關(guān)于“相交線”教學(xué)的幾點(diǎn)建議

駱建華

(江蘇省如皋市白蒲鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)，江蘇如皋，226511)

“相交線”一節(jié)主要研究的是兩條直線相交所形成的四個(gè)角的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.它是角的認(rèn)知的進(jìn)一步拓展，又是后面研究垂線、平行線、三角形、平行四邊形等幾何圖形的基礎(chǔ)，在教材中處于幾何教學(xué)承上啟下的重要節(jié)點(diǎn)上.因此，落實(shí)好這節(jié)課的教學(xué)，對(duì)學(xué)生的學(xué)段幾何認(rèn)知影響巨大.通過(guò)多年“相交線”教學(xué)過(guò)程的梳理，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在認(rèn)識(shí)“相交線”時(shí)，務(wù)必強(qiáng)化以下四方面的學(xué)習(xí).

1 體會(huì)定義的雙重性

我們知道，初中階段的很多數(shù)學(xué)定義都具有“雙重性”——既是概念的判定方法，也是新概念的性質(zhì).如“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”，既可以依據(jù)“兩組對(duì)邊分別平行”來(lái)判定某個(gè)四邊形是否為平行四邊形，也可根據(jù)“某一四邊形為平行四邊形”得出“該四邊形兩組對(duì)邊分別平行”的性質(zhì).對(duì)定義雙重性的認(rèn)識(shí)是學(xué)生進(jìn)入初中后才開(kāi)始的.而在“相交線”之前，教材少有涉及，“相交線”之后，則會(huì)大量涌現(xiàn).所以這一節(jié)，我們應(yīng)借助對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的定義教學(xué)，使學(xué)生明白數(shù)學(xué)定義的“雙重性”.

如教學(xué)對(duì)頂角時(shí)，我們應(yīng)結(jié)合定義讓學(xué)生明白，兩邊互為反向延長(zhǎng)線的角叫做對(duì)頂角，還要讓他們知道“對(duì)頂角的兩邊互為反向延線”.前者是用來(lái)判斷兩角是否為對(duì)頂角的(即對(duì)頂角的判定)，而后者則是對(duì)頂角所具有特征(也就是對(duì)頂角的性質(zhì)).再如教學(xué)鄰補(bǔ)角的定義時(shí)，我們不僅要讓學(xué)生知道“具有一條公共邊，且另一邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角”，還要讓他們知道“兩個(gè)鄰補(bǔ)角的邊一條是公共邊，另一條互為反向延長(zhǎng)線”.

這樣的定義教學(xué)，不僅能讓學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角，知道其所具有的位置特征，還能讓他們積累數(shù)學(xué)定義學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)定義所具有的性質(zhì)、判定的“雙重性”有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，為以后其他數(shù)學(xué)定義的學(xué)習(xí)做鋪墊.

2 明晰幾何的研究?jī)?nèi)容

在人教版七年級(jí)上冊(cè)《數(shù)學(xué)》中，第四章引言中明確：幾何是研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的一門(mén)學(xué)科.簡(jiǎn)而言之，我們幾何學(xué)習(xí)要研究的是幾何圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，這個(gè)“簡(jiǎn)而言之”是筆者在內(nèi)的眾多一線教師的理解.在第四章《幾何圖形初步》中，雖然對(duì)此學(xué)生已有所了解，但并沒(méi)有完整的認(rèn)知.教師應(yīng)教的便是讓學(xué)生明晰以下內(nèi)容：線段的中點(diǎn)、角平分線等的認(rèn)知，更多是從數(shù)量上的深度探索，而到了鄰補(bǔ)角時(shí)，名稱中就會(huì)有了位置和數(shù)量?jī)煞N關(guān)系.鄰，位置；補(bǔ)，數(shù)量.位置與數(shù)量較好地融到了“鄰補(bǔ)角”的名稱之中，而對(duì)頂角的教學(xué)，首先從形的角度給出了定義，定義中明確了兩角的位置關(guān)系，隨后利用“同角的補(bǔ)角相等”得到的“對(duì)頂角相等”，明確了對(duì)頂角的數(shù)量關(guān)系.在同一節(jié)課對(duì)兩個(gè)相關(guān)數(shù)學(xué)概念的探求都是從幾何研究的核心內(nèi)容出發(fā)，這給予了我們讓學(xué)生深刻認(rèn)知幾何學(xué)習(xí)內(nèi)容的絕佳契機(jī).課上，我們應(yīng)抓住鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的教學(xué)契機(jī)，在其定義與性質(zhì)的深挖中，明晰幾何研究的主要內(nèi)容.

如，教學(xué)鄰補(bǔ)角時(shí)，我們要引導(dǎo)學(xué)生從圖1中發(fā)現(xiàn)∠AOC與∠AOD的位置特征：共OA邊，∠AOC的邊OC與∠AOD的邊OD互為反向延長(zhǎng)線.這就是兩個(gè)角所具有的“鄰”的位置關(guān)系.再通過(guò)平角的定義，使學(xué)生知道∠AOD+∠AOC=180°，這是兩個(gè)角“補(bǔ)”的數(shù)量關(guān)系.對(duì)幾何圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的明確還不能僅局限于鄰補(bǔ)角.在接下來(lái)的對(duì)頂角學(xué)習(xí)中，得出對(duì)頂角定義后，我們應(yīng)追問(wèn)：從位置特征上，我們知道了∠AOC和∠BOD這對(duì)對(duì)頂角的關(guān)系，那么，根據(jù)研究鄰補(bǔ)角的經(jīng)驗(yàn)，我們還會(huì)研究這兩個(gè)角的什么關(guān)系？在完成兩個(gè)概念學(xué)習(xí)后，我們更要進(jìn)一步明確：研究幾何圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，是我們這一學(xué)段幾何學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容.

圖1

3 掌握概念(定理)的三種表示形式

初中階段，學(xué)生獲取的數(shù)學(xué)概念、定義定理及其它重要結(jié)論的呈現(xiàn)方式是多樣的.其中，不少幾何概念(定理)或幾何問(wèn)題會(huì)采取三種呈現(xiàn)形式：文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言對(duì)于幾何這個(gè)領(lǐng)域，這三種不同的呈現(xiàn)方式是學(xué)生理解幾何圖形，并用好幾何圖形的定義、性質(zhì)和判定方法解決問(wèn)題的重要抓手.所以，幾何教學(xué)中，我們要特別重視用三種不同形式的語(yǔ)言描述同一幾何圖形及其相關(guān)結(jié)論的教學(xué).

以“相交線”為例，呈現(xiàn)鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角不僅要給定圖這樣的圖形語(yǔ)言，還要呈現(xiàn)諸如“一邊為公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角為鄰補(bǔ)角”(文字語(yǔ)言)的鄰補(bǔ)角定義描述，及“∠AOC與∠BOC互為鄰補(bǔ)角，∠AOC+∠BOC=180°”(符號(hào)語(yǔ)言)的鄰補(bǔ)角性質(zhì)描述.類(lèi)似地，關(guān)于對(duì)頂角，我們也應(yīng)有與鄰補(bǔ)角的這種類(lèi)似表述方法：“兩邊互為反向延長(zhǎng)線的角叫做對(duì)頂角”，“如圖1，∠AOC與∠BOD互為對(duì)頂角，則∠AOC=∠BOD”(符號(hào)語(yǔ)言).如此教學(xué)，在這樣幾何開(kāi)端課堂上，學(xué)生就學(xué)會(huì)用不同的方式表述同一幾何圖形的重要結(jié)論，為后續(xù)幾何學(xué)習(xí)積累下寶貴的經(jīng)驗(yàn).

4 養(yǎng)成多角度認(rèn)識(shí)幾何圖形的習(xí)慣

幾何教學(xué)中，同一幅幾何圖形在不同的時(shí)段，學(xué)生會(huì)獲得不同結(jié)論.因而，幾何圖形教學(xué)應(yīng)因時(shí)因地而異.對(duì)一幅幾何圖形中可能蘊(yùn)藏的結(jié)論的挖掘，會(huì)在不同的教學(xué)時(shí)點(diǎn)上從不同的角度挖掘出不同的深度.當(dāng)一個(gè)新的圖形出現(xiàn)時(shí)，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度分析圖形，為當(dāng)下能得到的和未來(lái)可能生長(zhǎng)出的結(jié)論埋下生長(zhǎng)點(diǎn)，這樣不僅保證幾何圖形認(rèn)知的延續(xù)性，還培養(yǎng)了學(xué)生從多角度認(rèn)識(shí)幾何圖形的習(xí)慣.

在“相交線”教學(xué)中，我們就應(yīng)讓學(xué)生逐步形成從不同角度認(rèn)識(shí)同一幾何圖形的習(xí)慣，以圖1為例，圖中出現(xiàn)了“兩線、四角”，除了常見(jiàn)的平角外，還出現(xiàn)了相“鄰”的兩角和相“對(duì)”的兩角，一角兩鄰角、兩角共兩鄰角等圖形位置.這些角的新“格局”，給學(xué)生認(rèn)識(shí)線的位置關(guān)系帶來(lái)了很多可能.因而，認(rèn)識(shí)圖1所示的“兩線四角”的角度也就要變成多維.這樣我們既可以研究相鄰或相對(duì)的兩角的關(guān)系，也可以研究三個(gè)角甚至四個(gè)角之間的關(guān)系.另外在圖形呈現(xiàn)出來(lái)后，絕不應(yīng)直奔鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角而去，必要的提問(wèn)“面對(duì)圖1，你覺(jué)得我們會(huì)研究哪些角之間的關(guān)系”還是不可缺少的.學(xué)生給出∠AOC與∠BOC,∠AOC與∠BOD等兩角關(guān)系的作答固然可喜，但給出“∠AOC、∠BOC、∠COD三角關(guān)系”的作答則更為可貴.這是學(xué)生多角度認(rèn)識(shí)同一幾何圖形的開(kāi)始，是積累豐富的幾何圖形學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的開(kāi)端，在后續(xù)學(xué)習(xí)中，只要我們持之以恒地多問(wèn)幾個(gè)“圖中還有哪些數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系值得探索”“除了本節(jié)認(rèn)知的性質(zhì)或判定方法外，圖形中還有其他的性質(zhì)(判定方法)嗎”之類(lèi)的問(wèn)題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)散探索，同時(shí)也學(xué)會(huì)聚焦認(rèn)知幾何圖形.

作為幾何圖形位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系深度探索的開(kāi)端課堂，在知識(shí)教學(xué)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)知幾何圖形的習(xí)慣，盡可能讓學(xué)生體會(huì)到幾何圖形學(xué)習(xí)的基本套路應(yīng)為最重要也是最核心的內(nèi)容.“相交線”是學(xué)生認(rèn)知從線到角的全面啟動(dòng)，我們有必要為學(xué)生今后的幾何學(xué)習(xí)謀求一個(gè)有深度的開(kāi)局.

本文呈現(xiàn)了“相交線”教學(xué)的幾個(gè)重要方面，僅為個(gè)人的粗淺認(rèn)識(shí)，權(quán)當(dāng)引玉之磚，供各位同行專(zhuān)家參考.