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    張弛皆有度 動(dòng)靜總相宜
    ——圓錐曲線中的調(diào)和平均問題初探

    2022-11-16 12:24:34馮廣軍郭琳芳
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年3期
    關(guān)鍵詞:割線張弛切點(diǎn)

    馮廣軍 郭琳芳

    (廣東省深圳科學(xué)高中 518129)

    圓錐曲線中蘊(yùn)藏著豐富的規(guī)律,如定點(diǎn)與定值問題等.這些規(guī)律大多都反映了圓錐曲線中的一種動(dòng)態(tài)而和諧的平衡,正是“張弛皆有度,動(dòng)靜總相宜”,比如低調(diào)而絕妙的調(diào)和平均問題.

    1 研教材,啟示多從教材來

    (人教A版教材2019版第45頁(yè))如圖1,AB是圓的直徑,點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),AC=a,BC=b.過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連結(jié)AD,BD.你能利用這個(gè)圖形,得出基本不等式的幾何解釋嗎?

    圖1

    圖2 圖3

    事實(shí)上,如果作出圓的另一條切線AM,易知點(diǎn)E即為過圓心的割線AC與切點(diǎn)弦DM的交點(diǎn),一個(gè)自然的想法是:如果割線AC不過圓心,AE是否仍然是a,b的調(diào)和平均?結(jié)論是肯定的.

    圖4

    結(jié)論1 過圓O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,過點(diǎn)P任作圓O的一條割線,交圓O于C,D兩點(diǎn),交切點(diǎn)弦AB于點(diǎn)Q,則PQ為PD,PC的調(diào)和平均.

    2 善變通,味道盡在類比中

    圖5

    該結(jié)論在雙曲線和拋物線中仍然成立,證明略.

    結(jié)論2 過圓錐曲線E外一點(diǎn)P作E的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,過點(diǎn)P任作E的一條割線,交E于C,D兩點(diǎn),交切點(diǎn)弦AB于點(diǎn)Q,則PQ為PD,PC的調(diào)和平均.

    3 再尋覓,沿途處處有驚喜

    圖6

    對(duì)于雙曲線(交于同一支時(shí)的情形)和拋物線,可通過類似的證明過程得到這一結(jié)論,不再一一給出.

    結(jié)論3 圓錐曲線的焦點(diǎn)弦的兩個(gè)焦半徑的調(diào)和平均是其通經(jīng)的一半.(雙曲線中的焦點(diǎn)弦是指過焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于同一支的情形)

    圖7

    調(diào)和平均原本是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的術(shù)語,是一種某一特定條件下的平均量,我們能在圓錐曲線中不斷發(fā)現(xiàn)它的存在,這為我們從多個(gè)角度去理解調(diào)和平均又打開了一扇門.或許數(shù)學(xué)的魅力也正在于此,而更多的美正等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)!

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