地平式太陽望遠(yuǎn)鏡庫德焦面指向跟蹤誤差建模研究

劉榮輝，劉 輝，穆恒宇，柳光乾*

(1. 中國科學(xué)院云南天文臺(tái)，云南 昆明 650216；2. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

大口徑地平式太陽望遠(yuǎn)鏡是當(dāng)今太陽地基觀測(cè)儀器的一個(gè)發(fā)展方向[1]，為實(shí)現(xiàn)太陽高時(shí)空分辨率觀測(cè)，大口徑太陽望遠(yuǎn)鏡對(duì)指向跟蹤精度的要求越來越高。指向精度是指望遠(yuǎn)鏡光軸對(duì)準(zhǔn)觀測(cè)目標(biāo)的精確程度[2]，跟蹤精度是指望遠(yuǎn)鏡長時(shí)間跟蹤觀測(cè)目標(biāo)的精確程度。高精度指向跟蹤能使太陽望遠(yuǎn)鏡精確指向日面的某一微小觀測(cè)目標(biāo)并使目標(biāo)長時(shí)間穩(wěn)定在視場(chǎng)中，實(shí)現(xiàn)高精度、長時(shí)間成像或光譜等觀測(cè)。例如， 1 m新真空太陽望遠(yuǎn)鏡的指向精度要求5″，國家天文臺(tái)用于太陽磁場(chǎng)精確測(cè)量的中紅外觀測(cè)系統(tǒng)(Accurate Infrared Magnetic field measurements of the Sun, AIMS)的指向精度要求10″，美國的DKIST(Daniel Ken Inouye Solar Telescope, DKIST)的指向精度要求5″，這些望遠(yuǎn)鏡的開環(huán)跟蹤精度都要求達(dá)到30 min內(nèi)1～2″。

太陽望遠(yuǎn)鏡的科學(xué)儀器比較特殊，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性要求非常高，通常固定安裝在庫德焦面，不像夜天文望遠(yuǎn)鏡安裝在卡焦并隨望遠(yuǎn)鏡轉(zhuǎn)動(dòng)。因而太陽望遠(yuǎn)鏡主副鏡系統(tǒng)后端需要比較復(fù)雜的引導(dǎo)光路，并使主光軸穿過高度軸、方位軸和消旋軸，最后延伸到不隨望遠(yuǎn)鏡轉(zhuǎn)動(dòng)的庫德焦點(diǎn)。圖1(a)為麗江2.4 m望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)，終端儀器工作在卡焦位置，光路相對(duì)簡(jiǎn)單[2]。圖1(b)為撫仙湖的1 m新真空太陽望遠(yuǎn)鏡，光學(xué)系統(tǒng)的格里高利焦點(diǎn)(卡焦)到庫德焦面有復(fù)雜的引導(dǎo)光路[3]。

圖1 夜天文望遠(yuǎn)鏡與太陽望遠(yuǎn)鏡光機(jī)結(jié)構(gòu)比較。(a)麗江2.4 m望遠(yuǎn)鏡光學(xué)結(jié)構(gòu)；(b)1 m新真空太陽望遠(yuǎn)鏡光學(xué)結(jié)構(gòu)

地平式太陽望遠(yuǎn)鏡指向跟蹤過程中，光學(xué)系統(tǒng)需要隨望遠(yuǎn)鏡高度軸、方位軸和消旋軸運(yùn)動(dòng)。以1 m新真空太陽望遠(yuǎn)鏡為例，M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7與望遠(yuǎn)鏡的方位同步運(yùn)動(dòng)；M1,M2和M4位置相對(duì)固定，但與望遠(yuǎn)鏡高度軸同步運(yùn)動(dòng)；為了對(duì)目標(biāo)進(jìn)行消旋，光路還要隨消旋軸運(yùn)動(dòng)[4]。由于光機(jī)制造和裝調(diào)誤差必然存在，望遠(yuǎn)鏡主光軸、高度軸、方位軸和消旋軸不可能完全重合，導(dǎo)致即使格里高利焦點(diǎn)的像保持靜止，庫德焦面的像還有非常復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，這就是庫德焦面的二次跟蹤誤差，是地平式太陽望遠(yuǎn)鏡庫德焦面實(shí)現(xiàn)高精度指向跟蹤面臨的難題。對(duì)于離軸格里高利系統(tǒng)的AIMS太陽望遠(yuǎn)鏡，庫德焦面的圖像運(yùn)動(dòng)更加復(fù)雜。

指向模型是提高天文望遠(yuǎn)鏡指向精度和開環(huán)跟蹤精度的一種控制策略，其過程是先通過均勻密集采集全天區(qū)已知位置的星的指向誤差建立模型，然后用模型實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)望遠(yuǎn)鏡需要修正的誤差，進(jìn)而提高望遠(yuǎn)鏡的指向跟蹤精度。夜天文望遠(yuǎn)鏡的指向模型已經(jīng)發(fā)展得比較成熟，應(yīng)用最廣的是TPOINT和STARCAL等指向模型。但將這些模型應(yīng)用到地平式太陽望遠(yuǎn)鏡庫德焦面時(shí)，無法得到理想的指向精度和開環(huán)跟蹤精度。究其原因，這些模型都是基于望遠(yuǎn)鏡卡焦的物理機(jī)制建立的，比如望遠(yuǎn)鏡方位軸不鉛垂、高度軸不水平、主副鏡光軸彎沉等誤差描述項(xiàng)。但這些模型對(duì)于卡焦之后的庫德光路中的旋轉(zhuǎn)軸不同心等誤差沒有相關(guān)描述項(xiàng)，因?yàn)檫@些誤差項(xiàng)與主光軸、高度軸、方位軸和消旋軸的同心度有很大關(guān)系，與每臺(tái)太陽望遠(yuǎn)鏡的穿軸誤差密切相關(guān)，需要事先知道這些軸在庫德焦面的旋轉(zhuǎn)中心位置才能在模型中建立相應(yīng)的誤差描述項(xiàng)。

1 庫德焦面跟蹤誤差仿真分析

地平式太陽望遠(yuǎn)鏡庫德焦面復(fù)雜的二次跟蹤誤差是由于主光軸、高度軸、方位軸和消旋軸不可能完全重合引入的。望遠(yuǎn)鏡跟蹤過程中，庫德焦面的圖像是旋轉(zhuǎn)的，為了消除圖像旋轉(zhuǎn)，消旋系統(tǒng)需要反方向運(yùn)動(dòng)來抵消圖像旋轉(zhuǎn)。在地平式太陽望遠(yuǎn)鏡的庫德焦面上，圖像旋轉(zhuǎn)由3個(gè)分量組成，它們分別是圍繞主副鏡系統(tǒng)主光軸的旋轉(zhuǎn)分量，這個(gè)分量是由于赤道坐標(biāo)系與地平坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的；另外還有圍繞高度軸的旋轉(zhuǎn)分量和圍繞方位軸的旋轉(zhuǎn)分量，是由于地平式望遠(yuǎn)鏡跟蹤運(yùn)動(dòng)引起的，庫德光路需要圍繞望遠(yuǎn)鏡高度軸和方位軸旋轉(zhuǎn)，這3個(gè)分量的旋轉(zhuǎn)角用公式表示為[5]

(1)

其中，θ為地平坐標(biāo)系下的物方視場(chǎng)旋轉(zhuǎn)角；E為高度角；A為方位角，此處A和E都為像方視場(chǎng)旋轉(zhuǎn)角分量；φ為地理緯度；δ為目標(biāo)赤經(jīng)；H為時(shí)角。由于這3個(gè)分量在庫德焦面的旋轉(zhuǎn)中心位置及其關(guān)系是由望遠(yuǎn)鏡的光機(jī)制造誤差和裝調(diào)誤差決定的，除了消旋軸中心能方便實(shí)測(cè)之外，光軸無法實(shí)測(cè)，高度軸和方位軸也難以實(shí)測(cè)。為了分析地平式太陽望遠(yuǎn)鏡庫德焦面復(fù)雜的跟蹤誤差，參考庫德光路中各反射鏡的裝調(diào)公差[6]，假設(shè)這3個(gè)旋轉(zhuǎn)中心在CCD上的位置如圖2(a)，CCD上一個(gè)像素對(duì)應(yīng)0.3″。我們以1 m新真空太陽望遠(yuǎn)鏡為例，分析在夏至日過中天半小時(shí)內(nèi)望遠(yuǎn)鏡在庫德焦面產(chǎn)生的二次跟蹤誤差。

圖2 庫德焦面二次跟蹤誤差示意圖。(a)3個(gè)旋轉(zhuǎn)分量中心及消旋前后運(yùn)動(dòng)軌跡；(b)30 min跟蹤誤差隨時(shí)間的變化

從圖2(a)中消旋前后的運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)比可知，消旋系統(tǒng)雖然將庫德焦面的圖像旋轉(zhuǎn)消除了，但是由于幾個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的中心不同，導(dǎo)致消旋后圖像不能回到原來的位置，產(chǎn)生了另外的圖像移動(dòng)，這就是二次跟蹤誤差。圖2(b)選取夏至日太陽過中天30 min分析指向跟蹤誤差，最大達(dá)到8.90″。如果光機(jī)裝調(diào)誤差較大，各軸系的旋轉(zhuǎn)中心在庫德焦面更加分散，跟蹤誤差更大。

根據(jù)仿真分析可知，地平式太陽望遠(yuǎn)鏡庫德焦面上的二次跟蹤誤差十分復(fù)雜，要從物理機(jī)制上完成建模，必須事先準(zhǔn)確測(cè)量光軸、方位軸、高度軸和消旋軸在庫德焦面的具體位置，這是極其困難的工作。本文利用基于機(jī)器學(xué)習(xí)的實(shí)測(cè)建模方法解決這個(gè)問題。

2 基于機(jī)器學(xué)習(xí)的庫德焦面指向跟蹤誤差建模

2.1 概 述

機(jī)器學(xué)習(xí)可以在模型未知的情況下，通過算法對(duì)實(shí)測(cè)指向誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納和抽象，生成指向跟蹤誤差模型，通過模型實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)觀測(cè)目標(biāo)對(duì)應(yīng)的望遠(yuǎn)鏡方位坐標(biāo)和高度坐標(biāo)，實(shí)現(xiàn)望遠(yuǎn)鏡高精度的指向跟蹤。在庫德焦面實(shí)測(cè)指向誤差時(shí)，控制系統(tǒng)記錄待測(cè)星的地平坐標(biāo)方位AS、高度ES，以及星在焦面探測(cè)器(CCD)中心位置時(shí)望遠(yuǎn)鏡的地平坐標(biāo)方位AT、高度ET。理想情況下，AS與AT相等，ES與ET相等，實(shí)際情況由于存在指向誤差，它們是不相等的。AT是AS與ES的函數(shù)fA(AS,ES)，ET也是AS與ES的函數(shù)fE(AS,ES)，可以理解為兩個(gè)誤差曲面擬合，這是一個(gè)典型的回歸問題。

機(jī)器學(xué)習(xí)中常用的回歸算法有支持向量回歸(Support Vector Regression, SVR)、邏輯回歸、廣義局部線性模型、多項(xiàng)式回歸等[7]。一般回歸算法需要大量的訓(xùn)練集，也就是要事先獲得大量的實(shí)測(cè)指向誤差，這使得實(shí)際觀測(cè)工作量非常大，難以實(shí)現(xiàn)。所以本文采用能處理小樣本數(shù)據(jù)的支持向量回歸建模，這個(gè)算法還具有較強(qiáng)的泛化能力[8]。

2.2 支持向量回歸的原理

f(x)=ωφ(x)+b，

(2)

其中，x為輸入數(shù)據(jù)；φ(x)為非線性映射函數(shù)；ω為權(quán)重；b為截距。根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則，f(x)等效于求解優(yōu)化問題[9]，即

(3)

(4)

(5)

其中，ε為不敏感損失因子(允許的最大誤差)，ε>0。將回歸問題轉(zhuǎn)換為求解目標(biāo)函數(shù)的最小化問題，利用對(duì)偶原理，同時(shí)引入拉格朗日乘法算子，可以轉(zhuǎn)換為[9]

(6)

(7)

作為深度學(xué)習(xí)在計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域應(yīng)用的關(guān)鍵技術(shù)，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是通過設(shè)計(jì)仿生結(jié)構(gòu)來模擬大腦皮層的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，可實(shí)現(xiàn)多層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的訓(xùn)練學(xué)習(xí)。同傳統(tǒng)的圖像處理算法相比較，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以利用局部感受野，獲得自主學(xué)習(xí)能力，以應(yīng)對(duì)大規(guī)模圖像處理數(shù)據(jù)，同時(shí)權(quán)值共享和池化函數(shù)設(shè)計(jì)減少了圖像特征點(diǎn)的維數(shù)，降低了參數(shù)調(diào)整的復(fù)雜度，稀疏連接提高了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，最終產(chǎn)生用于分類的高級(jí)語義特征，因此被廣泛應(yīng)用于目標(biāo)檢測(cè)、圖像分類領(lǐng)域。

(8)

Kpoly(xi,x)=(xxi+1)d，

(9)

其中，d表示多項(xiàng)式的階數(shù)，d越大，多項(xiàng)式越復(fù)雜，計(jì)算量越大。在實(shí)際的指向誤差建模過程中，自變量可以表示為(x1,x2)=(A,E)。

懲罰因子C表示對(duì)模型復(fù)雜度與誤差精度之間的折中，C越大，模型泛化能力越差，C越小，模型的訓(xùn)練誤差越大，ε表示樣本之間的區(qū)分程度，這兩個(gè)參數(shù)直接決定了支持向量回歸的準(zhǔn)確性。由于原始數(shù)據(jù)中指向誤差是關(guān)于高度值和方位值的函數(shù)，比較簡(jiǎn)單直觀，再結(jié)合實(shí)際的模型訓(xùn)練效果，本文中C設(shè)置為500，ε設(shè)置為0.01。

表1 實(shí)測(cè)誤差數(shù)據(jù)Table 1 Record format of observation data unit: degree

3 實(shí)測(cè)與建模

3.1 指向誤差實(shí)測(cè)

在指向誤差實(shí)測(cè)過程中，采用表1的格式進(jìn)行數(shù)據(jù)記錄。AT和ET的具體測(cè)量過程為給望遠(yuǎn)鏡控制系統(tǒng)輸入某一顆較亮恒星的理論地平坐標(biāo)(AS，ES)，然后控制望遠(yuǎn)鏡指向該星并處于跟蹤狀態(tài)，通過庫德焦面成像探測(cè)器實(shí)時(shí)采集星像并給出星像的重心。理想情況下，星像重心位置應(yīng)該在CCD的中心(認(rèn)為是視場(chǎng)中心)，但是由于望遠(yuǎn)鏡存在系統(tǒng)誤差，星像重心位置并不在CCD的中心，微調(diào)望遠(yuǎn)鏡，使星像重心位置處在CCD中心。這時(shí)記錄望遠(yuǎn)鏡的(AT，ET)，它與(AS，ES)之間的差值就是該星的指向誤差。AS的取值范圍為0～360°，正北方向?yàn)?°，順時(shí)針取值；ES的取值范圍為0～90°，當(dāng)望遠(yuǎn)鏡光軸指向天頂時(shí)，ES為90°。

實(shí)測(cè)工作在1 m新真空太陽望遠(yuǎn)鏡上進(jìn)行，成像選取TiO通道，CCD像元比是0.04，由于受望遠(yuǎn)鏡工作范圍的影響，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)只能在一部分天區(qū)進(jìn)行。觀測(cè)時(shí)間是2021年1月14日晚，共測(cè)得138顆星的指向誤差。圖3是實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)指向誤差分布，最大誤差為650.55″，均方根為115.88″。

模型評(píng)價(jià)指標(biāo)采用均方根，均方根越小，表示模型的預(yù)測(cè)效果越好。在地平坐標(biāo)系下，誤差公式為

(10)

(11)

圖3 數(shù)據(jù)的誤差分布Fig.3 Error distribution of data

3.2 模型的建立

為了在建模時(shí)有不同的測(cè)試集和訓(xùn)練集，以及測(cè)試建模方法對(duì)數(shù)據(jù)是否敏感，將實(shí)測(cè)的138顆星的誤差數(shù)據(jù)抽樣為6份，抽樣方法是將星的位置盡量均勻分布在138顆星所在天區(qū)。誤差數(shù)據(jù)抽樣為6份后，每份有23顆星的指向誤差數(shù)據(jù)，分別標(biāo)記為train000, train001, train002, train003, train004, train005。第1次建模時(shí)，把train000, train001, train002, train003, train004合并為訓(xùn)練集(即建模數(shù)據(jù)有115個(gè))，train005為測(cè)試集(23個(gè)數(shù)據(jù))。第2次建模時(shí)，把train001, train002, train003, train004, train005合并為訓(xùn)練集，第train000組為測(cè)試集。如此不斷變換測(cè)試集和訓(xùn)練集的數(shù)據(jù)，最后對(duì)比6次測(cè)試集的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，看是否有大的差別。

實(shí)驗(yàn)1結(jié)果如圖4，圖4(a)是測(cè)試集的預(yù)測(cè)值和原始值的擬合程度，擬合結(jié)果比較好。圖4(b)是測(cè)試集中預(yù)測(cè)值和實(shí)際值之間的誤差，在圖中測(cè)試集的預(yù)測(cè)誤差最大為12.89″，均方根為2.89″，說明訓(xùn)練模型對(duì)測(cè)試集的預(yù)測(cè)效果比較好。

圖4 測(cè)試集的預(yù)測(cè)誤差分布。(a)預(yù)測(cè)值和實(shí)際值的擬合情況；(b)預(yù)測(cè)值和實(shí)際值的誤差分布

利用支持向量回歸模型對(duì)訓(xùn)練集做反向預(yù)測(cè)，得到的結(jié)果如圖5。訓(xùn)練集的預(yù)測(cè)均方根為2.84″，預(yù)測(cè)誤差最大為8.92″。通過對(duì)比訓(xùn)練集和測(cè)試集的預(yù)測(cè)誤差發(fā)現(xiàn)，兩者的誤差相差不大。

之后我們采用不同的訓(xùn)練集和測(cè)試集進(jìn)行了6次實(shí)驗(yàn)，得到的結(jié)果如表2。從表2可以看出，測(cè)試集的均方根在3″左右，說明使用支持向量回歸方法構(gòu)建的指向模型有效。

圖5 訓(xùn)練集的預(yù)測(cè)誤差分布Fig.5 Error distribution of prediction of training set

表2 不同測(cè)試集的預(yù)測(cè)誤差統(tǒng)計(jì)Table 2 Error distribution of prediction of different test sets

3.3 實(shí)測(cè)結(jié)果

為了驗(yàn)證模型在望遠(yuǎn)鏡實(shí)際觀測(cè)中的效果，將模型加載到控制系統(tǒng)，并在1 m新真空太陽望遠(yuǎn)鏡上進(jìn)行指向誤差實(shí)測(cè)和跟蹤誤差實(shí)測(cè)。

指向誤差實(shí)測(cè)星為138顆，圖6(a)是138顆星在天區(qū)的分布。圖6(b)為數(shù)據(jù)建模后的實(shí)測(cè)誤差，誤差最大為25.02″，均方根為3.98″。

圖6 指向精度實(shí)測(cè)效果的分析。(a)138顆星的在天區(qū)的分布；(b)實(shí)測(cè)誤差的分布Fig.6 Measurement of pointing accuracy. (a) The distribution of 138 stars in the sky; (b) distribution of measured error

實(shí)測(cè)跟蹤誤差在1 m新真空太陽望遠(yuǎn)鏡上，2022年1月22日晚選取某一恒星做長時(shí)間跟蹤觀測(cè)，加模型和不加模型的跟蹤時(shí)長各為30 min，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7。圖7(a)是星像在探測(cè)器上的運(yùn)動(dòng)軌跡，圓點(diǎn)表示加了模型的星的運(yùn)動(dòng)軌跡，方塊表示沒加模型的星的運(yùn)動(dòng)軌跡，圖7(b)是望遠(yuǎn)鏡30 min內(nèi)的跟蹤誤差統(tǒng)計(jì)。由圖7可知，模型修正前跟蹤誤差為6.46″，模型修正后跟蹤誤差為1.10″。

圖7 跟蹤誤差實(shí)測(cè)結(jié)果。(a)星像的運(yùn)動(dòng)軌跡；(b)跟蹤誤差統(tǒng)計(jì)Fig.7 Measured results of tracking error. (a) Star image trajectory; (b) tacking error statistics

4 結(jié) 論

地平式太陽望遠(yuǎn)鏡主光軸、高度軸、方位軸和消旋軸的同心度是影響庫德焦面跟蹤誤差的主要因素之一，由于難以實(shí)測(cè)這些軸在庫德焦面的具體位置，所以夜天文望遠(yuǎn)鏡上常用的TPOINT等軟件無法對(duì)這類誤差進(jìn)行建模。為了提高地平式太陽望遠(yuǎn)鏡庫德焦面的指向跟蹤精度，本文提出了一種基于支持向量回歸算法構(gòu)建庫德焦面指向跟蹤模型的新方法，并在1 m新真空太陽望遠(yuǎn)鏡上進(jìn)行了實(shí)測(cè)建模。實(shí)測(cè)結(jié)果表明，新模型可以有效校正庫德焦面的指向跟蹤誤差。在模型改正之前，1 m新真空太陽望遠(yuǎn)鏡在庫德焦面的指向誤差均方根為115.88″，30 min跟蹤誤差為6.46″。經(jīng)過模型改正后，望遠(yuǎn)鏡在庫德焦面的指向誤差均方根為3.98″，30 min跟蹤誤差為1.10″。由此可見，基于機(jī)器學(xué)習(xí)的支持向量回歸建模方法能有效提高地平式太陽望遠(yuǎn)鏡庫德焦面的指向跟蹤精度。