t2分別為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的初始時(shí)刻和終止時(shí)刻。本文只考慮橫向位移，令w=w(x,y,t)，可得

(9)

(10)

(11)

式中D11和D12為抗彎剛度，D33為抗扭剛度，I1為多孔FGM矩形板的慣性系數(shù)，則

(Ec/Em+1)γ

由此可知，當(dāng)n趨近于0時(shí)，抗彎剛度變?yōu)镈c，當(dāng)n趨近于無(wú)窮大時(shí)，抗彎剛度變?yōu)镈m，α,β和γ的數(shù)值由孔隙分布類型決定，即

若按(a)型分布α=θ/2，β=0，γ=θ/2

若按(b)型分布α=θ/4，β=0，γ=θ/8

若按(c)型分布α=θ/4，β=0，γ=3θ/8

若按(d)型分布α=θ/2，β=θ/12，γ=θ/24

將式(9～11)代入式(8)，可得Winkler彈性地基上四邊受壓多孔FGM矩形板橫向運(yùn)動(dòng)的控制微分方程為

(12)

綜上可得Winkler彈性地基上四邊受壓多孔FGM矩形板自由振動(dòng)時(shí)的無(wú)量綱控制微分方程為

(13)

由彈性穩(wěn)定性理論可知，臨界屈曲載荷使得矩形板發(fā)生屈曲時(shí)，其固有頻率將變?yōu)榱?，故?13)中Ω=0時(shí)，也可以表示W(wǎng)inkler彈性地基上四邊受壓多孔FGM矩形板屈曲時(shí)的無(wú)量綱控制微分方程。

多孔FGM矩形板在X=0和X=1處的無(wú)量綱邊界條件為

簡(jiǎn)支(S)W=0， d2W/dX2=0

(14)

固定(C)W=0， dW/dX=0

(15)

(16)

3.2 控制微分方程和邊界條件的DTM變換

用DTM原理，將彈性地基上四邊受壓多孔FGM矩形板自由振動(dòng)和屈曲的無(wú)量綱控制微分方程(13)轉(zhuǎn)換為如下迭代形式的代數(shù)特征方程，

(17)

邊界條件的DTM變換為

在X=0處，

(18)

(19)

(20)

在X=1處，

(21)

(22)

自由(F)

(23)

4 計(jì)算結(jié)果及分析

4.1 算例對(duì)比

各種材料的物性參數(shù)列入表1。表2是將材料退化為無(wú)孔隙FGM時(shí)計(jì)算結(jié)果與已有文獻(xiàn)對(duì)比，以驗(yàn)證本文相關(guān)研究的正確性與有效性。

表1 不同材料的物性參數(shù)Tab.1 Physical parameters of different materials

表2 不同長(zhǎng)寬比和邊界條件下前兩階無(wú)量綱固有頻率(n =1,2)Tab.2 First two dimensionless natural frequencies under different aspect ratios and boundary conditions(n =1,2)

4.2 結(jié)果分析

圖3 在不同梯度指數(shù)與孔隙分布時(shí)孔隙率對(duì)CSCS邊界條件下FGM矩形板一階無(wú)量綱固有頻率的影響Fig.3 Effect of porosity on the first order dimensionless natural frequency of FGM rectangular plate under CSCS boundary conditions with different gradient index and pore distribution

圖4 在不同孔隙分布與邊界條件時(shí)彈性地基對(duì)多孔FGM矩形板一階無(wú)量綱固有頻率的影響Fig.4 Influence of elastic foundation on the first order dimensionless natural frequency of porous FGM rectangular plate with different pore distribution and boundary conditions

圖5 在不同孔隙率與孔隙分布時(shí)長(zhǎng)寬比對(duì)CSCS邊界條件下FGM矩形板一階無(wú)量綱固有頻率的影響Fig.5 Effect of aspect ratio on the first order dimensionless natural frequency of FGM rectangular plate under CSCS boundary conditions at different porosity and pore distribution

圖6 在不同孔隙率與孔隙分布時(shí)四邊對(duì)稱載荷對(duì)CSCS邊界條件下FGM矩形板一階無(wú)量綱固有頻率的影響Fig.6 Effect of quadrature symmetric load on the first order dimensionless natural frequency of FGM rectangular plate under CSCS boundary conditions at different porosity and pore distribution

圖7 在不同梯度指數(shù)和孔隙分布時(shí)孔隙率對(duì)對(duì)稱邊界條件下FGM矩形板無(wú)量綱臨界屈曲載荷的影響Fig.7 Effect of porosity on the dimensionless critical buckling load of FGM rectangular plates under symmetric boundary conditions with different gradient index and pore distribution

5 結(jié) 論

通過(guò)分析不同參數(shù)對(duì)無(wú)量綱的固有頻率和臨界屈曲載荷的影響，得到如下結(jié)論。

(1) 孔隙率對(duì)無(wú)量綱固有頻率的影響受材料梯度指數(shù)和孔隙分布方式的影響。梯度指數(shù)較小時(shí)，四種分布中無(wú)量綱固有頻率均隨孔隙率的增大而增大，梯度指數(shù)較大時(shí)，V1和V3中無(wú)量綱固有頻率隨孔隙率的增大而減小，V2和V4中無(wú)量綱固有頻率隨孔隙率的增大而增大，但增幅在減小。

(2) 長(zhǎng)寬比對(duì)無(wú)量綱固有頻率的影響受孔隙率和孔隙分布方式的影響。長(zhǎng)寬比增大，無(wú)量綱固有頻率也隨之增大，同時(shí)，在V1和V3中，無(wú)量綱固有頻率頻率隨孔隙率增大而減小，在V2和V4中，無(wú)量綱固有頻率隨孔隙率增大而增大。

(3) 有孔隙存在時(shí)，對(duì)稱載荷對(duì)無(wú)量綱固有頻率的影響因孔隙分布方式的不同而呈復(fù)雜變化。總體上無(wú)量綱固有頻率隨對(duì)稱載荷的增大而減小，但在V1和V3中，無(wú)量綱固有頻率隨孔隙率的增大而增大，在V2和V4中，對(duì)稱載荷增大時(shí)，無(wú)量綱固有頻率隨孔隙率的變化會(huì)發(fā)生突變。

(4) 無(wú)量綱臨界屈曲載荷隨孔隙率和梯度指數(shù)的增大而減小，隨邊界約束增強(qiáng)而增大。