變截面懸鏈線無(wú)鉸拱應(yīng)變影響線的解析解

周 宇， 許成超， 趙 青， 王雪忠

(1.安徽建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院，合肥 230601； 2.安徽省BIM工程中心，合肥 230601)

1 引 言

懸鏈線拱軸線型作為一類典型的曲線族[1,2]，在中小跨徑實(shí)腹式無(wú)鉸拱和大跨空腹式無(wú)鉸拱中有著廣泛的應(yīng)用[3-7]，為實(shí)現(xiàn)更合理的受載，工程中多采用變截面拱結(jié)構(gòu)作為板拱橋和系桿拱橋的拱肋截面進(jìn)行設(shè)計(jì)[8]。影響線作為橋梁結(jié)構(gòu)的固有靜力特征，可以全面反映其截面剛度特性，是橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的重要參數(shù)，且近年在橋梁損傷計(jì)算領(lǐng)域也逐漸成為熱點(diǎn)[9-12]，其應(yīng)用前景廣闊[10,11]。但由于超靜定拱橋結(jié)構(gòu)影響線的求解過(guò)程復(fù)雜，仍未見變截面懸鏈線無(wú)鉸拱應(yīng)變影響線解析解研究的相關(guān)報(bào)道。

基于Ritter截面變化公式簡(jiǎn)化懸鏈線曲線積分，結(jié)合彈性中心[15]簡(jiǎn)化體系下的力法方程,推導(dǎo)了變截面懸鏈線無(wú)鉸拱應(yīng)變影響線的顯式解，針對(duì)拱軸力隨矢跨比變化的特性展開研究，并通過(guò)四座不同矢跨比下的懸鏈線無(wú)鉸拱結(jié)構(gòu)多個(gè)截面的有限元解校驗(yàn)了相關(guān)結(jié)論，研究結(jié)果可用于工程計(jì)算與模型分析借鑒。

2 應(yīng)變影響線解析解

2.1 計(jì)算思路

變截面拋物線無(wú)鉸拱的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 拱軸基本體系Fig.1 Arch shaft basic system

拱軸幾何量表達(dá)式與懸鏈線拱軸方程為

y=f(chkx/l-1)/(m-1)

(1)

(2)

式中f為拱肋矢高，m為拱軸系數(shù)，l為拱軸半跨徑。截面按Ritter公式設(shè)置拱軸曲線,

(3)

(4)

(5)

利用力法將無(wú)鉸拱分成左右對(duì)稱的懸臂拱，如圖1所示，跨中冗力為x1，x2和x3；采用彈性中心法簡(jiǎn)化力法方程，設(shè)點(diǎn)C移動(dòng)力坐標(biāo)為xS。

2.2 冗力及其影響線計(jì)算

冗力影響線求解是求解應(yīng)變影響線的基礎(chǔ)，冗力作用下截面內(nèi)力及影響線列入表1和表2。

表1 冗力作用下結(jié)構(gòu)基本內(nèi)力Tab.1 Internal forces under the effect of redundant forces

表2 冗力影響線計(jì)算Tab.2 Redundancy impact line calculations

2.3 應(yīng)變影響線的計(jì)算

根據(jù)圖2，對(duì)O處的冗力和C處的移動(dòng)力在截面B處的作用列平衡方程，求截面B的應(yīng)變影響線,

εB=εM B+εN B=MB/WZ· BE+NB/EAB

(6)

(7，8)

式中εB為B截面應(yīng)變，MB為B截面彎矩，WZ·B為B截面抗彎截面系數(shù)，E為拱肋材料彈性模量，NB為B截面軸力，AB為B截面面積，b為拱截面寬(等寬變高截面)，hB為B截面高度。

圖2 B截面內(nèi)力Fig.2 Section B internal force

根據(jù)移動(dòng)力位置，MB和NB可分以下情況，

(9)

(10)

根據(jù)式(6～8)，得截面B處應(yīng)變影響線，

式中x1,x2和x3的展開形式已列入表2，因篇幅限制，不再贅述。

3 算例分析

為驗(yàn)證應(yīng)變影響線的解析準(zhǔn)確性，以四個(gè)變截面懸鏈線無(wú)鉸拱為例，通過(guò)MIDAS/Civil建立有限元模型，對(duì)比推導(dǎo)的應(yīng)變影響線計(jì)算結(jié)果，并比較解析解與有限元解的相對(duì)誤差。四座拱跨徑均為50.934 m，矢跨比分別為1/2，1/3，1/5和1/7， 如圖3所示，拱肋截面寬1 m，跨中拱截面高1.1 m，截面高按Ritter公式變化，材料彈性模量為3.45E+07 kN/m2，拱軸系數(shù)m為1.988，拱厚變化系數(shù)n為0.4，本文公式解析和有限元計(jì)算的l/2和l/4截面應(yīng)變影響線如圖4和圖5所示，典型截面數(shù)值結(jié)果列入表3。

圖3 四種矢跨比拱軸線Fig.3 Four kinds of sagittal span ratio arch axes

由表3及圖4和圖5表明，對(duì)不同矢跨比的拱軸，當(dāng)考慮軸力時(shí)，算例中四種變截面懸鏈線無(wú)鉸拱應(yīng)變影響線的解析解與有限元計(jì)算結(jié)果偏差均小于2%。然而在未考慮軸力時(shí)，1/2和1/3矢跨比的變截面懸鏈線無(wú)鉸拱應(yīng)變影響線解析解的計(jì)算偏差尚能控制在2%以內(nèi)，但1/5和1/7矢跨比的l/2測(cè)點(diǎn)應(yīng)變影響線解析計(jì)算偏差較大，在2%以上，且最大計(jì)算偏差大于9%。針對(duì)同一矢跨比，l/4測(cè)點(diǎn)比l/2測(cè)點(diǎn)處的影響線解析偏差普遍較小，同時(shí)l/4測(cè)點(diǎn)較l/2測(cè)點(diǎn)受軸力的影響更小，在未考慮軸力時(shí)的計(jì)算偏差也均能控制在2%以內(nèi)。

表3 算例典型截面數(shù)值對(duì)比表Tab.3 A values comparison of cases in typical sections

圖4 本文公式法與有限元法計(jì)算結(jié)果對(duì)比(算例1)Fig.4 Comparison of the calculation results between formula method and finite element method (Example 1)

圖5 本文公式法與有限元法計(jì)算結(jié)果對(duì)比(算例4)Fig.5 Comparison of the calculation results between formula method and finite element method (Example 4)

4 結(jié) 論

(1) 在變截面遵循Ritter公式規(guī)律的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)得到變截面懸鏈線無(wú)鉸拱應(yīng)變影響線解析解。本文公式解析與有限元計(jì)算結(jié)果最大偏差小于2%，符合工程精度要求，可作為任意拱軸系數(shù)及矢跨比下懸鏈線變截面無(wú)鉸拱應(yīng)變影響線計(jì)算依據(jù)。

(2) 研究同一拱軸系數(shù)下不同矢跨比的變截面懸鏈線無(wú)鉸拱應(yīng)變影響線，對(duì)是否考慮軸力的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)隨矢跨比愈小，軸力對(duì)結(jié)果的影響愈大，計(jì)算偏差也就越大，對(duì)于矢跨比1/7的坦拱，考慮軸力最大偏差小于2%，未考慮軸力的最大偏差大于9%。

(3) 同一矢跨比拱，測(cè)點(diǎn)位置不同，軸力影響程度也不同，l/4跨處軸力對(duì)其鮮有影響，l/2跨處軸力對(duì)其影響程度較大。

(4) 懸鏈線無(wú)鉸拱的變截面并非都按Ritter規(guī)律變化，其他截面高度變化規(guī)律對(duì)懸鏈線無(wú)鉸拱應(yīng)變影響線的影響，有待進(jìn)一步研究。