基于非齊次復合Poisson過程的正交異性鋼橋面板細節(jié)疲勞裂紋隨機擴展研究

張海萍, 劉 揚, 羅 媛, 鄭 輝, 鄧 揚

(1.湖南工業(yè)大學 土木工程學院，株洲 412007;2.北京建筑大學 土木與交通工程學院，北京 100044)

1 引 言

研究表明鋼橋面板細節(jié)的疲勞失效過程呈現(xiàn)非線性變化[1]。變幅荷載、超載和荷載順序均會影響疲勞裂紋的擴展行為。實際車輛運營狀態(tài)是一種復雜的隨機過程[2]， 使得車載下鋼橋面板細節(jié)點的疲勞裂紋擴展隨機性增強。鋼橋面板細節(jié)疲勞隨機擴展分析方法亟待發(fā)展。

近年來，部分研究學者采用隨機車流描述車輛的運營狀態(tài)[3]，其核心思想是基于車流統(tǒng)計數(shù)據對車型比例、車重、車距和車速等參數(shù)的概率模型進行建模，并采用蒙特卡洛(Monte-Carlo)法對相關參數(shù)概率模型進行抽樣，最后整合所有的抽樣數(shù)據得到隨機車流樣本。隨機車流模型沒有考慮車流在時間維度上的變化，實為偽隨機過程模型。在車輛荷載隨機模型研究方面，主要采用單一的白噪音模型[4]、平衡更新模型[5]和泊松過程模型[6]來描述車輛的隨機過程。單一的數(shù)學隨機過程模型忽略了駕駛人員行為和交通規(guī)則，使得數(shù)值模型與車輛實際運營狀態(tài)存在一定的差異。

現(xiàn)階段，鋼橋的疲勞評估方法主要包含疲勞強度曲線法(S-N曲線法)和斷裂力學法。S-N曲線法研究工作的趨勢是通過量化不同標準材料、結構和細節(jié)類型疲勞試驗，豐富和完善工程結構的疲勞強度規(guī)范[7]。很多學者認為，名義應力法并不適用于正交異性鋼橋面結構的評估。不少學者通過多次對細節(jié)及周圍點的測量應力進行求商來確定熱點應力系數(shù)。如朱太勇等[8]提出一種全空間S-N曲線法，該疲勞強度曲線能夠考慮OSD細節(jié)熱點應力和焊接殘余應力對疲勞壽命的影響。S-N曲線的局限性在于無法考慮隨機應力幅和超載應力幅對裂紋擴展的影響，從而無法分析疲勞裂紋的非線性擴展過程。對比S-N曲線法，斷裂力學能夠分析結構或材料疲勞損傷的非線性變化過程，更符合金屬材料疲勞損傷的演化規(guī)律。但由于實際工作結構的裂紋形狀不規(guī)則和疲勞應力幅形式復雜，使得實際工程結構細節(jié)的應力強度因子求解困難。

本文建立了一套應用于橋梁結構細節(jié)疲勞裂紋隨機擴展評估方法的理論框架。首先，提出了一種非齊次復合泊松過程隨機模型描述車輛的隨機運營過程。該模型包含有車流密度、車輛類型、車重和車速等參數(shù)。在ANSYS平臺將車流的隨機荷載時間序列數(shù)據轉換成疲勞應力時間序列。提出了能夠考慮加載次序和超載因素OSD焊接細節(jié)的疲勞評估方法，并討論不同車輛排隊順序與車輛超載率對疲勞開裂擴展速率的影響。

2 車輛荷載非齊次復合Poisson過程建模

2.1 車輛隨機過程模型

車輛在特定的時間經過某橋梁的某一位置后，車重的時間序列為一種脈沖曲線。車輛數(shù)的時間序列隨時間的累計呈現(xiàn)出階梯上升的特征。車重和車輛數(shù)是決定細節(jié)疲勞開裂擴展的關鍵變量。復合Poisson過程與車流過橋特征高度相似?？梢钥紤]用濾過復合Poisson過程模型描述車輛運營過程。用復合Poisson過程隨機模型描述車輛荷載需要滿足三個條件。

(1) 車輛重w(t)和車數(shù)在時間區(qū)間[0，T]具有相同概率分布特征。

(2) 復合Poisson過程模型只能描述單一車道的車輛運營。

(3) 車輛荷載在時間區(qū)間[0，T]內保持勻速。復合Poisson過程模型的表達式為[9]

(1)

式中N(t)為在時間區(qū)間[0，T]以速率為λ的Poisson過程，ζn為第n輛貨車的重量，τn為第n輛貨車跨越測量點所需的時間，Tn為第n-1輛到達車輛與第n輛到達車輛的時間間隔。I(t;τn)的表達式為

(2)

由圖1可知，高速公路車輛運營車流量隨時間變化呈一定的規(guī)律性。在9時～18時車流密度相對區(qū)間0時～8時較高。實際運營的車流密度不滿足Poisson過程條件假設(1)，即車流密度在時間跨度為1天內變化較大。需要將時間區(qū)間長度按照實際車流密度在時間上的變化來進行劃分?？梢詫⒛Ｐ椭械臅r間區(qū)間等分成M段，每一段的車輛密度強度參數(shù)取值均不同。復合Poisson過程的另一個參數(shù)ζn會隨車型的變化概率分布有較大的不同。可以看出，用傳統(tǒng)的復合Poisson過程模型來描述車輛荷載隨機過程假設太多，難以滿足工程應用的要求。需要建立一種廣義符合實際車輛運營狀態(tài)的數(shù)值模型-非齊次復合Poisson模型。該模型將不同時段的車流密度強度的Poisson模型組合在一起，并能夠將車重按照車型分類分別建立概率模型，其表達式為

(3)

式中M為日交通車流時間區(qū)間分段數(shù)，Ni(t)為時間區(qū)間[Ti - 1,Ti]的復合Poisson過程模型，其車流密度強度參數(shù)為λi(t),ζj n為車輛中第n輛j型車，τj n為第n輛j型車通過稱重傳感器的時長。

2.2 隨機模型參數(shù)

2.2.1 時間區(qū)間

參數(shù)M代表非齊次復合Poisson模型中子復合隨機模型的個數(shù)。M的取值越大，劃分的時間區(qū)間則越多，模型越精確同時也越復雜。M的取值需要依據實際車流密度的實時統(tǒng)計曲線來確定。文獻[10]統(tǒng)計了2014年南溪長江大橋的日交通流均值分布數(shù)據(圖1)。由圖1可知，車流密度在0時～7時區(qū)間保持恒定的疏松交通運營狀態(tài)，可以作為第一個子區(qū)間。在7時～10時段，車流量呈直線上升的趨勢，作為第二個時間子區(qū)間。車流密度在10時～18時時間區(qū)間維持在一個較高的密度運營狀態(tài)，將其劃分為第三個時間區(qū)間。在時間區(qū)間18時～24時，車流密度直線下降，可以將其作為第四個時間區(qū)間。綜上所述，本文將車輛荷載非齊次復合Poisson模型的參數(shù)M取值4。

2.2.2 時間間隔

λi為時間區(qū)間[Ti - 1,Ti]的車流密度強度。T的概率分布決定了車輛荷載隨機過程模型的類型。本文假定車流隨機過程模型用Poisson模型來描述，則時間T服從指數(shù)分布，概率密度函數(shù)可表示為

(4)

式中λi為指數(shù)分布的強度值。從圖1可以看出，強度系數(shù)λi隨時間呈一定的變化規(guī)律。將車流荷載隨機過程的時間區(qū)間分為[0，7],[7，10],[10，18]和[18，24]4個區(qū)間。分別統(tǒng)計時間區(qū)間[0，7]和[10，18]車輛時間間隔T的概率分布，并采用指數(shù)分布擬合實測分布模型。圖2給出了兩個代表時段的實測統(tǒng)計分布與擬合模型的對比。采用分段函數(shù)來描述4個區(qū)間的強度系數(shù)λi，其表達式為

(5)

圖2 兩時段車輛時間間距概率分布Fig.3 Vehicle time interval probability distribution in two differences period of time

2.2.3 車型和車重

(1) 車型

不同車輛類型其車重的概率分布有所不同，將車輛類型按照車輛輪軸數(shù)分為5類， 圖3為5類典型車型日平均交通占用率。其中偶數(shù)車軸的車占據總重車交通比例的91%。奇數(shù)車軸占據交通總量比例的9%。

圖3 5類典型車型占有率Fig.3 Occupation ratio of five types of vehicles

(2) 車重

車輛荷載母樣本監(jiān)測數(shù)據包含不同車型和車輛貨載率，車輛荷載服從高斯混合分布，則

(6)

表1 車重高斯混合模型參數(shù)Tab.1 GMM parameters of vehicle weight

2.2.4 時間參數(shù)τj n

τj n代表車輛荷載經歷指定點所需要的時間，可以用總軸長與車速的比值來定義,即

τj n=lj n/vj n

(7)

式中l(wèi)j n和vj n分別為第n輛j型車經歷的總軸長和車速。Guo等[11]認為車輛的軸長服從對數(shù)正態(tài)分布。同時，對數(shù)正態(tài)分布模型也可以用來描述車速的概率分布[12]。假設車輛的總軸長與車速的概率模型相互獨立，由經典統(tǒng)計數(shù)學理論可知推導時間參數(shù)τj n服從對數(shù)正態(tài)分布。表2列出了時間參數(shù)τj n的擬合模型參數(shù)。

表2 時間參數(shù)τj n對數(shù)正態(tài)模型擬合參數(shù)Tab.2 Parameters of τj n Log-normal model

2.4 疲勞應力隨機過程

荷載模型需要轉換成細節(jié)疲勞效應模型才能完成對結構細節(jié)疲勞裂紋隨機擴展的預測。對于車輛荷載隨機過程模型，包含3個關鍵的參數(shù),即相鄰兩車的時間間距T、車輛經過測點的時間τj n和車的總重ζn。對于結構的荷載效應隨機過程模型，兩次脈沖效應的時間間距與相鄰兩車的時間間距T相對應。任意一次脈沖效應的持續(xù)時間與車輛經過測點的時間τj n相對應。采用瞬態(tài)分析將荷載轉化成結構的疲勞應力。細節(jié)的疲勞應力隨機過程模型可表示為

(8)

式中F(ζj n,Te)為當鋪裝層溫度為Te時，車輛荷載ζj n作用下結構細節(jié)點應力的時間序列。

為實現(xiàn)荷載與應力效應之間的轉化，在ANSYS平臺建立正交異性鋼箱梁結構的局部模型。由于局部模型單元劃分數(shù)量較多，為減少計算量，建立半幅鋼箱梁有限元模型。采用solid45單元和shell63單元分別模擬正交異性箱梁結構的瀝青混凝土鋪裝層和鋼箱梁正交異性板。對瀝青混凝土鋪裝層、頂板、底板和U肋采用矩形進行網格劃分，橫隔板采用三角形進行網格劃分。假設主梁結構在承受車輛荷載時不發(fā)生滑動位移和扭轉，有限元模型邊界節(jié)點的6個自由度全部約束。鋪裝層溫度為20 ℃時，瀝青混凝土的彈性模量和泊松比分別為6147 MPa和0.2。U肋的頂板、腹板和底板厚度分別為14 mm,8 mm和10 mm。U肋的彈性模量和泊松比分別為210 GPa和0.3。主梁的局部有限元模型如圖4所示。

圖4 橋面板有限元模型Fig.4 Finite model of steel box girder

圖5給出了V4過橋時U肋-頂板細節(jié)的疲勞應力模擬曲線與應力實測曲線對比?？梢钥闯觯M曲線和實測曲線整體擬合較好，表明有限元模型滿足計算精度要求。

圖5 數(shù)值模擬和實測數(shù)據應力時程曲線對比Fig.5 Comparisons between the measured stress data and FEA results

3 疲勞裂紋隨機擴展模型

S -N 曲線法不能考慮材料疲勞開裂的過程，Paris等[13]提出了疲勞裂紋開展模型

da/dN=C·ΔKm

(9)

式中C和m為材料參數(shù)，a為材料的疲勞裂紋尺寸，ΔK為疲勞裂紋尖端附近的應力強度因子。該模型簡單描述了裂紋擴展與應力強度因子之間的發(fā)展關系，Paris模型只能計算恒定應力幅作用下的裂紋擴展行為，不能預測變幅作用下結構的疲勞壽命。Elber[14]認為材料的裂紋張開需要一定的門檻應力，當循環(huán)應力大于開口應力時，裂紋才會開口，且裂紋尖端才會向前擴展。提出有效應力強度因子的表達式為

ΔKeff=ΔK-ΔKo p

(10)

式中 ΔKeff為有效應力強度因子，ΔKo p為開口應力強度因子。

圖6給出了材料裂紋從t時刻到t+Δt時刻裂紋擴展的過程。在擴展過程中，材料的疲勞裂紋尖端從點O擴展至點O′，裂紋尖端的位移為da，裂紋的張開位移為dδ，t+Δt時刻裂紋的張開角度為θ?？赏茖Я鸭y的擴展位移da和裂紋的張開位移dδ之間的關系式為

(11)

文獻[15]通過試驗觀測得到疲勞裂紋的張開角度變化范圍從初始裂紋的90°到疲勞失效時的4°～6°。裂紋的張開角度與材料裂紋尖端的應力強度因子ΔK、材料屈服強度應力因子ΔKc和材料裂紋開口應力強度因子ΔKo p存在相關關系，其表達式為[16]

(12)

式中 當細節(jié)承擔的應力等于材料的開口應力時，則裂紋張開角度為90°；當效應應力等于材料的屈服應力時，裂紋張開角度為0°。

圖6 半橢圓疲勞裂紋擴展Fig.6 Illustration of semi-elliptic fatigue crack propagation

正交異性板焊接細節(jié)點出現(xiàn)疲勞裂紋主要集中在有初始缺陷的部位，屬于表面裂紋，故裂紋張開位移的表達式為[17]

(13)

式中E為材料的彈性模量，σy為材料的屈服應力。為進一步簡化計算表達式，令

(14)

則結合式(11～14)，得到在時間t和t+Δt時刻，裂紋張開位移和裂紋深度的關系式為

δ=λσ2a,δ′=λ(σ+dσ)2(a+da)

(15,16)

對式(15,16)求差，得到

dδ=δ′-δ=λ(2σadσ+σ2da)

(17)

將式(17)代入式(11)，得

(18)

式(18)表達出了微元時間內應力變化引起裂紋尖端尺寸向前擴展的變化值的對應關系。從時間t到t+Δt內，疲勞裂紋尺寸增長長度的表達式為

(19)

參數(shù)E，σy和Kc均為材料的固有特征參數(shù)值，不隨外界荷載或環(huán)境的變化而變化。表3列出了3個參數(shù)的取值。a(t)為t時刻材料的橢圓形疲勞裂紋的長軸取值，也就是描述疲勞損傷大小的參數(shù)。當t=0時，a(0)的取值為材料的初始缺陷裂紋尺寸。通過對現(xiàn)場的測量或假設得到。本文假設初始裂紋長軸長度值為0.1[18]。σ(t)為結構材料關注點應力隨時間的變化值。

表3 疲勞參數(shù)取值[19]Tab.3 Value of fatigue parameters[19]

開口應力強度因子Ko p和有效應力強度因子ΔKeff作為式(19)的兩個復雜的參數(shù)變量需要進行詳細討論。根據正交異性板細節(jié)點的受力特點，主要受拉壓作用，故I型裂紋為最危險的裂紋形態(tài)[20]。本文選用I型裂紋作為疲勞裂紋的形態(tài)。應力強度因子的表達式為[21]

(20)

式中F(a)為裂紋的形狀函數(shù)。F(a)的表達式由裂紋的幾何形狀決定。文獻[22]給出了形函數(shù)的一般表達式為

F(a)=M1M2/P

(21)

式中M1和M2分別為裂紋表面修正系數(shù)和材料厚度修正系數(shù),P為形狀參數(shù)。

M1=1+0.12 [1-a/(2c)]2

(22)

M2=2w/(πa)·tan[πa/(2w)]1/2

(23)

(24)

式中a和c分別為半橢圓裂紋的裂紋深度和裂紋寬度，w為材料的厚度，θ為裂紋的張開角。本文假設半橢圓的短長軸比值恒定，參考文獻[23]的測量值a/c=0.1，則應力強度因子的一般式為

(25)

式(25)給出了正交異性板兩類焊接細節(jié)構造應力強度系數(shù)的一般表達。對于開口應力強度因子Ko p所對應的開口應力σo p需要確定。在恒幅荷載作用下，同一材料的疲勞裂紋開口應力保持不變。當荷載形式為變幅時，則材料的開口應力隨荷載不同而改變。文獻[24]認為裂紋在一個循環(huán)荷載作用結束后，裂紋從張開到閉合的過程中，會在裂紋尖端產生橢圓形的反塑性區(qū)域。當下一輪循環(huán)荷載作用時，拉應力使得裂紋尖端出現(xiàn)塑性區(qū)域的面積等于前一輪荷載造成的反塑性區(qū)域面積時，裂紋尖端才會從新張開[25]。反塑性區(qū)和塑性區(qū)概念的提出解釋了變幅荷載為何能夠引起材料裂紋開口應力的變化。文獻[26]給出反塑性區(qū)域半徑的計算表達式為

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(26)

式中rp為反塑性區(qū)域橢圓的長軸。

拉應力作用下，裂紋尖端的塑性區(qū)域面積大小為[27]

(27)

式中

(28)

當反塑性區(qū)域半徑rp等于塑性區(qū)域半徑rf時，裂紋尖端開始向前擴展。結合式(26,27)，推導得到第i次開口應力的表達式為

(29)

式中σi o p為第i次疲勞裂紋的開口應力，σi min為第i次循環(huán)應力的最小值，Δσi - 1為第i-1次應力幅值。由式(29)可知，當前疲勞裂紋的開口應力與前一次的應力幅值關系密切。前一次應力幅值越大，當前的開口應力也就越大。值得說明的是，當i=1時，依據式(29)可推導開口應力σi o p=σi min。若σi min≤0，則式(29)不成立。故式(29)成立的邊界條件為i>1。圖7為兩類疲勞裂紋尖端塑性面積區(qū)間對比。

圖7 疲勞荷載作用下裂紋尖端的兩塑性區(qū)間面積Fig.7 Two types of plastic zone under the cycle loading

由式(19)可知裂紋尖端擴展過程為一種隨機過程模型。基于橋梁健康監(jiān)測數(shù)據和有限元計算數(shù)據對OSD兩類典型的細節(jié)疲勞裂紋隨機擴展模型進行討論。疲勞裂紋的擴展隨機性很強，不能用單一的裂紋擴展曲線來代表細節(jié)的裂紋擴展情況。圖8列出了100次細節(jié)疲勞裂紋擴展的三個特征值的變化曲線。三個特征值分別為5%分位值點、均值點和95%分位值點。當橋梁結構服役163.3年時，細節(jié)點的疲勞裂紋深度均值達到頂板的厚度。在橋梁服役年限區(qū)間[158.5,170.1]，細節(jié)點的疲勞失效概率為90%。

圖8 細節(jié)疲勞裂紋隨機擴展Fig.8 Illustration of fatigue crack random propagation for details

4 討 論

4.1 不同車輛加載次序下疲勞裂紋隨機擴展

工況1的車輛荷載加載次序遵循從大到小的原則，車輛加載次序依次為V6,V5,V4,V3和V2；工況2則與工況1相反；工況3的加載次序介于工況1和工況2之間，加載次序依次為V3,V5,V6,V4和V2。車輛的車重和軸重按照標準疲勞車輛取值。由圖9可知，工況1、工況2和工況3作用下，細節(jié)點的疲勞壽命分別為1062000,1124000和1165000次工況循環(huán)加載次。在3類工況中，工況1和工況2作用下的細節(jié)疲勞壽命最短和最長。在荷載應力幅和加載次數(shù)相同的情況下，兩種工況作用下細節(jié)點的疲勞壽命相差了8.8%。重載車輛排序靠前，能夠使得疲勞裂紋在初期得到迅速擴展。由于變量a在前期得到較快的增長，使得在后期輕載車輛加載時裂紋尖端應力強度因子仍能達到較高的水平，裂紋擴展速率能夠保持在較高的水平。

圖9 不同工況作用下細節(jié)點的裂紋擴展曲線Fig.9 Crack propagation under different vehicle loading sequences

4.2 車輛超載作用下的裂紋擴展模型

(30)

式中PO L，σO L和KO L分別為超載對應的荷載、應力和應力強度因子。Pe q m,σe q m和Ke q m則為等效荷載、等效應力幅和等效應力強度因子。等效荷載Pe q m的表達式為[29]

(31)

式中pi為第i次車輛軸重，Ni為pi的荷載數(shù)循環(huán)數(shù)，Ntotal為總的監(jiān)測車輛輪軸數(shù)量。

由于車輛荷載的軸重為變幅荷載，且軸重的概率分布據有多峰特征。對于超載率較小的輪軸(RO L<2),細節(jié)點的疲勞裂紋擴展往往不會發(fā)生遲滯效應。故本文僅討論輪軸超載率大于2的車輛輪軸對細節(jié)疲勞壽命的影響。由WIM系統(tǒng)監(jiān)測數(shù)據可知，2014年至2016年南溪長江大橋單一行車道經歷貨車的輪軸數(shù)量的數(shù)量級為100萬。在運營3年間，有2次車輛輪軸超載率大于2。圖10 為考慮與不考慮車輛輪軸超載率作用下細節(jié)點在2014年至2016年疲勞裂紋擴展曲線。兩種情況下，裂紋深度達到0.022 mm時所用的時間分別為30.02月和35.91月?？紤]車輛超載遲滯效應的計算結果與傳統(tǒng)計算結果相差19.6%，需考慮超載遲滯效應的修正系數(shù)ξO L。南溪長江大橋焊接細點的超載遲滯效應修正系數(shù)ξO L為0.804。

圖10 考慮與不考慮車輛輪軸超載細節(jié)疲勞裂紋擴展曲線Fig.10 Illustration of crack propagation with and without considering overloads for Detail

5 結 論

本文從隨機性的角度詳細討論了車輛作用下OSD焊接細節(jié)的疲勞擴展。得到以下結論。

(1) 日交通流密度在不同時間區(qū)段有著顯著差異，車輛荷載的隨機過程不能用單一的數(shù)學隨機過程模型來描述。非齊次復合Possion過程模型與車輛實際運營狀態(tài)擬合度高。

(2) 推導了應力時間序列-疲勞損傷微分方程，該方程可以描述車輛疲勞效應與材料疲勞抗力之間的耦合關系。

(3) 車載次序和超載對疲勞裂紋的擴展速率的影響不可忽略。相同車輛類型和數(shù)量的車輛，當重車排序靠前時能夠促使裂紋快速擴展。在交通荷載統(tǒng)計數(shù)據中，需要對超載車輛軸重的超載率和數(shù)量進行統(tǒng)計，南溪長江大橋焊接細點的超載遲滯效應修正系數(shù)為0.804。