基于教材，扎根課堂，發(fā)展學(xué)生的思維能力
——“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”課堂實(shí)錄與反思

馮 剛 (江蘇省奔牛高級(jí)中學(xué) 213131 江蘇省高中數(shù)學(xué)名師工作室 213001)

1 學(xué)情分析

教學(xué)對(duì)象是四星級(jí)高中的高二普通班學(xué)生，基礎(chǔ)知識(shí)、自主學(xué)習(xí)能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力都為中等．

2 教學(xué)內(nèi)容分析

所用教材為人教A版選擇性必修第二冊(cè)[1]，教學(xué)內(nèi)容是“3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)之后，繼續(xù)學(xué)習(xí)的第二種圓錐曲線，也為拋物線的學(xué)習(xí)作鋪墊和方法引導(dǎo)，因此起到了承上啟下的作用．

教學(xué)目標(biāo) (1)經(jīng)歷雙曲線軌跡的探索過(guò)程，體驗(yàn)雙曲線的形狀特征，并歸納其定義；(2)經(jīng)歷雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，并能根據(jù)條件求標(biāo)準(zhǔn)方程，能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題；(3)通過(guò)定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的挖掘與探究，進(jìn)一步體驗(yàn)類比、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想方法的運(yùn)用，提高觀察、歸納、探究等能力．

教學(xué)重點(diǎn) 理解和掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程．

教學(xué)難點(diǎn) 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及變形化簡(jiǎn)的等價(jià)性問(wèn)題．

3 過(guò)程實(shí)錄

3.1 師生共同探究

在直線l上取兩個(gè)定點(diǎn)A，B，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)．在平面內(nèi)，取兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2，以點(diǎn)F1為圓心、線段PA為半徑作圓，以點(diǎn)F2為圓心、線段PB為半徑作圓．

·探究1 當(dāng)F1F2

師：(讓學(xué)生自己閱讀前提和探究問(wèn)題，但是反應(yīng)不明顯，教師給出提示)我們來(lái)分析一下這個(gè)問(wèn)題，交點(diǎn)M是需要研究的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1,F2是兩個(gè)定點(diǎn)，結(jié)合前面所學(xué)的知識(shí)，你能猜想交點(diǎn)M的軌跡嗎？

圖1

生1：我猜想是橢圓．

師：橢圓定義中的確涉及“動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離”，那這里是不是橢圓呢？

生2：我發(fā)現(xiàn)MF1+MF2是一個(gè)定值，這個(gè)和等于PA+PB=AB，而且AB是一個(gè)常數(shù)．

師：非常棒！但你再想想滿足剛才的條件就能說(shuō)交點(diǎn)M的軌跡是橢圓了嗎？

生3：還要滿足定值A(chǔ)B>F1F2．

師：這樣根據(jù)橢圓的定義就可以說(shuō)明交點(diǎn)M的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓(教師用GeoGebra動(dòng)態(tài)演示，如圖1)．再看第(2)問(wèn)．

生4：點(diǎn)P在線段AB外運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩圓半徑差的絕對(duì)值為AB，大于圓心距F1F2，所以兩圓是內(nèi)含關(guān)系，沒(méi)有交點(diǎn)．

·探究2 當(dāng)F1F2>AB時(shí)，(1)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在交點(diǎn)軌跡嗎？(2)點(diǎn)P在線段AB外運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩圓交點(diǎn)的軌跡是什么？

生5：點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩圓半徑和為AB，小于圓心距F1F2，所以兩圓是外離關(guān)系，沒(méi)有交點(diǎn)．

師：(第(2)問(wèn)學(xué)生不會(huì)處理，教師用GeoGebra(下稱GGB)動(dòng)態(tài)展示，如圖2)交點(diǎn)M的軌跡是雙曲線．而且當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，交點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的右支，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，交點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的左支．兩支合起來(lái)叫做雙曲線．

圖2

師：生活中的雙曲線也很常見(jiàn)，如電廠冷卻塔、花瓶、法拉利主題公園的外輪廓線都用到了美麗的雙曲線．本節(jié)課我們的研究對(duì)象就是雙曲線．

3.2 建構(gòu)數(shù)學(xué)

·研究曲線的一般過(guò)程

師：請(qǐng)回憶解析幾何中研究曲線的一般過(guò)程．

生6：先探求曲線的定義，然后根據(jù)定義推導(dǎo)曲線的方程，再根據(jù)方程研究曲線的幾何性質(zhì)．

師：這里體現(xiàn)了解析幾何的基本思想，利用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題．

·雙曲線的定義

師：你能借助探究2中的第(2)問(wèn)給雙曲線下個(gè)定義嗎？

生7：MF1-MF2是定值，等于PA-PB=AB，且AB是一個(gè)常數(shù)．

生8：這只是動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線的右支滿足的條件，動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線的左支時(shí)，應(yīng)該是MF2-MF1=PB-PA=AB，且AB是一個(gè)常數(shù)．

生9：還要滿足AB

師：大家說(shuō)得非常好．總的來(lái)說(shuō)，雙曲線的定義是“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線”．兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距．

師：若設(shè)定義中的非零常數(shù)為2a(a>0)，則雙曲線用集合的語(yǔ)言可以怎么表示？

生10：P={M||MF1-MF2|=2a,0<2a

·雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

師：你能類比求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程，求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？

生11：“建設(shè)限代化”：第一步要建系，第二步設(shè)點(diǎn)，第三步列限制條件，第四步代入坐標(biāo)，第五步化簡(jiǎn)．

師：很熟練，具體怎么操作？

師：大家動(dòng)動(dòng)手，試試看能化簡(jiǎn)嗎？

(教師將大部分學(xué)生的兩種化簡(jiǎn)方案投屏)

師：上述過(guò)程嚴(yán)密嗎？

生13：兩次平方，可能會(huì)擴(kuò)大范圍，導(dǎo)致變形不等價(jià)．不過(guò)第一次對(duì)方程①的平方是等價(jià)的，因?yàn)榉匠挞俚淖笥覂蛇叾际钦龜?shù)．第二次對(duì)方程②平方就不知道了．

師：方程②主要是左邊式子不知道正負(fù)，那只要知道x2或y2的范圍就可以了，哪里可以求出它們的范圍呢？

師：分類平方的確解決了方程①兩邊平方的變形等價(jià)性問(wèn)題，但方程②左邊不知道正負(fù)啊？

師：推導(dǎo)雙曲線左支方程還有其他方法嗎？

生16：左支的方程①可以在右支的方程①中“用-x代換x”得到．

生17：可以根據(jù)雙曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，只需在④式中用-x代換x．

師：那焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線呢？

師：根據(jù)雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程，如何判斷焦點(diǎn)的位置？

生20：當(dāng)x2系數(shù)為正數(shù)時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)y2系數(shù)為正數(shù)時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上．

3.3 典型例題講解

例1已知雙曲線的焦點(diǎn)F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(解答過(guò)程略)

師：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，需要關(guān)注什么？

生21：先定位，再定量．

例2已知A,B兩地相距800 m，在A地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s，且聲速為340 m/s，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程．(解答過(guò)程略)

師：本題讓我們?cè)鰪?qiáng)了軌跡思想．再思考一下如何準(zhǔn)確確定點(diǎn)P的位置？

生22：可以再增加一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，利用B,C或A,C測(cè)得的時(shí)間差，求出另一個(gè)雙曲線的方程，然后兩方程聯(lián)立方程組，即可求得點(diǎn)P的位置．

3.4 課堂小結(jié)(略)

4 三個(gè)版本教材中重難點(diǎn)處理方式的比較與分析

備課時(shí)，參考了三個(gè)版本的教科書(shū)，除了人教A版外，還有人教B版[2]以及新蘇教版[3]．

4.1 雙曲線情境引入方面

新蘇教版從“拉鏈試驗(yàn)”引入；人教B版從“聲音時(shí)差測(cè)定位”實(shí)際問(wèn)題再結(jié)合“拉鏈試驗(yàn)”引入；人教A版是利用GGB工具綜合橢圓和雙曲線的定義對(duì)比引入．

新蘇教版從日常生活問(wèn)題引入，直觀且可操作性強(qiáng)，提升了學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力，但說(shuō)明不夠清晰.比如，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中對(duì)“兩線段差為定值”的感受性較差，再如實(shí)際操作時(shí)，學(xué)生根本畫(huà)不出完整的一支雙曲線，需要教師“強(qiáng)行補(bǔ)畫(huà)”，很是牽強(qiáng)，或者教師會(huì)播放拉鏈視頻，硬是將“學(xué)生的真感受”變成了“虛假的視頻學(xué)習(xí)”．這些地方都是需要師生在教與學(xué)中共同思考和加工．建議類比橢圓的引入，仍然用一根定長(zhǎng)細(xì)繩，加上一個(gè)可動(dòng)的閉合器，實(shí)際操作時(shí)就可以實(shí)現(xiàn)畫(huà)出完整的曲線．先將這根細(xì)繩折成等長(zhǎng)兩段，將其中一部分剪掉一段，這樣學(xué)生對(duì)“兩線段差為定值”的感受性就會(huì)很強(qiáng)，就是剪掉的那一部分(事實(shí)上，人教B版中就明確提出“將拉鏈截去一部分”)．然后將兩端點(diǎn)固定在畫(huà)板上的兩定點(diǎn)，再讓學(xué)生把筆尖靠著可動(dòng)閉合器，畫(huà)出拉開(kāi)或閉合時(shí)的軌跡曲線．

人教B版中的“聲音時(shí)差測(cè)定位”問(wèn)題雖然是雙曲線的典型應(yīng)用，但閱讀量大，對(duì)學(xué)生的抽象能力要求太高，作為情境缺失了“淺顯性”，不利于提升學(xué)生對(duì)新知的探究欲望．而這個(gè)問(wèn)題結(jié)束后，又讓學(xué)生做“拉鏈試驗(yàn)”，顯得有點(diǎn)累贅了．

人教A版利用GGB工具綜合橢圓和雙曲線的定義對(duì)比引入的這種方式，樸實(shí)而不浮夸，不特意去尋找效果不明顯和晦澀難懂的實(shí)例，而是從學(xué)生熟知的橢圓定義這個(gè)最近發(fā)展區(qū)入手，類比研究，對(duì)比分析，利用GGB作出的雙曲線美觀嚴(yán)謹(jǐn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔與美．而且在明確提出F1F2>AB的前提下，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)“兩線段差就是定值”即線段AB的長(zhǎng)度．因此，這樣的情境既有助于概念的產(chǎn)生，又有助于學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解．

4.2 推導(dǎo)方程難點(diǎn)處理方面

人教A版是先去掉絕對(duì)值符號(hào)化為兩根式差為±2a，然后類比橢圓方程的推導(dǎo)，將兩個(gè)根式移到等式兩邊，最后平方；新蘇教版沒(méi)有具體說(shuō)明如何處理絕對(duì)值和兩個(gè)根式，直接就化簡(jiǎn)到最后第二步；人教B版是先去掉絕對(duì)值化為兩根式差為±2a，然后對(duì)兩根式進(jìn)行“有理化”處理，轉(zhuǎn)化為兩根式的和，再聯(lián)立兩根式差的式子求解．

人教A版在定義式的化簡(jiǎn)處理上給定了討論的方法，這樣束縛了師生的“手腳”，導(dǎo)致思維缺乏發(fā)散性．人教B版給出了“有理化”處理根式的方法，再結(jié)合解方程組思想進(jìn)行化簡(jiǎn)，思路清晰，方法明確，但這個(gè)方法學(xué)生不容易想到，沒(méi)有尊重學(xué)生對(duì)絕對(duì)值處理的第一思維.新蘇教版對(duì)于絕對(duì)值的處理沒(méi)有指明化簡(jiǎn)的方向，教與學(xué)施展的空間非常大．事實(shí)上，多數(shù)學(xué)生在課上的第一想法是“直接平方”，這種方法并不比“討論去絕對(duì)值之后再平方”的方法計(jì)算量大，甚至在“平方變形的等價(jià)性”問(wèn)題處理上可以利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程彌補(bǔ)，而且“直接平方”的彌補(bǔ)過(guò)程也比“討論去絕對(duì)值之后再平方”少．因此，在教材難點(diǎn)問(wèn)題處，少一些限定，多一些空間，才能給師生的思維留足余地，讓思維深入化、高階化，才能逐步提升學(xué)生的關(guān)鍵能力，同時(shí)，這樣的“大空間思維模式”教學(xué)也能培養(yǎng)出心胸寬廣的人．

5 教學(xué)感悟

5.1 做負(fù)責(zé)任的教師

陳大偉認(rèn)為[4]：隨時(shí)對(duì)教學(xué)行為背后的教育假設(shè)提問(wèn)，能夠清晰地表達(dá)教育假設(shè)的教師，是對(duì)教育假設(shè)有過(guò)思考，對(duì)教育有過(guò)研究的教師，這樣的教師是負(fù)責(zé)任的教師．本節(jié)課在引入部分，開(kāi)課教師預(yù)設(shè)到如果先進(jìn)行橢圓定義的回顧以及橢圓研究步驟的歸納，學(xué)生對(duì)雙曲線的研究會(huì)更自然一些．開(kāi)課教師也預(yù)設(shè)到了按人教A版引入對(duì)學(xué)生要求偏高，可能不利于課堂“熱鬧”氛圍的形成．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)．提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展．”[5]讓學(xué)生自己閱讀、自己分析，再到合作討論解決情境問(wèn)題，有利于提升學(xué)生的閱讀理解能力、數(shù)學(xué)抽象能力．不是因?yàn)閷W(xué)生暫時(shí)能力不夠，就選擇“低層次弱思維”的情境問(wèn)題，而是只有在“跳一跳夠得到”的問(wèn)題中，學(xué)生不斷地自主分析、自我或合作解決問(wèn)題，才能逐步提升核心素養(yǎng)．

5.2 做個(gè)具有較高教學(xué)實(shí)踐水平的教師

如果一個(gè)教師將基于某些假設(shè)的教學(xué)設(shè)計(jì)用于實(shí)踐，能被教學(xué)實(shí)踐證明其假設(shè)具有合理性和有效性，這樣的教師對(duì)教育有比較深刻的認(rèn)識(shí)和理解，就是具有較高教學(xué)實(shí)踐水平的教師[4]．在推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程的難點(diǎn)處理上，開(kāi)課教師也預(yù)設(shè)到如果放手讓學(xué)生去嘗試，可能導(dǎo)致一節(jié)課教學(xué)內(nèi)容完不成，但如果一味地教師引導(dǎo)，會(huì)讓學(xué)生感覺(jué)一節(jié)課下來(lái)思維能力并沒(méi)有得到增長(zhǎng)，長(zhǎng)期以往可能會(huì)導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生“躺平”心態(tài)．所以開(kāi)課教師堅(jiān)持“先讓學(xué)生嘗試，然后投屏，師生邊看邊思、邊優(yōu)化”的方式．事實(shí)上，這節(jié)課下來(lái)，不僅推導(dǎo)過(guò)程被投屏的這幾位學(xué)生增強(qiáng)了自信，其他推導(dǎo)過(guò)程一致的學(xué)生也很有信心，就算沒(méi)完成的學(xué)生也會(huì)在下一節(jié)課的問(wèn)題中躍躍欲試．所以優(yōu)秀的課堂需要把機(jī)會(huì)留給學(xué)生，把舞臺(tái)留給學(xué)生．

5.3 讓教師生活成為一種研究性的生活

陳大偉認(rèn)為[4]：教學(xué)之前有假設(shè)、教學(xué)中和教學(xué)后能不斷反思和調(diào)整假設(shè)，不斷提升假設(shè)水平的教師是不斷成長(zhǎng)和進(jìn)步的教師，其教師生活是一種研究性的生活．吳康寧認(rèn)為信息技術(shù)“進(jìn)入”教學(xué)的最高類型是“融入”，旨在“創(chuàng)構(gòu)”，包括：教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)方式的改造或重構(gòu)，學(xué)習(xí)資源獲取方式的改造或重構(gòu)……所有這些改造或重構(gòu)，都是整個(gè)教學(xué)系統(tǒng)改造或重構(gòu)的有機(jī)組成部分，目的都在于形成一種全新教學(xué)時(shí)空，最大限度地聯(lián)結(jié)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，最大限度地激發(fā)學(xué)生的興趣，最大限度地挖掘?qū)W生的潛能，最大限度地引發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造，最大限度地促使學(xué)生作為一個(gè)完整的人去完整地感知盡可能完整的世界．[6]開(kāi)課教師反思到如果橢圓定義這節(jié)課中教師能當(dāng)場(chǎng)做GGB演示，那雙曲線的定義就可以讓學(xué)生參與進(jìn)來(lái)，讓學(xué)生自己做．這會(huì)讓學(xué)生終生難忘，這種課才是最難能可貴的．課堂小結(jié)可以賦予自我評(píng)價(jià)的功能，從學(xué)生需求出發(fā)，改變以往課堂小結(jié)以教師為主體的一言堂形式，使其變革為在教師指導(dǎo)下的以學(xué)生為主體的課堂自主小結(jié)．[7]因此在小結(jié)方面，要以人為本，要給學(xué)生展示的機(jī)會(huì)，PPT上只需要有“小結(jié)”兩個(gè)字，讓學(xué)生歸納并提出問(wèn)題．通過(guò)一堂又一堂課的自主小結(jié)，逐漸培養(yǎng)學(xué)生自我評(píng)價(jià)的習(xí)慣和能力，滿足學(xué)生自我實(shí)現(xiàn)的需求，樹(shù)立學(xué)習(xí)自信心．