“一線三直角”模型的構(gòu)建與應(yīng)用*

215151 蘇州市陽山實驗初級中學(xué)校 趙小花

在初三數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)常會碰到二次函數(shù)與幾何相關(guān)聯(lián)的探究題，因題型多樣，綜合性強，學(xué)生往往無從下手.如果教師在講解過程中只是就題論題，學(xué)生對題目的認(rèn)識可能只是浮于表面，是碎片化的.要想加深學(xué)生對問題的理解和把握，需要幫助學(xué)生建立完整的知識結(jié)構(gòu)，挖掘問題的內(nèi)涵和外延，抓住本質(zhì)，才能達到“知一法，通一類”的效果.

筆者近期開設(shè)了一節(jié)二次函數(shù)的專題復(fù)習(xí)課，通過對大量習(xí)題的分類與研究，確定以構(gòu)建“一線三直角”模型為本節(jié)課的主線，引導(dǎo)學(xué)生解決二次函數(shù)的一類綜合題.整節(jié)課銜接自然、流暢，題目設(shè)計精巧、有梯度，注重滲透數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型解決問題的能力，優(yōu)化解題思路，達到了預(yù)期的復(fù)習(xí)效果.

1 教學(xué)目標(biāo)

(1)掌握“一線三直角”模型的特點，能抓住本質(zhì)特征，根據(jù)問題條件構(gòu)造模型，歸類并總結(jié)解題方法.

(2)經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程，滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程及模型思想，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng).

2 教學(xué)過程

2.1 問題引入，激趣喚知

問題1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，OB⊥OA，且OB=2OA，已知點A(-1，2)，求經(jīng)過點A，O，B的拋物線的解析式.

圖1

師：求該拋物線解析式的關(guān)鍵是什么？

生1：確定點B的坐標(biāo).

師：如何確定點B的坐標(biāo)？

生2：構(gòu)造“一線三直角”模型，利用相似.

師：能具體說說嗎？

圖2

師：很好，請同學(xué)們求出該拋物線的解析式.

設(shè)計意圖：本節(jié)課是關(guān)于二次函數(shù)背景下的“一線三直角”模型的應(yīng)用，通過求拋物線解析式的問題引入，給學(xué)生的思維進行熱身，既可以喚醒已有的知識經(jīng)驗，又能激發(fā)他們繼續(xù)探索的興趣.求點B的坐標(biāo)引出了“一線三直角”模型，也為接下來模型的提煉做鋪墊.

2.2 分析特征，提煉模型

師：剛剛求點B坐標(biāo)時，同學(xué)們構(gòu)造了“一線三直角”模型，這個模型有什么特征？請同學(xué)們說一說，畫一畫.

生4：如圖3，已知OA⊥OB，直線l經(jīng)過直角∠AOB的頂點O，分別過點A，B向直線l作垂線段AM，BN，垂足記為點M，N，像這樣，一條直線上有三個直角就構(gòu)成了“一線三直角”模型.

圖3

師：根據(jù)模型可以得到什么結(jié)論？

師：其他條件不變，將直線l繞點O旋轉(zhuǎn)，結(jié)論還成立嗎？如圖4，若直線l旋轉(zhuǎn)至∠AOB內(nèi)部，結(jié)論還成立嗎？

圖4

生6：證明方法是一樣的，仍然能夠證得△AMO∽△ONB，所以結(jié)論成立.

師：圖3和圖4可以分別稱為同側(cè)型和異側(cè)型的“一線三直角”模型.若將模型一般化，把三個直角改為三個相等的角，變成“一線三等角”模型，結(jié)論有什么變化？

生7：結(jié)論不變，△AMO∽△ONB.

師：若將模型特殊化，添加條件OA=OB，有什么新發(fā)現(xiàn)？

生8：相似三角形中一組等角的對邊相等時，可以得到全等，所以此時△AMO≌△ONB.

師：本節(jié)課主要研究“一線三直角”模型的構(gòu)建和應(yīng)用，其他內(nèi)容暫不深入討論.做題時可以發(fā)現(xiàn)很多題目中的“一線三直角”模型并不會被直觀、完整地呈現(xiàn)出來，需要自主構(gòu)建，有什么方法？

生9：可以分三步.第一步，找到或挖掘題目中的直角；第二步，確定經(jīng)過直角頂點的直線；第三步，向直線作垂線段.總結(jié)為“找直角、定直線、搭框架”.

師：非常好.接下來看看“一線三直角”模型還能夠解決哪些二次函數(shù)的相關(guān)問題.

設(shè)計意圖：學(xué)習(xí)了全等和相似三角形后，學(xué)生對“一線三直角”模型已經(jīng)有了一定的認(rèn)識，但結(jié)合二次函數(shù)綜合應(yīng)用時往往需要自主構(gòu)建模型，對學(xué)生的建模意識和能力也提出了更高的要求.本環(huán)節(jié)通過學(xué)生的自主展示、復(fù)習(xí)和總結(jié)，既幫助基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生熟悉模型的特征和結(jié)論，為綜合應(yīng)用做鋪墊，也有利于學(xué)生建立完整、系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu).

2.3 模型應(yīng)用，總結(jié)方法

圖5

師：讀完題目大家有什么思路？

生10：要先確定點B的位置，如圖6，根據(jù)OB⊥OA，過點O作OA的垂線，與拋物線的交點即為點B.再分別過點A，B作AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N，構(gòu)造“一線三直角”模型.

圖6

師：問題1中也是構(gòu)造模型求點B的坐標(biāo)，問題1和問題2在解法上有什么區(qū)別與聯(lián)系？

師：那要怎么做呢？

師：很好，抓住點的特殊位置，設(shè)坐標(biāo)列方程來求解，請同學(xué)們現(xiàn)在求解一下.

生13：解得t1=4，t2=0.但當(dāng)t=0時，點B與原點重合，舍去，所以t=4，得B(4,2).

師：特別好.要檢驗方程的解是否符合題意，再確定最后結(jié)果.本題利用“一線三直角”模型求點的坐標(biāo)，能總結(jié)一下方法嗎？

生14：可以分五步.第一步，根據(jù)點的特殊位置設(shè)坐標(biāo)；第二步，挖掘題目條件構(gòu)造模型；第三步，用代數(shù)式表示相似直角三角形對應(yīng)邊的長；第四步，由對應(yīng)邊成比例列方程；第五步，解方程，檢驗，得出結(jié)果.

設(shè)計意圖：問題2的設(shè)計首先讓學(xué)生能夠根據(jù)垂直，作圖確定點的位置，為接下來直角三角形的存在性問題畫圖做鋪墊.再通過將本題與問題1進行比較分析，學(xué)生感受平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)是解題的立足點，也是列方程的關(guān)鍵點，所以要抓住點的特殊位置，用字母表示數(shù)設(shè)點的坐標(biāo)，再運用“一線三直角”模型理論解決問題，充分滲透了數(shù)形結(jié)合和方程思想.

2.4 變式練習(xí)，靈活應(yīng)用

師：通過剛剛兩道題的探究，同學(xué)們覺得使用“一線三直角”模型的主要條件是什么？

眾生：要有直角.

師：看到直角還能想到什么？

眾生：直角三角形、矩形、正方形……

師：這些圖形都自帶直角，為模型的使用提供了必要的條件，將這些圖形放到二次函數(shù)的背景下又會出現(xiàn)什么新的問題呢？來看下面這道題.

圖7

師：本題是直角三角形的存在性問題，該如何處理？

生15：要使△ACP為直角三角形，需先分類討論確定點P的位置.

師：有幾種情況？如何分類？

生16：有三種情況，可以按邊、角或頂點分類.

師：哪種分類更有利于作圖找點P？請具體說說怎么作圖.

生17：按頂點分類最為簡便，如圖8，聯(lián)結(jié)AC.(1)若點A為直角頂點，過點A作線段AC的垂線，與x軸的交點記為P1；(2)若點C為直角頂點，過點C作線段AC的垂線，與x軸的交點記為P2，情況不存在，舍去；(3)若點P為直角頂點，則AC為斜邊，以AC為直徑作圓，與x軸的交點記為P3，此時AP3⊥x軸.

圖8

師：確定了點P的位置后，如何求坐標(biāo)？

生18：根據(jù)上題總結(jié)的方法，先設(shè)點P的坐標(biāo)，因為點P在x軸上，設(shè)P(t，0)，再通過“找直角、定直線、搭框架”構(gòu)造“一線三直角”模型.

師：直角很明顯，但過直角頂點的直線可以有無數(shù)條，要怎么確定？

生19：在平面直角坐標(biāo)系中，一般過直角頂點作平行于x軸或平行于y軸的直線，便于表示點的坐標(biāo).

師：非常好，要找“橫平豎直”的直線，請簡單說說解題過程.

圖9

師：還有其他求點P1坐標(biāo)的方法嗎？

生21：可以過點A向x軸作垂線段，利用射影定理求解，本質(zhì)上是構(gòu)造了異側(cè)型“一線三直角”模型.

生22：可以根據(jù)AP1⊥AC得到這兩條線段所在直線的比例系數(shù)積為-1，通過解析式法求點P1的坐標(biāo).

生23：還可以利用兩點距離公式表示△ACP中各邊的平方，根據(jù)勾股定理列方程求解.

師：很好.同學(xué)們可以嘗試不同方法求解，比較方法的優(yōu)劣，根據(jù)不同題目，選擇最優(yōu)解法.

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直角聯(lián)想到與直角有關(guān)的圖形，自然地過渡到用“一線三直角”模型來解決圖形的存在性問題，同時融入動點，讓學(xué)生確定直角三角形分類的標(biāo)準(zhǔn)，滲透分類討論數(shù)學(xué)思想.在教學(xué)過程中，通過學(xué)生作圖、師生問答的方式，學(xué)生深化對模型構(gòu)造的理解，把握解題方法.最后，除了總結(jié)得出一般方法外，讓學(xué)生拓展思路，一題多解，發(fā)散思維.

2.5 舉一反三，思維拓展

師：問題3中條件不變，你還能提出其他直角三角形的存在性問題嗎？

生24：在y軸上是否存在一點P，使得以A，C，P為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

生25：在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得以A，C，P為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

生26：在拋物線上是否存在一點P，使得以A，C，P為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

師：很好，問題3和這三道題都是典型的直角三角形的存在性問題，請同學(xué)們分組求點P的坐標(biāo)，并思考這類問題中動點的位置有什么特點？

生27：一般在x軸、y軸、二次函數(shù)對稱軸或者函數(shù)圖像上等，目的是使設(shè)點的坐標(biāo)中只含有一個未知數(shù)，或者使橫坐標(biāo)確定，或者使縱坐標(biāo)確定，或者使橫縱坐標(biāo)之間可以建立聯(lián)系，這樣才能列方程求出未知數(shù)的值.

師：問題3條件依然不變，請同學(xué)們嘗試將直角三角形的存在性問題拓展到四邊形.

生28：點P是對稱軸上一點，點Q為平面內(nèi)任意一點，是否存在以A，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，求出點P，Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

師：非常好.矩形具備平行四邊形的特性又含有直角，本質(zhì)上是將直角三角形的存在性問題與平行四邊形的存在性問題相結(jié)合，平行四邊形的存在性問題前面已經(jīng)講過，同學(xué)們可以嘗試求解.

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)設(shè)置了較為開放性的問題，也提升了一定的難度，讓學(xué)生站在更高的角度思考問題，從看題、做題到自主編題，對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了更高的要求.直角三角形、矩形、正方形等都是含有直角的圖形，通過舉一反三，學(xué)生抓住這一類問題的特征，形變質(zhì)不變，最后歸納總結(jié)，形成類型問題的完整解題策略.

3 教學(xué)思考

3.1 抓住模型特征，滲透模型思想

初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型來源于對數(shù)學(xué)規(guī)律的總結(jié)、知識經(jīng)驗的積累，是基于知識典型結(jié)構(gòu)的特殊總結(jié)，因此模型通常具有鮮明特征[1].只有抓住模型特征才能正確構(gòu)建模型得到相應(yīng)結(jié)論，所以在以數(shù)學(xué)模型建構(gòu)與應(yīng)用為主線的復(fù)習(xí)教學(xué)中有兩個重點：一是抓住模型特征，二是滲透模型思想.本節(jié)課在提煉模型環(huán)節(jié)給了學(xué)生充分表達的機會，讓學(xué)生進行特征總結(jié)，理解模型結(jié)構(gòu)，為后續(xù)順利構(gòu)建模型和應(yīng)用模型做鋪墊.而模型思想的滲透屬于更高層面，需要教師在平時的教學(xué)中有意識地帶領(lǐng)學(xué)生體驗建模過程，指導(dǎo)學(xué)生建模方法，從模型的角度思考問題，從根本上提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.2 關(guān)注知識生長，構(gòu)建整體結(jié)構(gòu)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課所要教授的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系[2].本節(jié)課以“一線三直角”模型的提煉、構(gòu)建及應(yīng)用為主線，問題設(shè)計以同一條拋物線為載體，讓學(xué)生在整體上搭建知識框架.而從局部上看，將模型教學(xué)與其他知識點相串聯(lián)，層層鋪墊，形成一條問題鏈，逐步讓學(xué)生掌握解題方法和解題思路.最后又引導(dǎo)學(xué)生對題目進行拓展，舉一反三，培養(yǎng)學(xué)生高水平思維能力，讓知識得以自然地生長與延伸.

3.3 重視歸納總結(jié)，增進復(fù)習(xí)實效

模型教學(xué)的復(fù)習(xí)課中，對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的總結(jié)也尤為重要.本節(jié)課的探究過程中教師引導(dǎo)學(xué)生進行了四次歸納總結(jié)：一是挖掘模型特征，總結(jié)構(gòu)建模型的三步法；二是對比問題條件，總結(jié)拋物線中求點的坐標(biāo)的五步法；三是讓學(xué)生自主作圖，總結(jié)直角三角形三種分類標(biāo)準(zhǔn)；四是運用模型解決問題的過程中，總結(jié)二次函數(shù)中存在性問題模型.通過及時歸納總結(jié)幫助學(xué)生關(guān)注細節(jié)，掌握完整的模型解題過程，認(rèn)識問題的本質(zhì)規(guī)律，達到“知一法，通一類”的效果，增強復(fù)習(xí)實效.