抓住聯(lián)系 組建結(jié)構(gòu) 發(fā)展思維
——以“角的度量”的教學(xué)為例

江蘇省無錫市新洲小學(xué) 余曉華

基于數(shù)學(xué)學(xué)科的整體系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性等特點(diǎn)，教師在數(shù)學(xué)課堂上進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)，通過連續(xù)、關(guān)聯(lián)、循環(huán)這三個(gè)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)本身出發(fā)，對數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行合理統(tǒng)整，打破孤立的“一節(jié)課”局限，實(shí)現(xiàn)自然而有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，讓學(xué)科價(jià)值與學(xué)生學(xué)習(xí)力發(fā)展之間的邏輯紐帶——結(jié)構(gòu)發(fā)揮更大作用，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)觀察、理解與應(yīng)用的基礎(chǔ)素養(yǎng)，最終形成結(jié)構(gòu)性思維。下面，筆者以“角的度量”的教學(xué)為例，談?wù)勗诮虒W(xué)中如何抓住知識(shí)內(nèi)在的練習(xí)，組建知識(shí)本身的結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的高階思維。

一、橫向聯(lián)系——順應(yīng)知識(shí)發(fā)展的脈絡(luò)，組建認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓思維有寬廣度

布魯納強(qiáng)調(diào)，不論我們教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，就是學(xué)習(xí)知識(shí)是怎樣相互關(guān)聯(lián)的。這就需要教師站在系統(tǒng)的高度，從整體的角度審視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)生、發(fā)展過程，從而科學(xué)地優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，推動(dòng)學(xué)生在已有數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷個(gè)性化的認(rèn)知轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化思維，形成“帶得走”的學(xué)習(xí)方法和能力。

（一）撥開知識(shí)“洋蔥皮”，尋找知識(shí)內(nèi)核，搭建思維支架

關(guān)于“角的度量”，追根溯源，就是尋找角的發(fā)生點(diǎn)。角是怎么產(chǎn)生的呢？學(xué)生剛認(rèn)識(shí)角的時(shí)候是這么感受角的大小的；角的大小是由兩條邊的張開程度決定的，兩條邊張開得越大，角越大；張開得越小，角越小。到了中年級(jí)，學(xué)生認(rèn)識(shí)的角是這么定義的：由一點(diǎn)引出兩條射線組成一個(gè)角。隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生之后會(huì)接觸到角的引申含義，那就是一條射線由原來的位置繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到另一位置，形成角。在不同的年級(jí)中，教材都提及了角的邊在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生角，兩邊張開的程度決定了角的大小。既然有大小，就有了量角的必要性，學(xué)生需要有知識(shí)上的自然理解和自然過渡。

學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)具有可遷移性，能夠橫向聯(lián)系知識(shí)。按照以往的度量經(jīng)驗(yàn)，對于一維空間里的長度，初接觸時(shí)，我們用身體尺“拃”去量，用鉛筆盒的長邊去量，用數(shù)學(xué)書的寬邊去量……我們都是用小長度去量大長度，但是結(jié)果不統(tǒng)一，從而讓我們感受到了單位長度的重要性。自此有了厘米尺，在一維空間里度量長度時(shí)，我們就可以用厘米尺量出被測量物體的長度。這些追溯到的以往的舊知可以給新的度量活動(dòng)提供基本的認(rèn)知框架，由舊知猜測新知可能具有相同或相似的屬性，為學(xué)生的自我建構(gòu)知識(shí)意義提供保障。在順應(yīng)知識(shí)脈絡(luò)的自然順接下，有了前后貫通的纜索，學(xué)生準(zhǔn)確地尋找到新知識(shí)的生長點(diǎn)。對于二維空間里的角，我們也讓學(xué)生感受用小角去測量大角的過程。對于同一個(gè)大角，有的學(xué)生用三角尺上的不同角去測量，會(huì)形成思維的矛盾點(diǎn)和沖擊點(diǎn)：同一個(gè)大角，由于單位小角的不同，導(dǎo)致了對角的大小的描述不同，所以，單位小角還需進(jìn)一步完善，尋找一個(gè)單位小角的標(biāo)準(zhǔn)，那就是360°的角，平均分成360份，每一份所對應(yīng)的就是標(biāo)準(zhǔn)的單位小角1°角。學(xué)生在這樣一步步的思維行進(jìn)過程中認(rèn)識(shí)到，角也像長度一樣，是可以通過單位小角去度量的，基本構(gòu)成是可以和以前的知識(shí)形成共識(shí)的，只是單位基本元是一個(gè)個(gè)1°的小角。教師在順應(yīng)學(xué)生知識(shí)發(fā)展的脈絡(luò)上，撥開了知識(shí)的“洋蔥皮”，尋找到知識(shí)的內(nèi)核，發(fā)掘和利用這些共同點(diǎn)或相似點(diǎn)，在新舊知識(shí)的類比推理中實(shí)現(xiàn)正向遷移，自然生長出對1°角的需求，為知識(shí)關(guān)聯(lián)找到了認(rèn)知通道，凸顯整體關(guān)聯(lián)與結(jié)構(gòu)發(fā)展，組建了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的發(fā)展。

（二）合攏學(xué)生層層“思維殼”，匯通理解核心，拓寬思維廣度

1.順尋思維橫坐標(biāo)——1°角的“有限可加性”

張奠宙教授在談長度測量問題時(shí)曾經(jīng)指出，測量從表面上看是拿刻度尺去量一條線段的長短，其實(shí)，深層次的理解應(yīng)該是給每條線段以合適的數(shù)；這個(gè)數(shù)的指定方法必須滿足“有限可加性”“運(yùn)動(dòng)不變性”和“正則性”這三個(gè)條件。這就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的測度理論。教師在教學(xué)中應(yīng)該用合理的數(shù)學(xué)方式把這套思想方法呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生去經(jīng)歷、去體驗(yàn)，從而把握“量”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

在“量角”的教學(xué)中，有必要讓學(xué)生去經(jīng)歷度量單位的產(chǎn)生，將一個(gè)圓平均分成360份，每1份所對應(yīng)的圓心角的大小就是1°。這就是度量的正則性， 1°角即為度量單位。

量角器的本質(zhì)是“單位小角”的集合，角的度量的本質(zhì)是看被測對象中含有多少個(gè)“單位小角”，這是學(xué)生理解量角的邏輯基礎(chǔ)，累加成10°角、20°角……讓學(xué)生在這個(gè)過程中，感受到角的有限可加、可減性。累加的目的，不僅僅是認(rèn)識(shí)更多度數(shù)，還要明白度量的對象里包含了多少個(gè)度量單位就是多少度。

2.巧織思維縱坐標(biāo)——自制“半圓尺”

第一次使用全新的量角工具——量角器，它跟學(xué)生原來使用的直尺，在長相上完全不一樣，量的起點(diǎn)也是不一樣的，但是，學(xué)生能夠理解量角器其實(shí)是由一個(gè)一個(gè)的1°角密鋪而成的，總共180個(gè)1°角即180°。這個(gè)密鋪的過程跟厘米尺的形成過程有著驚人的相似，厘米尺是1厘米、1厘米……依次疊加，而這個(gè)則是1°角、1°角……依次疊加。繼而引發(fā)討論：這些角都有什么共同的特點(diǎn)？學(xué)生在思考的過程中自然想到：所有這些角的頂點(diǎn)都重合在一個(gè)點(diǎn)上，而這個(gè)點(diǎn)就是量角器的中心點(diǎn)，同時(shí)也是角的頂點(diǎn)，這也為角的頂點(diǎn)與中心點(diǎn)重合找到了思維的根基。這個(gè)自制“半圓尺”，讓學(xué)生的單邊思維顯現(xiàn)出了極佳的狀態(tài)，使學(xué)生只關(guān)注量角器的一圈，去感受量角的方法和技能。整個(gè)量角工具的再創(chuàng)造的過程，織起了學(xué)生思維的縱坐標(biāo)，非常好地建立起量角技能的腳手架。

3.妙聯(lián)思維爆破點(diǎn)——組合“量角器”

學(xué)生技能的掌握需要一步步穩(wěn)穩(wěn)當(dāng)當(dāng)?shù)匦逕?。在技能掌握的過程中，思維的爆破點(diǎn)需要尋找合適的點(diǎn)。在實(shí)際測量中，學(xué)生感受到了單邊一圈量角器的不足和不完美，自然產(chǎn)生了完善量角器的需求，在外圍再反向（從左往右）標(biāo)一圈刻度，讓內(nèi)圈刻度和外圈刻度完美對應(yīng)，這樣，就成了一個(gè)完美的量角器了。在矛盾中，打破學(xué)生原有的思維認(rèn)識(shí)，產(chǎn)生了新的需求，有需求就會(huì)有方法，水到渠成地完成了對量角器原理的體會(huì)，也為他們量角技能的形成添上了順暢的一筆。

二、縱向聯(lián)系——圍繞知識(shí)本質(zhì)的理解，聯(lián)結(jié)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓思維有深刻度

（一）從知識(shí)沖突處實(shí)現(xiàn)思維深化

在長度單位的應(yīng)用教學(xué)中，我們所強(qiáng)調(diào)的“一端要和直尺的0刻度對齊，另一端對著刻度幾就是幾厘米”，事實(shí)上只是度量的一般方法而已，與度量本質(zhì)無關(guān)?；凇皬姆?刻度度量長度”的經(jīng)驗(yàn)，所以，在回憶測量線段長度時(shí)，筆者用的尺子是從6厘米開始的，將學(xué)生度量長度的關(guān)注點(diǎn)聚焦到量的起點(diǎn)不是最重要的，關(guān)鍵點(diǎn)是度量的對象里究竟包含了多少個(gè)度量單位，這才是度量的本質(zhì)。比如，這條線段長6厘米，其實(shí)質(zhì)就是，這條線段的長度里，包含了6個(gè)1厘米這樣的長度單位。那么，在二維空間里，我們可以將量角器和刻度尺進(jìn)行“求同”對比，借助刻度尺去尋找度量的知識(shí)內(nèi)核，出于對度量本質(zhì)的強(qiáng)化，發(fā)現(xiàn)它們都有起點(diǎn)、標(biāo)準(zhǔn)刻度、終點(diǎn)等，讓學(xué)生從知識(shí)最根本的位置去找到度量角的思維生長點(diǎn)。我們度量角，也需要尋找到這樣的“單位角”，并用這個(gè)單位角去度量被測角里包含了多少個(gè)這樣的單位小角，就是多少度。度量是將事物的屬性量化，賦予一個(gè)數(shù)，從而可以在同一維度上比較事物。所以，角的度量就是讓角在同一個(gè)度量體系中都能使任意一個(gè)角與一個(gè)數(shù)值相對應(yīng)，強(qiáng)化了度量的本質(zhì)。這也是符合測度論的基本要義的。

學(xué)生在量角時(shí)總是會(huì)遇到障礙，是因?yàn)樗麄儗τ诹拷瞧鬟@個(gè)工具和角之間的聯(lián)通出現(xiàn)了“溝通信號(hào)障礙”；不明白“角的頂點(diǎn)和量角器的中心重合，一條邊和0度刻度線重合，看另一條邊所對應(yīng)的刻度”這一操作背后的道理。當(dāng)學(xué)生明白了量角就是要看度量的對象里包含了多少個(gè)度量單位，他們就會(huì)清楚地理解，重合的目的就是要在量角器上找到和所要度量的這個(gè)角大小相等的角，這樣就可以得出角的度數(shù)。這是度量的本質(zhì)，也是度量的精華，只有清楚地理解知識(shí)本質(zhì)，才能聯(lián)結(jié)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓思維有深刻度。

（二）從知識(shí)延伸處促進(jìn)思維內(nèi)化

角是一條射線由原來的位置繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到另一位置所形成的。那么，把課上的60°的角的一條射線繞著頂點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，它還是角嗎？如果是，它的大小該怎么度量呢？如此，直擊學(xué)生對角的認(rèn)知，叩問學(xué)生對量角器的使用。這樣的角確實(shí)還是符合角的概念的，所以也是可以度量出它的大小的。那么，它的大小怎么度量？還需要再設(shè)計(jì)一把量角器嗎？將這個(gè)重量級(jí)的問題拋給學(xué)生后，學(xué)生的思維立刻被激活了，圍繞對知識(shí)本質(zhì)的理解，其思維不斷內(nèi)化。這個(gè)角可以從角的概念本身出發(fā)，比180°大，所以可以在180°的基礎(chǔ)上加上多的，也可以用我們身邊的兩把量角器拼起來使用。既然可以拼，那么我們是否可以創(chuàng)造一把360°的量角器呢，直接一步到位，量角做到“兩重一看”。但是，不管是哪種方法，我們都看到了角的度量的本質(zhì)，那就是包含了多少個(gè)1°角，這個(gè)角就是多少度，水到渠成地完成了結(jié)構(gòu)性思維的內(nèi)化，達(dá)到了高階思維的訓(xùn)練力度，甚至還可以將課堂再推向更高的思維深度，那就是：“如果這條邊再繼續(xù)轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到比360°的角都大，你還能知道它的大小嗎？”拋給學(xué)生的將是無窮無盡的思考……但是，歸根結(jié)底，在角的運(yùn)動(dòng)過程中所形成的大小不一的角，都是建立在角的基本概念之上的，度量的本質(zhì)同樣也是沒變的。在溝通、聯(lián)系中組建學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生思維結(jié)構(gòu)層次提升，思維能力有效發(fā)展，也讓學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維更完善。

三、串聯(lián)結(jié)網(wǎng)——著眼知識(shí)整體的形成，擴(kuò)充認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓思維有立體度

“角的度量”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)如汪洋中的一滴水，只有匯入大海，才能體現(xiàn)它的價(jià)值。貨幣的度量中，2個(gè)橘子1元，8個(gè)橘子里有4個(gè)2，也就是4個(gè)1元是4元；面積的度量中，長方形中包含了6個(gè)1平方厘米，它的面積就是6平方厘米；還有長度的度量、時(shí)間的度量、質(zhì)量的度量、容量的度量……將角的度量“嵌入”度量的整體結(jié)構(gòu)中，讓我們感受到在度量的知識(shí)體系中，度量最根本的靈魂，那就是被測物體中包含了多少個(gè)單位，它就是多少。它細(xì)細(xì)深潤，節(jié)節(jié)延伸，由此衍生出相應(yīng)的測量工具。用這個(gè)工具去測被測物體，遵循的也是測度理論。

在結(jié)構(gòu)化的度量知識(shí)體系中，學(xué)生在拾級(jí)而上地學(xué)習(xí)，知識(shí)如砌磚式地往上疊加，有一維空間的長度，有二維空間的面積，有空間的，有時(shí)間的……學(xué)生對度量的認(rèn)知結(jié)構(gòu)越來越擴(kuò)充，串聯(lián)成了網(wǎng)，形成了度量的知識(shí)板塊。這種動(dòng)態(tài)衍生的過程讓學(xué)生的思維更有立體感，達(dá)到了SOLO理論中所提及的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。

同時(shí)，這個(gè)過程，也讓學(xué)生對度量有了更系統(tǒng)、更立體的認(rèn)識(shí)，原來角的度量和長度測量、面積測量等，有著共同的地方。度量，在數(shù)學(xué)上就是一個(gè)個(gè)單位量累積的過程，它們都是由單位標(biāo)準(zhǔn)來測量的?；凇皽y量”背景，將“測量”的本質(zhì)屬性作為知識(shí)結(jié)構(gòu)的脈絡(luò)根基，重組成一個(gè)高階結(jié)構(gòu)，由脈絡(luò)根基將“量”相互牽引，形成一個(gè)統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)，正是這種結(jié)構(gòu)的編織與顯性化，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)技能有進(jìn)階的遷移。隨著學(xué)習(xí)的推進(jìn)，學(xué)生還要學(xué)會(huì)體積的測量，以及別的量的測量。當(dāng)學(xué)生能感悟到測量本質(zhì)時(shí)，那么，對于今后的任何測量，學(xué)生都會(huì)從這里尋找到知識(shí)的根，由根生花，更好地?cái)U(kuò)充認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓思維更立體。

學(xué)習(xí)是為了更好地學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)了一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，將新知納入更為寬廣的背景中，橫向聯(lián)系，多角度建構(gòu)，通過這個(gè)知識(shí)點(diǎn)延伸出一類知識(shí)面的學(xué)習(xí)，在每次學(xué)習(xí)中的單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的線性學(xué)習(xí)收獲都是后續(xù)新知學(xué)習(xí)的脈絡(luò)牽引，認(rèn)清知識(shí)本質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成網(wǎng)狀知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓數(shù)學(xué)知識(shí)呈螺旋上升狀，更是要觸及學(xué)生思維深處，訓(xùn)練學(xué)生的高階思維、深度思維。所以，學(xué)習(xí)知識(shí)按照點(diǎn)→線→面→體的方式，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的知識(shí)、思維和策略進(jìn)行正態(tài)關(guān)聯(lián)和融通，讓學(xué)生感受立體的結(jié)構(gòu)化教學(xué)。結(jié)構(gòu)化教學(xué)立足“類”的建構(gòu)，把握數(shù)學(xué)知識(shí)之間的整體結(jié)構(gòu)，要觀照“聯(lián)”的統(tǒng)整，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)中的元素關(guān)聯(lián)和方法關(guān)聯(lián)，要聚焦“變”的實(shí)施，在變與不變的辨析中理解知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵，主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)，形成結(jié)構(gòu)，繼而培育學(xué)生的結(jié)構(gòu)性思維，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)力生根、發(fā)芽、生長，在不斷積累、層級(jí)進(jìn)階的學(xué)習(xí)活動(dòng)中感悟結(jié)構(gòu)、理解結(jié)構(gòu)、重建結(jié)構(gòu)，經(jīng)歷從量變到質(zhì)變的過程。