淺論函數(shù)奇偶性的判斷方法

335500 江西省萬年縣萬年中學(xué) 徐 廣

335500 江西省萬年縣萬年一中 李 敏

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)，也是高考的重點與熱點，更是廣大高中生的易錯點．學(xué)好函數(shù)的奇偶性一直是廣大高中生的訴求，要掌握好函數(shù)奇偶性的判斷方法，可以從以下三個方面入手．

一、 關(guān)于函數(shù)奇偶性的定義

北師大版高中數(shù)學(xué)教材中關(guān)于函數(shù)奇偶性的定義簡述如下.

設(shè)函數(shù)y=f(x)，x∈I，且對任意x∈I，恒有-x∈I(即定義域要關(guān)于原點對稱)，(1)若f(-x)=-f(x)，則稱y=f(x)為奇函數(shù)；(2)若f(-x)=f(x)，則稱y=f(x)為偶函數(shù)．

上述定義從理論上說明，定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個前提．相當(dāng)一部分學(xué)生常常忽視所給函數(shù)的定義域，直接用函數(shù)奇偶性的判別式確定其奇偶性，很容易得出錯誤的結(jié)論．

錯解：由題意可得F(x)=x2，從而有F(-x)=F(x)，所以y=F(x)為偶函數(shù)．

評析：上述解答沒有求出函數(shù)的定義域，忽視了判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱．

正解：因為y=F(x)的定義域為(-∞,1)∪(1,+∞)，不關(guān)于原點對稱，所以y=F(x) 不具有奇偶性．

因此，教師在講授新課時，一定要強調(diào)定義域關(guān)于原點對稱的重要性與先決性．

評析：上述解法沒有考慮0是否屬于f(x)的定義域，而是默認f(x)在x=0處有定義．

解析：注意到函數(shù)的定義域要關(guān)于原點對稱，已知x≠-2且x≠a，所以要保證定義域?qū)ΨQ，則a=2，這是f(x)為奇函數(shù)的必要條件，經(jīng)驗證，符合題意．

二、 函數(shù)奇偶性的四則運算合成

在掌握了初等函數(shù)的奇偶性后，對于給定的復(fù)雜函數(shù)的奇偶性，往往不需要直接用定義方法來證明或判斷，而是用合成方法處理．

設(shè)在公共定義域內(nèi)，函數(shù)f(x)和f0(x)為奇函數(shù)，而g(x)與g0(x)為偶函數(shù)，k，c為常數(shù)，則有如下結(jié)論.

(1)當(dāng)k≠0時，y=kf(x)為奇函數(shù)，y=kg(x)為偶函數(shù)．特別地，當(dāng)k=0時，y=kf(x)和y=kg(x)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)．

(2)當(dāng)c≠0時，y=f(x)+c不是奇函數(shù),y=g(x)+c為偶函數(shù)．

(3)y=f(x)±f0(x)為奇函數(shù)，y=g(x)±g0(x)為偶函數(shù)．

(5)y=f(x)f0(x)為偶函數(shù)，y=g(x)g0(x)為偶函數(shù)．

(6)y=f(x)g(x)為奇函數(shù)．

(7)設(shè)h(x)=kf(x)+cg(x)(其中f(x)不為偶函數(shù)，g(x)不為奇函數(shù)),若h(x)為奇函數(shù)，則c=0；若h(x)為偶函數(shù)，則k=0.

例4判斷下列函數(shù)的奇偶性．

例5設(shè)F(x)=x3+(t-1)x2為R上的奇函數(shù)，求實數(shù)t的值．

解：由題意可得t-1=0，即t=1．

這里可以直接省去用F(-1)=-F(1)計算得出結(jié)果，或者由計算稍微復(fù)雜的F(-x)+F(x)=0推導(dǎo)得到結(jié)果．

分析：因為f(x)在x=0處有定義，所以f(0)=0，可得a=1，所以分子為x，是奇函數(shù)，而f(x)為奇函數(shù)，所以分母x4+bx+1必須為偶函數(shù)，即有b=0．

這里主要應(yīng)用了函數(shù)y=0既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)的性質(zhì)，在判斷加減復(fù)合的過程中，將“雜項”變換為常數(shù)0，消除它的影響．

三、 復(fù)合函數(shù)的奇偶性

對于復(fù)合函數(shù)的奇偶性，也可以用復(fù)合法則進行判斷．

設(shè)函數(shù)y=f(t)與t=g(x)分別為復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的外層函數(shù)(簡稱外函數(shù))和內(nèi)層函數(shù)(簡稱內(nèi)函數(shù))，則y=f[g(x)]的奇偶性如表1所示.

表1

由奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)，可知奇函數(shù)中自變量帶有負號可以向外提出，而偶函數(shù)自變量中的負號不能向外提出，即可內(nèi)消．

因此，可以歸納出判斷復(fù)合函數(shù)奇偶性的方法.首先，判斷定義域是否關(guān)于原點對稱；其次，不論是幾層復(fù)合函數(shù)，一旦有一層為偶函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)為偶函數(shù)，否則為奇函數(shù)．

例7判斷下列函數(shù)的奇偶性．

(1)f(x)=sin(x3-x)；(2)g(x)=cos(x3+x)；(3)h(x)=|tanx|．

這種方法方便學(xué)生在審題時確定函數(shù)的奇偶性，但在處理具體問題時，一定要確認其定義域關(guān)于原點的對稱性．

四、 函數(shù)的局部奇偶性

對于奇(偶)函數(shù)平移后得到的新函數(shù)，在此將其稱為具有局部奇偶性函數(shù)，常用分離方法處理這類問題．

例8設(shè)函數(shù)f(x)=asinx-bx3+1，且f(3)=5，求f(-3)的值．

分析：對于函數(shù)f(x)=asinx-bx3+1，其中asinx-bx3為奇函數(shù)，y=f(x)的圖像可由g(x)=asinx-bx3的圖像向上平移1個單位得到．要求f(-3)，關(guān)鍵要求出g(-3)的值，而g(-3)=-g(3)．顯然，g(3)=f(3)-1．

解：設(shè)g(x)=asinx-bx3，則f(x)=g(x)+1，所以f(3)=g(3)+1=5．

從而，g(3)=4，g(-3)=-g(3)=-4，則f(-3)=g(-3)+1=-3．

綜上可知，要熟練掌握函數(shù)的奇偶性，不但要深刻理解奇偶性的定義，而且要能領(lǐng)會奇偶函數(shù)的本質(zhì)特征．