基于梁連續(xù)抗彎剛度與小波變換的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法研究

郭 佳， 管德清

(1.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410000； 2.湖南城市學(xué)院 土木工程學(xué)院，益陽 413000)

1 引 言

結(jié)構(gòu)在使用過程中會(huì)出現(xiàn)各種難以預(yù)測(cè)的損傷，從而使得結(jié)構(gòu)的物理特性逐漸減弱，當(dāng)損傷累積到一定程度時(shí)，將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)喪失功能而發(fā)生倒塌。因此在實(shí)際中需要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識(shí)別，確定損傷位置與損傷量，從而為結(jié)構(gòu)的整體性能評(píng)估提供依據(jù)，而確定損傷位置是最基本和最重要的前提。

目前結(jié)構(gòu)損傷位置識(shí)別的方法分為有損識(shí)別方法和無損識(shí)別方法，而在小損傷識(shí)別中，無損識(shí)別方法是目前最推薦使用的方法，其包括聲發(fā)射(AE)[1]、超聲掃描[2]、導(dǎo)波[3]和振動(dòng)[4]等。基于振動(dòng)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法已廣泛用于結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別，其演化出的方法主要有基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的損傷識(shí)別方法[5,6]、基于小波變換的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法[7,8]和基于智能算法的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法[9,10]等。基于小波變換的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法，不需要損傷區(qū)域無損信息就能從結(jié)構(gòu)的模態(tài)形狀中找到奇異點(diǎn)，從而能直觀地顯示結(jié)構(gòu)損傷位置[11]，因此基于小波奇異性檢測(cè)結(jié)構(gòu)模態(tài)形狀的方法在識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷位置時(shí)具有很大優(yōu)勢(shì)[12，13]。但是小波系數(shù)存在邊緣效應(yīng)奇異性，使得邊緣損傷識(shí)別會(huì)出現(xiàn)誤判，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的邊界損傷難以識(shí)別[14]。在試驗(yàn)中，結(jié)構(gòu)損傷對(duì)周邊的影響導(dǎo)致小波系數(shù)模極大值難以精確識(shí)別損傷位置，因此在未知結(jié)構(gòu)無損信息的情況下，僅基于損傷結(jié)構(gòu)的小波系數(shù)奇異性難以精確定位損傷位置。

基于以上存在的問題，本文結(jié)合梁結(jié)構(gòu)連續(xù)抗彎剛度與小波系數(shù)的特點(diǎn)，提出了識(shí)別實(shí)際結(jié)構(gòu)邊緣損傷位置并精確定位損傷位置的方法。

2 小波奇異性原理

設(shè)Ψ(t)是基本小波，對(duì)于f(t)∈L2(R),其連續(xù)小波變換(CWT)定義為

(1)

式中a≠0,b和t均為連續(xù)變量，Ψ*(t)為Ψ(t)的復(fù)共軛。

(2)

函數(shù)f在尺度因子s上對(duì)應(yīng)的基本小波的連續(xù)小波變換為

(3)

式中s>0，式(3)說明，小波變換模極大值是經(jīng)平滑后的一階導(dǎo)數(shù)極大值，對(duì)應(yīng)信號(hào)的奇異點(diǎn)。

3 損傷梁連續(xù)抗彎剛度的推導(dǎo)

如圖1所示為一含t條貫通損傷的固支梁，以該梁為例來推導(dǎo)損傷梁連續(xù)抗彎剛度(簡(jiǎn)稱剛度)，從而可以通過梁連續(xù)抗彎剛度計(jì)算出損傷對(duì)周圍的影響規(guī)律與影響范圍。

圖1 含貫通損傷固支梁Fig.1 Fixed beam with transfixion damage

在恒定彎矩M的作用下，未開裂梁的應(yīng)變能為

(4)

當(dāng)梁出現(xiàn)t條裂紋后，裂紋i從0增長(zhǎng)到Ai時(shí)，根據(jù)斷裂力學(xué)，所有裂紋擴(kuò)展消耗的能量為

(5)

式中B為梁高，Gi為應(yīng)變能釋放率,li為裂紋i所處位置。對(duì)于梁的橫向振動(dòng)而言，裂縫主要承受直接彎曲應(yīng)力，剪切應(yīng)力可以忽略。則應(yīng)變能釋放速率為

(6)

式中Kli為裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，E為楊氏模量。對(duì)于實(shí)心矩形截面梁，Kli為[15]

(7)

式中h為梁高，當(dāng)At/h<0.6時(shí)有

F(Ai)=1.12-1.4(Ai/h)+7.33(Ai/h)2-

13.8(Ai/h)3+14(Ai/h)4

(8)

因此，可以得到裂紋產(chǎn)生需消耗的能量為

(9)

式中

(10)

假定EIli為裂紋i始終張開的裂紋梁抗彎剛度，則其開裂的最終應(yīng)變能可替換表示為

(11)

式中Ili為裂紋i處梁的截面慣性矩，E為彈性模量。

根據(jù)斷裂力學(xué)，應(yīng)力/應(yīng)變高度集中在裂紋尖端附近，并在遠(yuǎn)離裂紋的位置達(dá)到名義應(yīng)力。因此，可以假定在恒載的作用下，裂紋擴(kuò)展引起的應(yīng)變能增加主要集中在裂紋區(qū)域附近。為了從數(shù)學(xué)上表示應(yīng)變能沿裂紋梁長(zhǎng)度的變化，Eli可表示為[16]

(12)

式中l(wèi)i為裂紋i的坐標(biāo)，在裂紋處可以取最大值，在遠(yuǎn)離裂紋處趨近于0，Q(Ai,li)與k(Ai)為待定函數(shù)。

由于應(yīng)變能主要集中在裂紋區(qū)域，根據(jù)式(11，14)，可得

(13)

由于裂紋i開裂的最終應(yīng)變能初始表達(dá)式為

Uli=U+Eli

(14)

將式(5，11，12)代入式(14)可得

(15)

因此含裂紋梁的剛度為

(16)

式中P(Ai,li)與k(Ai)的表達(dá)式為

(17)

(18)

4 不同損傷位置、程度和梁截面尺寸對(duì)連續(xù)梁剛度曲線的影響

可以看出式(16)是關(guān)于梁的損傷程度S、損傷位置l及截面尺寸B×h的計(jì)算式，因此有必要研究這三個(gè)參數(shù)對(duì)于梁連續(xù)剛度曲線的影響。

取長(zhǎng)為L(zhǎng)=1300 mm的固支鋼梁，其參數(shù)列入表1，以10 mm為一個(gè)單元把梁均勻劃分成N=130個(gè)單元，損傷為沿梁厚度方向的等高貫通損傷，損傷寬度為單元寬度，S定義為梁剛度的折減，計(jì)算如式(19)所示，其中EIn為損傷單元號(hào)n的剛度，EI為其損傷前的剛度。

S=1-(EIn)/(EI)

(19)

表1 梁參數(shù)Tab.1 Parameters of beam

通過采用控制變量法，分別假定損傷程度、損傷位置和截面尺寸發(fā)生變化，通過計(jì)算梁連續(xù)剛度曲線可以發(fā)現(xiàn)，梁連續(xù)剛度曲線只受損傷程度的影響，且梁連續(xù)剛度曲線是沿?fù)p傷位置對(duì)稱的曲線。根據(jù)上述結(jié)論可以得知，損傷位置位于小波系數(shù)奇異性范圍中點(diǎn)，且還可以計(jì)算出長(zhǎng)為L(zhǎng)=1300，均勻劃分成130個(gè)單元的梁中損傷對(duì)周圍影響的范圍(表2)，該范圍的對(duì)稱中心是損傷位置。

表2 梁?jiǎn)卧獢?shù)N=130個(gè)的損傷程度與影響范圍Tab.2 Corresponding table of damage severity and influence range of element quantity N=130

5 梁結(jié)構(gòu)損傷位置的精確識(shí)別研究

根據(jù)第4節(jié)損傷位置位于小波系數(shù)奇異性范圍的中點(diǎn)這一結(jié)論，計(jì)算損傷結(jié)構(gòu)的小波系數(shù)圖，通過定位小波系數(shù)奇異點(diǎn)范圍的中心來確定梁結(jié)構(gòu)的精確損傷位置。

取梁長(zhǎng)分別為1274 mm和1300 mm的固支鋼梁進(jìn)行數(shù)值模擬與試驗(yàn)，試驗(yàn)中多出的26 mm用于安裝傳感器，梁的其他參數(shù)列入表1。試驗(yàn)采用尺寸為26 mm的圓形振動(dòng)傳感器，因此將梁?jiǎn)卧淖钚挾瘸叽鐒澐譃?6 mm，將梁沿長(zhǎng)度方向均勻劃分為49個(gè)單元，設(shè)25號(hào)單元為損傷單元，損傷程度分別為S=5%和20%。

先利用ANSYS有限元分析軟件進(jìn)行數(shù)值模擬分析。通過ANSYS查看梁的第一階轉(zhuǎn)角模態(tài)，利用Matlab進(jìn)行一階差分計(jì)算出對(duì)應(yīng)的應(yīng)變模態(tài)，再利用Matlab的小波工具箱選用DB3小波對(duì)其進(jìn)行小波變換，可以得到如圖2所示25號(hào)單元含不同損傷程度的應(yīng)變模態(tài)小波系數(shù)圖。

圖2 含不同損傷程度梁的數(shù)值模擬的應(yīng)變模態(tài)小波系數(shù)Fig.2 Wavelet coefficients of strain mode in numerical simulation of beams with different damage severities

再將含這兩種損傷的梁進(jìn)行試驗(yàn)，共采用16個(gè)傳感器用于檢測(cè)單元節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)，損傷形狀設(shè)為沿梁厚度方向的等高貫通均勻損傷，損傷寬度設(shè)為26 mm，采用銑床加工而成，加工精度為0.1 mm，試驗(yàn)及損傷設(shè)置如圖3所示。取第二階位移模態(tài)進(jìn)行二階差分得到對(duì)應(yīng)的應(yīng)變模態(tài)，利用Matlab對(duì)應(yīng)變模態(tài)進(jìn)行小波變換,可以得到如圖4所示的試驗(yàn)梁應(yīng)變模態(tài)小波系數(shù)圖。

圖3 固支梁試驗(yàn)Fig.3 Experiment of fixed beam

對(duì)比圖2和圖4可以看出，數(shù)值模擬與試驗(yàn)得到的小波系數(shù)呈現(xiàn)出不同特征的表現(xiàn)形式。數(shù)值模擬中應(yīng)變模態(tài)小波系數(shù)圖顯示梁損傷對(duì)周圍單元的影響只有2～4個(gè)；試驗(yàn)中25號(hào)單元損傷為5%的應(yīng)變模態(tài)小波系數(shù)圖奇異性不明顯，難以識(shí)別出來，而當(dāng)損傷程度變?yōu)?0%時(shí)，其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變模態(tài)小波系數(shù)圖奇異性非常明顯，圖中損傷對(duì)周圍單元的奇異性影響有8個(gè)，根據(jù)表2反算20%的損傷程度對(duì)周圍影響為0.23N即11個(gè)，雖然存在一定誤差，但在可接受范圍之內(nèi)。因此梁的數(shù)值模擬分析所得應(yīng)變模態(tài)小波系數(shù)圖并沒有反應(yīng)梁連續(xù)剛度在受損情況下的真實(shí)情況，而通過試驗(yàn)可以清楚看到損傷對(duì)周圍單元的影響范圍，且與理論計(jì)算出來的結(jié)果基本吻合，因此根據(jù)損傷位置是小波系數(shù)奇異性范圍的中心來定位損傷位置。此時(shí)試驗(yàn)中梁的損傷位置是小波系數(shù)異常范圍中點(diǎn)位置，即損傷程度為20%工況的25號(hào)單元為受損單元。從而證明了該方法能精確識(shí)別試驗(yàn)梁的損傷位置。

圖4 試驗(yàn)梁的應(yīng)變模態(tài)小波系數(shù)Fig.4 Wavelet coefficient of strain mode for beam experiment with damage severity S =20%

6 結(jié)構(gòu)邊界損傷識(shí)別研究

取第5節(jié)的數(shù)值模擬梁進(jìn)行無損的數(shù)值模擬分析。由于試驗(yàn)數(shù)據(jù)會(huì)進(jìn)行去噪處理，因此數(shù)值模擬不考慮加入的噪聲影響。如圖5(a)所示為該梁的第一階應(yīng)變模態(tài)小波系數(shù)圖。從圖中可以看到邊界位置出現(xiàn)了奇異點(diǎn)，但是邊界卻沒有損傷，這會(huì)對(duì)損傷識(shí)別帶來誤判。

圖5 無損梁的應(yīng)變模態(tài)小波系數(shù)Fig.5 Strain mode wavelet coefficient of undamaged beam structural

再對(duì)該梁進(jìn)行試驗(yàn)，取梁長(zhǎng)L=1300 mm，試驗(yàn)詳情與第5節(jié)一致。圖5(b)為該無損試驗(yàn)梁的應(yīng)變模態(tài)小波系數(shù)圖，可以看出，試驗(yàn)梁的應(yīng)變模態(tài)小波系數(shù)圖與數(shù)值模擬梁的圖形在邊緣都出現(xiàn)了邊緣效應(yīng)，而其他遠(yuǎn)離邊緣位置的小波系數(shù)沒有出現(xiàn)奇異點(diǎn)。從圖5可以看出，邊緣位置小波系數(shù)奇異點(diǎn)僅限于邊緣的第1個(gè)點(diǎn)和第2個(gè)點(diǎn)，且圖2和圖4邊緣位置的小波系數(shù)奇異性也僅限于邊緣的第1個(gè)點(diǎn)和第2個(gè)點(diǎn)。

取第5節(jié)的數(shù)值模擬梁，分別對(duì)梁的第一個(gè)單元與第二個(gè)單元設(shè)置18.7%的損傷程度，可以得到如圖6所示的梁第一階應(yīng)變模態(tài)小波系數(shù)圖。從圖6(a)可以看出，1號(hào)單元的小波系數(shù)與圖2(b)中1號(hào)單元的小波系數(shù)圖形是相似的，只是由于此處出現(xiàn)了損傷，所以圖6(a)左端的小波系數(shù)大于圖2(b)的左端。圖6(b)所示為梁的2號(hào)單元設(shè)置損傷的應(yīng)變模態(tài)小波系數(shù)圖，可以看到損傷位置出現(xiàn)了奇異性，且其1號(hào)單元的小波系數(shù)與圖2(b)中1號(hào)單元的小波系數(shù)值基本相等，從而證明了圖6(a)中1號(hào)單元的損傷確實(shí)引起了奇異性。但是直接觀察圖6(a)無法判斷1號(hào)單元是否為損傷單元，因此在數(shù)值模擬中無法直接利用損傷結(jié)構(gòu)的小波系數(shù)圖識(shí)別邊緣損傷。

圖6 梁邊緣損傷的數(shù)值模擬分析小波系數(shù)Fig.6 Wavelet coefficient of numerical simulation analysis of damaged beam edge

取第5節(jié)的試驗(yàn)梁，在梁的1號(hào)單元位置設(shè)置18.7%的等高貫通均勻損傷進(jìn)行試驗(yàn)，如圖7所示為該試驗(yàn)梁的第二階應(yīng)變模態(tài)小波系數(shù)圖。

圖7 梁左邊緣含18.7%損傷的試驗(yàn)應(yīng)變模態(tài)小波系數(shù)Fig.7 Wavelet coefficients of experimental strain mode with

S=18.7% at damaged beam edge

可以看出，在1～4號(hào)點(diǎn)出現(xiàn)了奇異點(diǎn)，因此可疑損傷位置為1～3號(hào)單元。假定3號(hào)單元為損傷單元，根據(jù)表2以及圖7的奇異范圍反算出3號(hào)單元的損傷程度小于5%，而5%以下?lián)p傷的小波系數(shù)奇異性不明顯(即難以識(shí)別)，因此可以排除3號(hào)單元為損傷單元；同理可以排除2號(hào)單元為損傷單元。所以損傷位置只能為1號(hào)單元，且根據(jù)表2反算損傷程度大概為13%，雖然存在誤差，但是考慮到試驗(yàn)環(huán)境等影響因素，該損傷程度計(jì)算結(jié)果可以作為初步判斷結(jié)果。

因此，結(jié)合梁連續(xù)抗彎剛度以及小波系數(shù)的特點(diǎn)，通過排除法可以有效識(shí)別結(jié)構(gòu)的邊緣損傷。

7 結(jié) 論

本文針對(duì)結(jié)構(gòu)邊緣損傷位置識(shí)別問題，以及試驗(yàn)中損傷對(duì)周圍單元的影響導(dǎo)致小波系數(shù)難以精確定位損傷單元問題，提出了基于梁連續(xù)剛度與小波變換的結(jié)構(gòu)損傷位置識(shí)別方法。該方法不需要結(jié)構(gòu)損傷前的數(shù)據(jù)，就能準(zhǔn)確定位結(jié)構(gòu)的損傷位置，并有效識(shí)別結(jié)構(gòu)的邊緣損傷。推導(dǎo)了梁連續(xù)剛度計(jì)算公式，得到了梁中損傷對(duì)周邊的影響規(guī)律，這對(duì)梁結(jié)構(gòu)損傷試驗(yàn)中損傷位置的設(shè)置具有指導(dǎo)意義，對(duì)其他結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別具有參考價(jià)值。梁的數(shù)值模擬與試驗(yàn)分析證明了本文所提方法的有效性，該方法為解決結(jié)構(gòu)邊緣損傷位置識(shí)別問題提供了一種新方法，為進(jìn)一步精確定位實(shí)際結(jié)構(gòu)的損傷位置提供了理論依據(jù)與參考方法。