萃取數(shù)學(xué)史 建構(gòu)概念課
——以蘇科版八上“平方根”為例*

魏宇亭 (江蘇省邳州市戴莊中學(xué) 221347)

1972年第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME-2)在英國(guó)舉行，會(huì)上組建了“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)之關(guān)系國(guó)際研究小組”(簡(jiǎn)稱為HPM)．該組織成立后，致力于數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究，如美國(guó)數(shù)學(xué)史專家福韋爾指出數(shù)學(xué)史具有可增加學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，有助于學(xué)生理解概念等教育價(jià)值；美國(guó)學(xué)者瓊斯認(rèn)為用數(shù)學(xué)史進(jìn)行新課引入可以幫助學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”新概念或新思想方法．史寧中、孔凡哲教授也指出，數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)文化的教育，而數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的一種載體，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課程有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)．[1]基于上述理論，筆者在徐州市級(jí)同課異構(gòu)活動(dòng)中，通過(guò)萃取數(shù)學(xué)史建構(gòu)概念課，執(zhí)教了蘇科版八上“4.1平方根”一課，得到與會(huì)師生的好評(píng)．

1 教材分析

1.1 基于知識(shí)鏈的教材分析

本課是蘇科版數(shù)學(xué)八上(以下簡(jiǎn)稱為教材)第四章第1節(jié)．七年級(jí)時(shí)，學(xué)生已學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方等運(yùn)算，能識(shí)別簡(jiǎn)單的無(wú)理數(shù)．本學(xué)期，學(xué)生已學(xué)習(xí)勾股定理，經(jīng)歷了運(yùn)用平方求直角三角形邊長(zhǎng)的過(guò)程，奠定了學(xué)習(xí)平方根的基礎(chǔ)．本章將學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的概念，八下將學(xué)習(xí)二次根式，九上將學(xué)習(xí)解一元二次方程．因此，平方根是重要的概念樞紐，發(fā)揮承前啟后的作用，體現(xiàn)課標(biāo)對(duì)重要數(shù)學(xué)概念螺旋式上升的要求．據(jù)此，可繪如圖1所示的結(jié)構(gòu)圖．

圖1

1.2 基于數(shù)學(xué)史的教材分析

·蘊(yùn)藏勾股定理的歷史背景

本課教材中設(shè)計(jì)了如圖2的引圖，要求學(xué)生在邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中求AB,A′B′的長(zhǎng)，雖然AB,A′B′是矩形的對(duì)角線，但實(shí)質(zhì)是運(yùn)用勾股定理求解，圖形上略顯復(fù)雜，會(huì)給部分學(xué)生帶來(lái)識(shí)圖困難．因此，抓住勾股定理這一線索，依據(jù)HPM的理念，萃取畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理后提出萬(wàn)物皆數(shù)的數(shù)學(xué)史，直接創(chuàng)設(shè)求直角三角形邊長(zhǎng)的情境，劍指學(xué)習(xí)平方根的必要性，既可達(dá)成引圖的目標(biāo)，又能解決識(shí)圖困難，讓學(xué)生在傳承有序、自然而然的數(shù)學(xué)史情境中建立新概念．

圖2

·蘊(yùn)藏發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)的歷史背景

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 跨越時(shí)空，引出概念

(1)出示圖3，回顧?quán)]票的圖案是根據(jù)勾股定理設(shè)計(jì)的．

圖3 圖4

(2)出示圖4，數(shù)學(xué)史：在西方，勾股定理被稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，它是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的.畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理后，試著從數(shù)學(xué)擴(kuò)大到哲學(xué)，用數(shù)的觀點(diǎn)解釋世界，經(jīng)過(guò)刻苦實(shí)踐，提出了“萬(wàn)物皆數(shù)”的觀點(diǎn)，這里的數(shù)是指一個(gè)精確的數(shù)字，隨后逐漸形成畢達(dá)哥拉斯學(xué)派．

(3)出示圖5，求直角三角形第三邊長(zhǎng)，經(jīng)歷運(yùn)算過(guò)程，體驗(yàn)“萬(wàn)物皆數(shù)”的觀點(diǎn)．

(4)出示圖6，數(shù)學(xué)史：希帕索斯是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中一個(gè)聰明、好學(xué)、有獨(dú)立思考能力的青年數(shù)學(xué)家，他在研究勾股定理時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)大問(wèn)題．

圖5 圖6 圖7

(5)出示圖7，求腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)，用逼近法，感受斜邊的數(shù)值特征．

(6)數(shù)學(xué)史：希帕索斯的發(fā)現(xiàn)，打破了畢達(dá)哥拉斯萬(wàn)物皆數(shù)的權(quán)威，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”．他堅(jiān)持真理，并付出了生命的代價(jià)．后世數(shù)學(xué)家在此基礎(chǔ)上定義了新數(shù)字，開創(chuàng)了新運(yùn)算．

設(shè)計(jì)意圖萃取與畢達(dá)哥拉斯和希帕索斯相關(guān)的數(shù)學(xué)史創(chuàng)設(shè)情境，在求等腰直角三角形斜邊的問(wèn)題中，讓學(xué)生感受無(wú)理數(shù)的客觀存在性、數(shù)字?jǐn)U充的現(xiàn)實(shí)性、開創(chuàng)運(yùn)算的必要性，為建構(gòu)概念奠定思維基礎(chǔ)，用希帕索斯寧死求真的故事對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感、態(tài)度、價(jià)值觀的教育，發(fā)揮學(xué)科育人功效．

2.2 抽象本質(zhì)，生成概念

·建立互逆，感悟特征

(1)出示圖8左側(cè)3題，快速求解．

(2)追問(wèn)：請(qǐng)舉出相同的例子，有何發(fā)現(xiàn)？

(3)出示圖8右側(cè)3題，學(xué)生思考后，指名回答．

圖8

(4)追問(wèn)：你有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖建立互逆關(guān)系，使學(xué)生感悟運(yùn)算的互逆性及已知冪和指數(shù)求底數(shù)的運(yùn)算特征．

·追問(wèn)促思，生成概念

(1)指名回答，組織討論，統(tǒng)一意見．

若x2=0，則x=；若x2=-4，則x=．

(2)抽象本質(zhì)，逐步建構(gòu)，生成概念．若用字母a表示等號(hào)右邊的數(shù)字，則可表述為：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根．

(3)追問(wèn)：若x2=2，則x=．

2.3 列表歸類，探究概念

(1)整理下表，設(shè)問(wèn)：觀察表格，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

a9140.1620-4a的平方根±3±12±0.4±20無(wú)

(2)學(xué)生思考，小組合作，發(fā)表意見．

(3)小結(jié)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．

(4)開平方的定義：求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫開平方．

2.4 例題教學(xué)，運(yùn)用概念

(2)先出示①至③，指名回答；再依次出示④至⑥，討論完成．

2.5 辨析鞏固，深化概念

(1)判斷下列說(shuō)法是否正確：① -5是25的平方根；② 25的平方根是-5；③ 0的平方根是0；④ 1的平方根是1；⑤ (-3)2的平方根是-3．

(2)學(xué)生在獨(dú)立思考、小組討論后完成辨析．

設(shè)計(jì)意圖辨析討論，學(xué)生進(jìn)一步感悟平方根的概念和性質(zhì)．

2.6 課堂小結(jié)，升華概念(略)

2.7 沙場(chǎng)點(diǎn)兵，鞏固概念

組織學(xué)生以搶答的形式，解答習(xí)題．

(1) 4的平方根是( )．

A.16 B.±4 C.±2 D.8

(2)如果1.2是a的平方根，那么另一個(gè)平方根是．

(3)一個(gè)實(shí)數(shù)的平方根是a+3和2a，則a=．

2.8 板書設(shè)計(jì)

本節(jié)課的板書設(shè)計(jì)如圖9所示．

圖9

3 教學(xué)反思

3.1 萃取數(shù)學(xué)史，創(chuàng)設(shè)產(chǎn)生概念的模擬情境

3.2 萃取數(shù)學(xué)史，建構(gòu)概念體系的知識(shí)鏈條

3.3 萃取數(shù)學(xué)史，在概念教學(xué)中滲透“三會(huì)”