課本題：開展數(shù)學(xué)探究活動的切入點
——以蘇教版教材《數(shù)列》一道習(xí)題為例*

徐愛勇 (江蘇省江浦高級中學(xué) 211800)

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是讓學(xué)生進行“再創(chuàng)造”.即數(shù)學(xué)知識應(yīng)由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造，教師的任務(wù)是幫助和引導(dǎo)學(xué)生進行“再創(chuàng)造”工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生，這與新課程所倡導(dǎo)的探究活動的理念是一致的.課本是學(xué)生學(xué)習(xí)的最重要的課程資源，其中的閱讀、思考、探究、例習(xí)題等都是編者從學(xué)科整體的角度出發(fā)，經(jīng)過精心挑選編寫出來的，符合學(xué)生的認知特征，是開展數(shù)學(xué)探究活動的極好素材.

如《普通高中教科書·數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》(蘇教版)第四章《數(shù)列》第3節(jié)習(xí)題4.3第13題，筆者以此作為開展數(shù)學(xué)探究活動的切入點，嘗試從“由已知到已知”“由已知到未知”“由未知到已知”“由未知到未知”等四個方面開展探究，從而達到對“數(shù)列求和”的深度學(xué)習(xí)，努力構(gòu)建“課堂上如何開展數(shù)學(xué)探究活動”的操作范式，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.現(xiàn)將筆者的教學(xué)實踐過程整理出來，以期拋磚引玉.

問題

(蘇教版選擇性必修第一冊第156頁習(xí)題4.3第13題)求和：

S

=1+2

x

+3

x

+…+

nx

-1.

1 由已知到已知

數(shù)學(xué)探究活動最原始的形式是“由已知到已知”.所謂“由已知到已知”，是指探究的結(jié)果或方法可以直接從已有的結(jié)果或方法中得到，最常見的手段就是模仿或類比.

師：我們曾著重研究過等比數(shù)列相關(guān)問題，同學(xué)們還記得等比數(shù)列的求和公式是如何推導(dǎo)出來的嗎？

生1(學(xué)生回答，教師板演)：利用“錯位相減法”求和！

設(shè)

S

=

a

+

a

q

+

a

q

+…+

a

q

-1①，則

qS

=

a

q

+

a

q

+

a

q

+…+

a

q

②，由①-②，得(1-

q

)

S

=

a

-

a

q

,則當(dāng)

q

≠1時，當(dāng)

q

=1時，

S

=

na

.

師：很好！再想一想，如何解這道題呢？

生2(板演)：當(dāng)

x

=0時，

S

=1；當(dāng)

x

=1時，當(dāng)

x

≠1時，

S

=1+2

x

+3

x

+…+

nx

-1①,

xS

=

x

+2

x

+3

x

+…+

nx

②，由①-②，得(1-

x

)

S

=1+

x

+

x

+…+

x

-1-

nx

，即

師：能談?wù)勀闶窃趺聪氲降膯幔?/p>

生2(在教師的引導(dǎo)下)：當(dāng)一個數(shù)列的每一項都是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項的積時，可以用“錯位相減法”求和.

師：很好！這是一種“由已知到已知”的數(shù)學(xué)探究活動,它是在我們能夠識別數(shù)列通項結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上的解題模仿活動.

2 由已知到未知

通常情況下，在利用“錯位相減法”求解完這道題以后，解題探究活動也隨之結(jié)束了.雖然學(xué)生知道數(shù)列求和還有“分組求和”“裂項相消”等方法，但覺得這些方法在這里壓根就用不上，因此也就不會去思考這一問題.此時就進入了數(shù)學(xué)探究活動的第二層級，即“由已知到未知”.所謂“由已知到未知”是指學(xué)生以往掌握的知識或方法在新的條件下不再有效，或者說探究從原有條件下的“已知”變成了新條件下的“未知”問題.這種情況是數(shù)學(xué)探究活動中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象，面對這種現(xiàn)象往往需要對原有的條件或結(jié)論進行變形、推廣、引申，從而產(chǎn)生新結(jié)論或新方法.從心理學(xué)角度來看，就是通過順應(yīng)將舊知識適當(dāng)改變以后再納入新知識的體系當(dāng)中.

師：我們知道數(shù)列求和有很多方法，例如課本第167頁第11題：求數(shù)列的前

n

項的和，應(yīng)采用什么方法？

生3：用“裂項相消法”求和！

師：“裂項相消法”本質(zhì)是把數(shù)列的通項分解為另一個數(shù)列的相鄰兩項的差，即表示成

a

=

b

-

b

-1(

n

≥2，

n

∈

N

).那么，能否用這種方法來解決這道題呢？

師：不妨先研究這里的特殊情況(課本第156頁第12題)：

求和：

生4(分組討論，學(xué)生板演)：令比較系數(shù)，得

k

=

b

=-2，則生5(分組討論，學(xué)生板演)：令

nx

-1=(

kn

+

b

)

x

-[

k

(

n

-1)+

b

]

x

-1=[

k

(

x

-1)

n

+

k

+(

x

-1)

b

]

x

-1，比較系數(shù)，得因此

師：這是一種典型的從“已知”到“未知”的探究性學(xué)習(xí)活動.我們從運算規(guī)則的層面考察“錯位相減法”與“裂項相消法”之間的關(guān)聯(lián)，其實質(zhì)都是將不規(guī)則的運算轉(zhuǎn)化為規(guī)則的運算.

3 由未知到已知

相比“由已知到已知”和“由已知到未知”，數(shù)學(xué)探究活動中更難的是“由未知到已知”.所謂“由未知到已知”，就是在探究的結(jié)論或方法是學(xué)生先前未知的情況下探究新的知識.由于學(xué)生先前沒有任何這方面的經(jīng)驗或知識積累，這種探究就更困難，同時也更具有挑戰(zhàn)性.遇到這種情況，往往需要通過對知識內(nèi)核進行挖掘探究.本節(jié)課中，學(xué)生通過“錯位相減法”和“裂項相消法”解決本題以后，一般都認為已經(jīng)很完美了，沒有什么內(nèi)容再需要探究了.但如果從數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在本質(zhì)再去挖掘，我們或許還會有新的發(fā)現(xiàn).這種發(fā)現(xiàn)對于學(xué)生來說是先前未知的，因此是一種“由未知到已知”的探究活動.

師：我們對數(shù)列求和的一些方法進行化歸，將不規(guī)則的運算轉(zhuǎn)化為規(guī)則的運算.如果我們能跳出數(shù)列的框架束縛，在所學(xué)的其他知識板塊中，能否聯(lián)想到一些“結(jié)構(gòu)相似點”？

生6(分組討論，學(xué)生板演)：因為所以1+2

x

+3

x

+…+

nx

-1=師：這是一次“由未知到已知”的精彩演繹，通過構(gòu)造函數(shù)

f

(

x

)=

x

，利用導(dǎo)數(shù)來解決數(shù)列求和問題.這樣的解法太富有創(chuàng)造性了!

4 由未知到未知

“由未知到未知”是數(shù)學(xué)探究活動的最高境界.所謂“由未知到未知”，是指學(xué)生在掌握了類比這一探究方法以后，能自覺地尋找探究課題，或?qū)㈩惐确椒☉?yīng)用到自己碰到的新問題、新情境當(dāng)中.比如，本節(jié)課學(xué)習(xí)后，若學(xué)生主動探究以下問題，就達到了“由未知到未知”這一最高境界.

問題1

(蘇教版選擇性必修第一冊第168頁第14題)利用等比數(shù)列的前

n

項和公式證明：

問題2

(蘇教版選擇性必修第一冊第188頁求導(dǎo)公式8)求函數(shù)

f

(

x

)=

x

的導(dǎo)數(shù).

解析

因為

=,

所以

即

f

′(

x

)=

nx

-1(

n

∈

N

).

問題3

(2007年江蘇高考卷第20題)已知{

a

}是等差數(shù)列，{

b

}是公比為

q

的等比數(shù)列，

a

=

b

，

a

=

b

≠

a

，記

S

為數(shù)列{

b

}的前

n

項和.(1)若

b

=

a

(

m

,

k

是大于2的正整數(shù)，求證：

S

-1=(

m

-1)

a

.(2)

b

=

a

(

i

是某一正整數(shù))，求證：

q

是整數(shù)，且數(shù)列{

b

}中每一項都是數(shù)列{

a

}中的項.(3)是否存在這樣的正數(shù)

q

，使等比數(shù)列{

b

}中有三項成等差數(shù)列？若存在，寫出一個

q

的值，并加以說明；若不存在，請說明理由.

解析

僅探究第(2)問

.b

=

a

q

，

a

=

a

+(

i

-1)

a

(

q

-1)，由

b

=

a

，得

q

=1+(

i

-1)(

q

-1)，即

q

-(

i

-1)

q

+(

i

-2)=0，得

q

=1(舍)或

q

=

i

-2，則

q

=

i

-2∈

N

.設(shè)數(shù)列{

b

}中任意一項為

b

=

a

q

-1(

n

∈

N

)，{

a

}中的某一項

a

=

a

+(

m

-1)

a

(

q

-1),即證

b

=

a

，即

a

q

-1=

a

+

q

-2，則

m

=2+

q

+

q

+…+

q

-2∈

N

，獲證.

在開展數(shù)學(xué)探究活動時，設(shè)置的問題應(yīng)來源于課本且高于課本，應(yīng)整體設(shè)計、分步實施探究活動，以實現(xiàn)“已知與未知”之間的轉(zhuǎn)換，引導(dǎo)學(xué)生從類比模仿到自主創(chuàng)新、從局部實施到整體構(gòu)想，積累發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的經(jīng)驗，養(yǎng)成獨立思考與合作交流的習(xí)慣.