以“實踐+分析”有效培育學生“四基”
——以一堂函數(shù)列表課為例

沈 浩

(江蘇省蘇州中學，江蘇蘇州，215007)

1 課程背景與意圖

從教育部深化高中課程改革的要求來看，高中除注重學科知識的掌握和運用以外，更應該消除側(cè)重應試教育這一弊病.從學生健康發(fā)展的內(nèi)部需要來看，學生個體對個性化、多樣化發(fā)展的需求日益強烈[1].

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》在內(nèi)容標準部分，將數(shù)學探究、數(shù)學建模與數(shù)學文化作為獨立的部分呈現(xiàn)，闡述了各自的內(nèi)涵、教育價值，并提出了要求，對如何實施給出了說明和建議.數(shù)學探究、數(shù)學建模作為一種新的學習方式引入高中數(shù)學課程，旨在為學生提供自主學習、探究學習的空間，使學生經(jīng)歷數(shù)學概念、結(jié)論產(chǎn)生的過程，體驗數(shù)學在解決實際問題中的價值和作用，形成積極向上的情感、態(tài)度和價值觀[2].

江蘇省蘇州中學前身為蘇州府學，為北宋政治家、文學家范仲淹創(chuàng)辦.范仲淹在《上執(zhí)政書》中說人才培養(yǎng)與選拔要“先策論以觀其大要，次詩賦以觀其全才.以大要定其留，以全才升其等級”，該法主張“明體達用”，實行“以類群居，相與講習”，分“經(jīng)義”“治事”二齋教學.經(jīng)義齋研學經(jīng)學基本理論，屬“明體”之學；治事齋主攻農(nóng)田、水利、軍事、天文、歷算等實學知識，屬“達用”之學.據(jù)此我校衛(wèi)新校長提出了基于核心素養(yǎng)的書院制育人模式，為了研究書院制育人模式的實踐道路和貫徹蘇州市教育系統(tǒng)落實拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)要求，筆者以人教版數(shù)學必修第一冊第162頁“建立函數(shù)模型解決實際問題”這一課為例，進行探索研究如何有效培育學生“四基”.在此探索過程中筆者面向本校21級少預班學生開設了《函數(shù)中的“表”》的公開課.

2 教學過程

活動一

問題1：研究表明，40 ℃的溫水比較適合人體飲用.那么在室溫下，剛接好的一定溫度開水大約需要放置多長時間才能適合人體飲用？

同學們，對于這個問題我們需要采集哪些數(shù)據(jù)，應該構(gòu)建怎樣的函數(shù)關(guān)系？

我們可以利用秒表、溫度計等工具，收集水溫隨時間變化的數(shù)據(jù).

學生每隔1 min測量一次水溫，得到下表的一組數(shù)據(jù).

時間/min012345678910水溫/℃

設計意圖：這樣設計是為了提高學生興趣，但由于需要合理分配時間，所以之后分兩條線進行，請一位學生測量實驗數(shù)據(jù)，其他同學進入知識回顧環(huán)節(jié)，等十分鐘到了之后請學生報出測量數(shù)據(jù).

活動二

問題2：觀察下列函數(shù)表格中數(shù)據(jù)特點，寫出可能的一個解析式.

x123456f(x)=3x+25811141720作差33333

x-101234f(x)=x-32()2-14620026作差-4-2024

x0123456f(x)=x+14+3222.61833.3033.5623.7914作差(反函數(shù))0.6180.3820.3030.2590.2290.209

x123456f(x)=lg x00.3010.4770.6020.6990.778作差0.3010.1760.1250.0970.079

x123456f(x)=x711282 18716 38478 125279 936lg f(x)02.1073.3404.2144.8935.447

x11.522.533.5f(x)=3·4x12244896192384作商22222

小結(jié)：可以從函數(shù)的數(shù)據(jù)本身(作差、作商)或與其他函數(shù)間關(guān)系兩方面來探究函數(shù)解析式.

R3667.2593141.75887.97T88.0224.7365.3687.04 331.8R3/2216551.5896.91 687.710 641.4作商2.452.452.452.462.46

開普勒第三定律：以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其各自橢圓軌道半長軸的立方與周期的平方之比是定值.

設計意圖：在天文歷史中，科學家也遇到過從數(shù)據(jù)列表出發(fā)，尋找兩個變量之間的規(guī)律，提出這樣的列表問題使學生感覺這堂課的意義所在.

室溫18.1 ℃

時間/min012345678910水溫/℃9187.684.982.48077.675.573.671.769.867.9

設計意圖：此時正好觀察的同學已記錄好實驗數(shù)據(jù)，請他把數(shù)據(jù)一一報出.

活動三

問題3：如何分析水溫與時間的數(shù)據(jù)，建立怎樣的函數(shù)模型？

水溫是時間的函數(shù)，但沒有現(xiàn)成的函數(shù)模型.為此，可以先畫出散點圖，利用圖象直觀分析這組數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，從而幫助我們選擇函數(shù)類型.

觀察散點圖的分布狀況，利用前面數(shù)據(jù)分析有作差和作商的方法，并考慮到茶水溫度降至室溫(室溫為t℃)就不能再降的事實，可選擇函數(shù)y=kax+t(k∈R,0

為了求出溫度的衰減比例a，可從第2 min的溫度數(shù)據(jù)開始，計算每分(y-t(室溫))的值與上一分(y-t(室溫))值的比值，列出下表

x0123…nn+1…8910y-t…y1-ty2-t…比值…y2-ty1-t…

計算各比值的平均值，我們把這個平均值作為衰減比例，就得到一個函數(shù)模型

y=72.9·0.961x+18.1.

將已知數(shù)據(jù)代入函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖形，檢驗函數(shù)模型與實際數(shù)據(jù)是否吻合，能否較好地反映水溫隨著時間的變化規(guī)律.

問題4：在室溫下，剛接好的一定溫度開水大約需要放置多長時間才能達到40 ℃，適合人體飲用？

活動四

問題5：經(jīng)多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量Q(單位：L)與速度v(單位：km/h)(0≤v≤120)的下列數(shù)據(jù)：

v406090100120Q5.268.3251015.6

為了描述汽車每小時耗油量(單位：L)與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：

Q(v)=0.5v+a，Q(v)=av2+bv+c，Q(v)=av3+bv2+cv.

請?zhí)顚懕砀窨瞻滋帞?shù)據(jù)，并通過分析數(shù)據(jù)選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，求出相應的函數(shù)解析式.

解：選擇函數(shù)模型為Q(v)=av3+bv2+cv.

方法1：

方法2：

v406080100120每小時???耗油量Q(單位:L)5.261015.6百公里???耗油量P(單位:L)131091013作差-3-113再作差2222

設計意圖：這里表面上看為待定系數(shù)，其實可以根據(jù)前面的活動二通過二次函數(shù)兩次作差為定值的特點得到頂點坐標，再代入一組數(shù)據(jù)得到二次項系數(shù).使學生再次體會對于表中數(shù)據(jù)處理后運算較為簡便.

課堂小結(jié)

(1)用數(shù)學的眼光看待世界(提出問題)；

(2)用數(shù)學的思維思考世界(建立模型)；

(3)用數(shù)學的語言表達世界(函數(shù)表示).

3 教學反思

3.1 在培育學生“四基”時，以基本活動經(jīng)驗粘合其余三維數(shù)學基礎(chǔ)模塊

“四基”指基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗.基礎(chǔ)知識是指教材中的基本知識點，包括數(shù)學中的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理；基本技能是指應用基礎(chǔ)知識按照一定的程序與步驟進行解決問題；基本思想方法是指對數(shù)學理論與內(nèi)容的本質(zhì)知識，是從某些具體的數(shù)學內(nèi)容和對數(shù)學認識過程中提煉上升的數(shù)學觀點，它揭示了數(shù)學發(fā)展中普遍的規(guī)律，它直接支配著數(shù)學的實踐活動，這是對數(shù)學規(guī)律的理性認識；基本活動經(jīng)驗是指經(jīng)歷思考、探究、實踐等數(shù)學活動過程之后獲得過程性知識、最終形成應用數(shù)學的意識.數(shù)學活動經(jīng)驗可以這樣理解：數(shù)學活動經(jīng)驗是指學習者在參與數(shù)學活動的過程中所形成的感性知識、情緒體驗和應用意識.

第一維度，基本數(shù)學知識的積累過程；第二維度，基本數(shù)學技能的演練過程；第三維度，基本數(shù)學思想方法的形成過程.這樣一來，“四基”中前“三基”就已經(jīng)形成了一個三維的“數(shù)學基礎(chǔ)模塊”.而基本數(shù)學活動經(jīng)驗本身并不構(gòu)成一個單獨的維度，而是填充在三維模塊中間的粘合劑.事實上，數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學.學生通過無處不在的基本數(shù)學活動獲得的經(jīng)驗，與數(shù)學基本知識、基本能力、基本思想方法交織在一起，滲透在整體數(shù)學學習過程之中[3]，如圖所示，在具體上課過程中，設計了四個活動，活動一利用秒表、溫度計等工具收集水溫隨時間變化的數(shù)據(jù)，使學生對水冷實驗有初步的物理學上的經(jīng)驗認識；活動二觀察給定函數(shù)表格中數(shù)據(jù)特點，寫出可能的一個解析式，進而學生總結(jié)得出經(jīng)驗，可以從函數(shù)的數(shù)據(jù)本身(作差、作商)或與其他函數(shù)間關(guān)系兩方面來探究函數(shù)解析式；活動三利用前面對于數(shù)據(jù)處理的基本經(jīng)驗和測量數(shù)據(jù)，探究水冷實驗中時間和水溫的函數(shù)關(guān)系式；活動四通過例題檢驗所學方法，使學生對于數(shù)據(jù)處理的基本方法經(jīng)驗進行再認知.這四個活動環(huán)環(huán)相扣，以基本活動經(jīng)驗為粘合劑，粘合基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想.

3.2 在培育學生“四基”時，三維數(shù)學基礎(chǔ)模塊相互滲透、相互交織

基礎(chǔ)知識基本技能基本思想活動一水冷實驗函數(shù)概念收集水溫、時間函數(shù)思想活動二寫解析式函數(shù)圖像與性質(zhì)作差、作商轉(zhuǎn)化與化歸活動三寫水冷解析式分析指數(shù)函數(shù)數(shù)據(jù)特點求解方程、待定系數(shù)數(shù)形結(jié)合活動四思考反饋二次函數(shù)圖像與性質(zhì)待定系數(shù)轉(zhuǎn)化與化歸

從表格中我們可以看出，本次公開課在基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想中都動用了豐富的數(shù)學基礎(chǔ)模塊，使其形成了一個“四基”整體，其中的“實踐”即為基本活動經(jīng)驗活動的途徑，其中的“分析”即為在各個活動中提升數(shù)學基礎(chǔ)模塊的方法，從而通過“實踐+分析”的方式有效培育學生的“四基”.