平面應(yīng)力狀態(tài)下主應(yīng)力方向的快速判定方法探討

繆廣紅，盧小雨，羅吉安，吳建強

（安徽理工大學 力學與光電物理學院，安徽 淮南 232001）

0 引言

工程中關(guān)于結(jié)構(gòu)設(shè)計的基本原則是解決經(jīng)濟和安全之間的矛盾，即既要經(jīng)濟合理又要安全可靠，構(gòu)件在載荷的作用下是否安全可靠的工作，就需要掌握構(gòu)件內(nèi)各點主應(yīng)力的變化規(guī)律，因此，十分有必要在構(gòu)件設(shè)計之前，研究構(gòu)件內(nèi)危險截面上危險點的主應(yīng)力大小和方向，即應(yīng)力狀態(tài)分析。

應(yīng)力狀態(tài)分析作為工程力學、材料力學、彈塑性力學等固體力學分支研究的核心內(nèi)容，其中主應(yīng)力方向直接影響著后續(xù)強度計算的正確性，如何正確的判斷主應(yīng)力方向一直是力學教學和解決工程實踐中的一個重點，同時也是一個難點，對工程實際和理論教學都有著十分重要的意義，而且對學生而言，從宏觀到微觀、從微觀到宏觀的思維方法也得到了培養(yǎng)。一般教材[1-3]中關(guān)于平面應(yīng)力狀態(tài)下主應(yīng)力的方向判定，只作了如下表述：若約定 |α0| ＜ 45°，即取值在α0±45°范圍內(nèi)，而確定主應(yīng)力方向的具體規(guī)則為，①當σx＞σy時，α0確定σmax所在的主平面；② 當σx＜σy時，α0確定σmin所在的主平面；③ 當σx=σy時，α0=45°，主應(yīng)力的方向可由單元體上切應(yīng)力情況直觀判斷出來，并無十分全面的論證和描述。馬云玲提出了由單元體上的正應(yīng)力和切應(yīng)力來判斷主應(yīng)力的方向[4]。劉剛等利用高等數(shù)學的極值理論探討了主應(yīng)力方向的判定方法[5]。宋志強等總結(jié)歸納了代入法、作圖法和正應(yīng)力比較法判定主應(yīng)力的方法，并指出了各自的優(yōu)缺點[6]。陶建新采用解析法和圖解法判定主應(yīng)力方向，并進行了比較[7]。雖然相關(guān)學者對平面應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力方向的判定進行了諸多研究，并提出了各自的判定方法，但在理論上還有進一步提高透明度和簡化的必要。為此，本文結(jié)合已有的一些相關(guān)研究和作者的教學經(jīng)驗，對平面應(yīng)力狀態(tài)下主應(yīng)力方向的斷定方法作如下探討，旨在對理論教學和工程實踐中快速判定主應(yīng)力的方向提供一定的參考。

1 主應(yīng)力方向規(guī)定及證明

有的教材[1-3]認為，在平面應(yīng)力狀態(tài)下，主應(yīng)力的方向可由公式（1）計算得到，

但滿足式（1）的解有兩個:α0和α0+90°。若約定 |α0| ＜ 45°，即α0取值在 ±45°范圍內(nèi)，而確定主應(yīng)力方向的具體規(guī)則，教材中僅有如下描述：

規(guī)則①： 當σx＞σy時，α0確定σmax所在的主平面；

規(guī)則②：當σx＜σy時，α0確定σmin所在的主平面；

規(guī)則③：當σx=σy時，α0=45°，主應(yīng)力的方向可由單元體上切應(yīng)力情況直觀判斷出來。

鑒于上述規(guī)定在教材中無理論依據(jù)和詳細的論述，下面對上述規(guī)則進行理論證明。

規(guī)則①證明：

規(guī)則①規(guī)定，當σx＞σy時，即σx-σy＞0，且 |α0| ＜ 45°，即 cos2α0＞ 0，

結(jié)合公式（1）可得：

再結(jié)合公式（1）和公式（2）可知：

將公式（2）和（3）代入下式：

整理可得，

公式（5）與σmax的表達式一致，即規(guī)則（1）得到證明。

規(guī)則②證明：

規(guī)則②規(guī)定，當σx＜σy時，即σx-σy＜0，且|α0| ＜ 45°，即 cos2α0＞ 0，

結(jié)合公式（1）可得：

再結(jié)合公式（1）和公式（6）可知：

將公式（2）和（3）代入公式（4），整理可得，

公式（8）與σmin的表達式一致，即規(guī)則②得到證明。

2 直觀判斷方法

由于規(guī)則①和規(guī)則②關(guān)于主應(yīng)力方向判定的文字表述過于繁瑣，下面介紹一種利用單元體上切應(yīng)力方向直觀快速判定主應(yīng)力方向的方法。

如圖1所示τxy為正時的平面應(yīng)力狀態(tài)，當σx＞σy時，由公式（1）可知，tan2α0＜ 0，即 -45°＜α0＜ 0，對應(yīng)圖 2 中的α01，結(jié)果與規(guī)則①相對應(yīng)；當σx＜σy時，由公式（1）可知，tan2α0＞ 0，即 0＜α0＜45°，對應(yīng)圖 2 中的α02，結(jié)果與規(guī)則②相對應(yīng)?？梢姡鲬?yīng)力的方向與正應(yīng)力的大小和方向無關(guān)，判斷主方向時，可以不考慮正應(yīng)力，這就相當于將原來的應(yīng)力單元體分解為只有正應(yīng)力和只有切應(yīng)力的單元體，由只有切應(yīng)力的單元體直觀的判斷主應(yīng)力的方向。

圖1 τxy為正時的平面應(yīng)力狀態(tài)

如圖3所示τxy為負時的平面應(yīng)力狀態(tài)，當σx＞σy時，由公式（1）可知，an2α0＞ 0，即0＜α0＜ 45°，對應(yīng)圖 4中的α04，結(jié)果與規(guī)則①相對應(yīng)；當σx＜σy時，由公式（1）可知，tan2α0＜ 0，即-45°＜α0＜0，對應(yīng)圖4中的α03，結(jié)果與規(guī)則②相對應(yīng)?？梢?，主應(yīng)力的方向與正應(yīng)力的大小和方向無關(guān)，判斷主方向時，可以不考慮正應(yīng)力，這就相當于將原來的應(yīng)力單元體分解為只有正應(yīng)力和只有切應(yīng)力的單元體，由只有切應(yīng)力的單元體直觀的判斷主應(yīng)力的方向。

圖3 τxy為負時的平面應(yīng)力狀態(tài)

圖4 τxy為負時主應(yīng)力方向

3 討論

例1：試求圖5所示單元體主應(yīng)力的大小及方向。

圖5 單元體示例1

解：已知應(yīng)力分量σx=80 MPa，σy= -40 MPa，τxy= -60 MPa，

由主應(yīng)力計算公式[1-3]得

圖6 單元體主方向

圖6中主應(yīng)力的方向是通過教材中規(guī)則①可確定主方向，采用本文第三部分提出的直觀判斷方法可由原單元體分解得到的僅有切應(yīng)力單元體上的切應(yīng)力方向直觀判斷，如圖7所示，主方向判定結(jié)果與圖6一致。

圖7 單元體主方向

例2：試求圖8所示單元體主應(yīng)力的大小及方向。

圖8 單元體示例2

解：已知應(yīng)力分量σx=-20 MPa，σy= 30 MPa，τxy= 20 MPa，由主應(yīng)力計算公式[1-3]得

圖9 單元體主方向

圖9中主應(yīng)力的方向是通過教材中規(guī)則②可確定主方向，采用本文第三部分提出的直觀判斷方法可由原單元體分解得到的僅有切應(yīng)力單元體上的切應(yīng)力方向直觀判斷，如圖10所示，主方向判定結(jié)果與圖9一致。

圖10 單元體主方向

4 歸納總結(jié)

通過以上的分析和證明不難發(fā)現(xiàn)，根據(jù)教材中的方法判定平面應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力方向比較繁瑣，而僅通過單元體上切應(yīng)力的方向判定出單元體上主應(yīng)力方向更簡單、更直觀，有非常明顯的優(yōu)越性，在以后的工程實際和日常教學中可以僅利用單元體上切應(yīng)力的方向快速直觀地判定主應(yīng)力的方向，判定方法對本科生和研究生理論教學和工程實踐都有著十分重要的意義。