GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的探究性應(yīng)用

□江西省萍鄉(xiāng)市上栗中學(xué) 張文香

近些年，隨著我國(guó)社會(huì)生產(chǎn)力和科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，教育領(lǐng)域也有了較大的變革，教學(xué)的理念、方式、手段等都逐漸現(xiàn)代化，這使教師在教學(xué)過(guò)程中能夠獲得更高的效率和質(zhì)量，學(xué)生學(xué)起來(lái)也能夠更加輕松和積極。數(shù)學(xué)是研究多數(shù)科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)學(xué)科，其承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生空間想象、抽象思維、邏輯演繹推理等能力的重要職責(zé)。GeoGebra軟件作為現(xiàn)代化的教學(xué)工具之一，對(duì)幫助學(xué)生理解和鞏固知識(shí)有著較為積極的促進(jìn)作用。因此，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)注重該軟件的實(shí)際運(yùn)用價(jià)值，將其科學(xué)、合理地運(yùn)用在課堂上。

數(shù)學(xué)是素質(zhì)教育的重要組成部分，教師在教學(xué)過(guò)程中要豐富學(xué)生的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)以及提高學(xué)生的基本能力，全面提高學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，使學(xué)生能夠得到更好的發(fā)展。GeoGebra軟件的軟件對(duì)構(gòu)建高效課堂有著較為積極的意義，教師應(yīng)掌握其使用方法，以優(yōu)化課堂的教學(xué)質(zhì)量。為了幫助廣大教師能夠更好地運(yùn)用GeoGebra軟件，以更直觀形象的方式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，本文將立足當(dāng)前高中數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀，從GeoGebra軟件的基本功能以及特點(diǎn)出發(fā)，就其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略進(jìn)行探究。

一、GeoGebra軟件的功能及特點(diǎn)

GeoGebra軟件的名稱來(lái)源于“Geo”與“Gebra”的組合，這就很明顯地表現(xiàn)出了GeoGebra軟件兼具了幾何與代數(shù)這兩大功能。該軟件由美國(guó)亞特蘭大大學(xué)數(shù)學(xué)系教授Markus Hohenwarter所設(shè)計(jì)，其作為一種自由且跨平臺(tái)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，能夠?qū)缀?、代?shù)、表格、圖形等直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前。此外，GeoGebra作為一個(gè)動(dòng)態(tài)幾何軟件，幾乎涵蓋了幾何畫板了所有功能，無(wú)論是簡(jiǎn)單點(diǎn)、線，面，還是相對(duì)復(fù)雜的圓錐曲線、函數(shù)圖形，都能夠通過(guò)GeoGebra的繪圖區(qū)輕松展示。GeoGebra還能夠?qū)Ψ匠獭⒑瘮?shù)等代數(shù)問(wèn)題作出準(zhǔn)確且迅速的處理，因?yàn)槠湟訨ava編程為基礎(chǔ)。因此，其動(dòng)態(tài)網(wǎng)頁(yè)的輸出效果相對(duì)于其他軟件而言更加優(yōu)異，從而能夠有效促進(jìn)技術(shù)交流以及資源共享。與其他的幾個(gè)主流軟件如幾何畫板、超級(jí)畫板等相比，GeoGebra更加突出的方面在于以下三點(diǎn)：一是功能更加全面，上文中已經(jīng)提到GeoGebra有涵蓋幾何畫板的所有功能，此外，GeoGebra具備幾何作圖、代數(shù)運(yùn)算、數(shù)據(jù)處理等多種功能。因此，其更能適應(yīng)中小學(xué)短時(shí)的課堂教學(xué)，教師在教學(xué)過(guò)程中，可以一開(kāi)多用，避免了各種軟件反復(fù)切換導(dǎo)致的時(shí)間浪費(fèi)。二是GeoGebra的應(yīng)用有利益教師之間的相互交流和學(xué)習(xí)。該軟件特有的“作圖過(guò)程”以及“作圖過(guò)程導(dǎo)航條”可以復(fù)盤教師整個(gè)教案設(shè)計(jì)的過(guò)程，教師在課后，可以就其所制作的內(nèi)容向其他教師請(qǐng)教，這十分有利于教師的反思工作。三是Geo-Gebra軟件免費(fèi)，教師在使用的過(guò)程中可以實(shí)現(xiàn)資源共享，與此同時(shí)也方便了教師進(jìn)行線上的交流和學(xué)習(xí)，符合當(dāng)下的環(huán)境趨勢(shì)。

二、應(yīng)用GeoGebra軟件時(shí)的注意事項(xiàng)

教師在使用GeoGebra軟件的過(guò)程中主要需要注意以下問(wèn)題：一是教師需要讓學(xué)生基本掌握GeoGebra軟件的大致使用方法。GeoGebra軟件相對(duì)其他軟件來(lái)說(shuō)更加容易學(xué)習(xí)，不過(guò)高中學(xué)生學(xué)起來(lái)還是需要一定的時(shí)間。因此，教師在教導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行應(yīng)用時(shí)可以在復(fù)習(xí)課上導(dǎo)入這個(gè)軟件，并引用一些例子幫助學(xué)生理解和操作，使學(xué)生能夠逐步掌握其中的應(yīng)用技巧。在不耽誤教學(xué)進(jìn)度的前提下，學(xué)生也能夠較好地掌握GeoGebra軟件的使用，并在此過(guò)程中對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)再次進(jìn)行較好的回顧。而GeoGebra軟件則能夠在學(xué)生后續(xù)進(jìn)行協(xié)作式的學(xué)習(xí)發(fā)揮巨大的作用。二是要尊重學(xué)生的主體地位，鼓勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。學(xué)生的自主性是保證課堂效率和質(zhì)量的前提，因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生凡事多加觀察、親身實(shí)踐、積極交流，在GeoGebra軟件的應(yīng)用學(xué)習(xí)中給予學(xué)生一定的試錯(cuò)空間，從而促使學(xué)生更加積極地投身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。三是教師的準(zhǔn)備工作必須全面，充分考慮到在GeoGebra軟件的使用過(guò)程中可能出現(xiàn)的各種問(wèn)題，并準(zhǔn)備好相關(guān)的規(guī)避或應(yīng)對(duì)措施。教師需要考慮到整節(jié)課的過(guò)程教學(xué)，還需要準(zhǔn)備好GeoGebra軟件的數(shù)學(xué)對(duì)象，如教師授課過(guò)程、學(xué)生合作交流等情境下可能會(huì)使用到的對(duì)象。此外，教師還需要設(shè)計(jì)師生、生生之間的互動(dòng)環(huán)節(jié)，并考慮到這些環(huán)節(jié)是否需要教師的引導(dǎo)和協(xié)助，而這些過(guò)程GeoGebra軟件是否又需要被應(yīng)用到。四是聯(lián)系學(xué)生的課外時(shí)間，保證課外所使用在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的時(shí)間是高效且有意義的。課堂教學(xué)的時(shí)間相對(duì)較短，且教育目的和培養(yǎng)目標(biāo)應(yīng)該是被貫徹至課堂內(nèi)外的。因此，教師在上課前就需要將GeoGebra軟件所設(shè)計(jì)的課件通過(guò)線上平臺(tái)發(fā)送給學(xué)生，讓學(xué)生進(jìn)行事先預(yù)習(xí)以及自主探索，這樣能夠使教師的課堂教學(xué)事半功倍。

三、髙中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用GeoGebra軟件開(kāi)展學(xué)習(xí)的理論分析

將GeoGebra軟件與數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合，能夠幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)理論知識(shí)。美國(guó)著名數(shù)學(xué)學(xué)者杜賓斯等人創(chuàng)立了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的APOS理論模型，該模型認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是要進(jìn)行心理建構(gòu)的，此建構(gòu)過(guò)程要經(jīng)歷以下四個(gè)階段：操作或活動(dòng)（Action）階段、過(guò)程（Process）階段、對(duì)象（Object）階段，以及概型（Schema）階段。學(xué)生能夠在這個(gè)過(guò)程中構(gòu)建一個(gè)相對(duì)完整的數(shù)學(xué)概念體系。在此框架的基礎(chǔ)上，又有一些學(xué)者提出在應(yīng)用APOS理論模型的過(guò)程中加以計(jì)算機(jī)編程、多媒體情境等教學(xué)手段能夠獲得更好的教學(xué)效果。本文所分析的Geo-Gebra便是進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)編程的重要軟件，在展開(kāi)學(xué)科理論的教學(xué)過(guò)程中，GeoGebra軟件都將成為輔助學(xué)生形成科學(xué)知識(shí)體系的重要手段。此外，除了在學(xué)者理論的基礎(chǔ)上展開(kāi)分析以外，多樣化表征同樣也能夠給予我們想要的答案。學(xué)生理解數(shù)學(xué)理論的能力與學(xué)生的表征能力有著十分密切的關(guān)聯(lián)，多樣化的表征能夠促使學(xué)生更好地理解各個(gè)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯與聯(lián)系。而數(shù)學(xué)領(lǐng)域最為主要的表征方式有：心智表征、計(jì)算機(jī)表征、數(shù)學(xué)表征、解釋表征以及符號(hào)表征。GeoGebra軟件都能夠通過(guò)編程的形式將這些表征方式的核心概念以形象的圖示呈現(xiàn)在多媒體上，學(xué)生通過(guò)下文中所提及的方式能夠更好地理解GeoGebra的應(yīng)用，并在結(jié)合GeoGebra展開(kāi)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中加強(qiáng)自身的表征能力，形成兩者之間的相互促進(jìn)、相互輔佐。

四、GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）結(jié)合協(xié)作式學(xué)習(xí)模式發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性

新課改強(qiáng)調(diào)教師在教學(xué)過(guò)程中要注重培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和實(shí)踐能力。協(xié)作式學(xué)習(xí)模式使學(xué)生能夠以小組的形式進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，從而讓學(xué)生相互交流、取長(zhǎng)補(bǔ)短、共同進(jìn)步。該模式與GeoGebra軟件相結(jié)合，能夠在啟發(fā)學(xué)生思維以及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方面達(dá)到“1+1＞2”的效果，這與新課改中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求不謀而合，該教學(xué)方式在落實(shí)最新教育理念及要求的同時(shí)，還能夠促使學(xué)生獲得思維的進(jìn)步和能力的提升。在該模式中，教師首先需要結(jié)合學(xué)生的特點(diǎn)進(jìn)行分組，在布置探究任務(wù)后，教師以自身的語(yǔ)言描述以及GeoGebra軟件配合紙幣作為學(xué)生之間的交流依據(jù)和媒介。這個(gè)過(guò)程中，教師需要不斷地走動(dòng)觀察，鼓勵(lì)每一個(gè)學(xué)生發(fā)揮出自身的主觀能動(dòng)性，并給予學(xué)生適當(dāng)?shù)脑囧e(cuò)空間，使學(xué)生能夠以自身思維的獨(dú)特性對(duì)問(wèn)題發(fā)表見(jiàn)解，并發(fā)揮出敢于質(zhì)疑、勇于創(chuàng)新的精神，積極地投入課堂交流中。其次，教師還需要及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和接收學(xué)生之間的討論信息，對(duì)出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行歸納，討論結(jié)束后，教師需要邀請(qǐng)小組代表對(duì)討論的內(nèi)容進(jìn)行闡述，并讓其他小組分析這個(gè)小組所總結(jié)的內(nèi)容中的優(yōu)點(diǎn)以及存在的問(wèn)題。最后，所有小組匯報(bào)完畢后，由教師對(duì)小組的答案進(jìn)行歸納，并利用GeoGebra軟件進(jìn)行演示分析，解答學(xué)生疑惑，總結(jié)課堂內(nèi)容。

（二）創(chuàng)設(shè)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的學(xué)習(xí)情境

創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境是現(xiàn)階段教師進(jìn)行教學(xué)最重要的手段之一，教師需要通過(guò)構(gòu)建學(xué)科相應(yīng)的情景，使學(xué)生通過(guò)最直觀和形象的形式理解相關(guān)知識(shí)。創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境在現(xiàn)階段的教學(xué)中極為常見(jiàn)，其能夠有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，樹(shù)立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，讓學(xué)生能夠深度感受數(shù)學(xué)知識(shí)的魅力，從而愛(ài)上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，以主動(dòng)、積極的狀態(tài)投入數(shù)學(xué)課堂中。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，導(dǎo)數(shù)這一章的培養(yǎng)目標(biāo)明確指出，學(xué)生需要學(xué)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減。因此，教師在運(yùn)用GeoGebra時(shí)，需要積極利用其功能繪制相應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)圖像，并進(jìn)一步創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，使學(xué)生能夠?qū)⒃瘮?shù)的極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)相對(duì)應(yīng)和聯(lián)系起來(lái)。在GeoGebra的應(yīng)用中，教師只需進(jìn)行簡(jiǎn)單 的 兩 次 輸 入：“Roots[g，x(Corner[1])，x(Corner[2])]”“Extremum[f，x(Comer[1])，x(Comer[2])]”，就可以呈現(xiàn)出上文中所要求的圖像。此外，因?yàn)镚eoGebra的便利性，教師僅需掌握其豐富命令的基礎(chǔ)指令，GeoGebra就可以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)補(bǔ)齊，這對(duì)教師和學(xué)生而言都大大提高了課堂效率。另外，還有值得提到的一點(diǎn)，GeoGebra能夠重現(xiàn)制圖過(guò)程。因此，教師在教學(xué)反思時(shí)能夠迅速地回顧教學(xué)過(guò)程，并通過(guò)對(duì)GeoGebra軟件的數(shù)據(jù)再現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)教學(xué)過(guò)程中存在的問(wèn)題，并及時(shí)進(jìn)行糾正，這在一定程度上為教師之間的共享和交流提供了便利，促使教師提高自身教學(xué)水平的同時(shí)，也為教師的思路建構(gòu)、課堂的補(bǔ)充拓展提供了便利，有利于教師構(gòu)建合適的學(xué)習(xí)情境。

（三）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考和自主研學(xué)

在應(yīng)用GeoGebra教學(xué)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生理解教材中的基本內(nèi)容，并適當(dāng)挖掘其中的內(nèi)涵，使學(xué)生能夠?qū)λ鶎W(xué)知識(shí)有一個(gè)更為深刻的認(rèn)識(shí)。培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和自主學(xué)習(xí)的能力，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要一環(huán)，教師要事先準(zhǔn)備好GeoGebra課件，帶領(lǐng)學(xué)生先探索課程內(nèi)容，為學(xué)生之后的獨(dú)立探究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在傳統(tǒng)的教學(xué)課堂上，學(xué)生獨(dú)立思考過(guò)程中最大的障礙在于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)缺少反饋，無(wú)論是教師還是學(xué)生的直接、間接反饋都不夠充分和及時(shí)，這就導(dǎo)致了教師的主導(dǎo)與學(xué)生的主體連接不夠密切，缺乏互動(dòng)和溝通，從而使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中面對(duì)一些晦澀難懂的關(guān)鍵點(diǎn)時(shí)常常一頭霧水，GeoGebra的應(yīng)用需要師生之間的密切配合，方能達(dá)到最好的教學(xué)效果。在使用教師提供的GeoGebra課件時(shí)，學(xué)生需要利用該作圖軟件自身所具備的直觀性和互動(dòng)性，嘗試自行了解，而教師在這個(gè)時(shí)候必須留心觀察學(xué)生的課堂反應(yīng)和學(xué)習(xí)狀況，給予學(xué)生適時(shí)的點(diǎn)撥和指導(dǎo)，使學(xué)生最終能夠做到靈活應(yīng)用、舉一反三、觸類旁通的同時(shí)，能夠感受到幾何語(yǔ)言的魅力，從而激發(fā)其學(xué)習(xí)的探索興趣。這個(gè)階段結(jié)束以后，學(xué)生能夠加深和鞏固對(duì)所學(xué)內(nèi)容的認(rèn)知，減少學(xué)習(xí)過(guò)程中所產(chǎn)生的迷茫和困惑，使其在學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠更加高效和精準(zhǔn)地抓住問(wèn)題關(guān)鍵，并分析和解決相關(guān)問(wèn)題。

（四）利用GeoGebra繪制分段函數(shù)圖像

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾言：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休?！庇纱丝梢?jiàn)，數(shù)形結(jié)合的對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言尤為重要。而GeoGebra軟件最為顯著的特點(diǎn)在于其能夠幫助學(xué)生更為直觀且形象地理解函數(shù)性質(zhì)。因此，GeoGebra軟件的應(yīng)用可以說(shuō)是數(shù)形結(jié)合思想的展示，該思想在幫助和學(xué)生解題，深度剖析題目?jī)?nèi)涵方面有著極為重要的作用，數(shù)形結(jié)合思想也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重中之重。教師在函數(shù)教學(xué)時(shí)，就可以利用GeoGebra繪制出函數(shù)圖像，并引導(dǎo)學(xué)生抓住其中的關(guān)鍵信息以及突破點(diǎn)。在繪制分段函數(shù)的應(yīng)用中，GeoGebra的積極作用更為突出。教師可以在命令框中輸入相應(yīng)的分段函數(shù)內(nèi)容“If[X≥一1,x2-2x,x+4]”便可以得到相關(guān)圖像，之后教師就可以直接在GeoGebra軟件上進(jìn)行題目講解，節(jié)省教師在黑板上作圖以及反復(fù)修改的時(shí)間，而學(xué)生也能夠在GeoGebra軟件的精準(zhǔn)展示下，迅速地鎖定關(guān)鍵數(shù)據(jù)，再通過(guò)自身的演算和思考，最終得出題目所要求的答案。此外，在GeoGebra中，教師可以在建立方式時(shí)，利用幾何方式，或者更為精確的代數(shù)定義，GeoGebra所能夠運(yùn)用到的豐富指令，都為教師的教學(xué)方式建立提供了良好的條件，教師則需要抓住GeoGebra軟件的特點(diǎn)，在教學(xué)中正確、科學(xué)地運(yùn)用該軟件，使學(xué)生能夠得到更具系統(tǒng)化的聯(lián)系，增強(qiáng)其數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用思維。

（五）課程融合，發(fā)展學(xué)生個(gè)性

針對(duì)學(xué)科的教育技術(shù)軟件，必須具備學(xué)科特有的應(yīng)用工具，才能最大程度上展現(xiàn)出現(xiàn)代化教學(xué)手段的運(yùn)用效果。GeoGebra軟件作為一個(gè)現(xiàn)階段相對(duì)成熟和較為優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，其全面的功能將代數(shù)、繪畫、幾何等幾個(gè)區(qū)域密切地聯(lián)系在了一起，且?guī)缀醺采w了整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)領(lǐng)域。GeoGebra軟件的應(yīng)用實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的演繹推理過(guò)程的可視化，讓學(xué)生能夠從最為直觀且形象的視角思考數(shù)學(xué)的奧秘。此外，教師不僅要在課堂上積極使用GeoGebra軟件，還應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)刂笇?dǎo)學(xué)生掌握GeoGebra的使用方法。部分學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面有著相對(duì)于其他學(xué)生有更強(qiáng)的探索欲望，這些學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)就可以使用教師所提供的GeoGebra應(yīng)用方法進(jìn)行自主探索，打破基礎(chǔ)教學(xué)的局限性，使這些學(xué)生獲得更深層次的認(rèn)知。而基礎(chǔ)中等或基礎(chǔ)稍弱的學(xué)生，GeoGebra的應(yīng)用同樣也可以讓其進(jìn)行練習(xí)和回顧，從而讓學(xué)生能夠把握基礎(chǔ)的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容。

五、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，將GeoGebra軟件充分應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，不僅對(duì)學(xué)生有著十分積極的促進(jìn)作用，而且其能夠幫助教師有效提高教學(xué)質(zhì)量、構(gòu)建高效課堂。