對一道解三角形求取值范圍問題的思考*

呂佳峻 (山東省平度市第九中學(xué)2020級4班 266700) 指導(dǎo)教師 姜尚鵬

1 問題提出

近期做了一道有關(guān)解三角形的高考題，題目如下：

(1)求角B；

(2)求cosA+cosB+cosC的取值范圍．

第(2)題，因?yàn)橹懒私荁，實(shí)際上就是求cosA+cosC.對于雙變量問題，我們習(xí)慣化成單變量問題解決，這樣這個題的關(guān)鍵就是怎樣把兩個角化成一個角．cosA可以化成cos(π-B-C)，再通過誘導(dǎo)公式化簡，因?yàn)榻荁在第(1)題已經(jīng)求出，所以原式就轉(zhuǎn)化成了只含一個變量的式子，又因?yàn)槿切问卿J角△ABC，即三個角都是銳角，所以可求出角C的取值范圍，進(jìn)而求出原式的取值范圍．

下面是解答過程．

這道題目的解答比較常規(guī)，也沒有什么特別難的地方，但研究高考題關(guān)鍵是從高考題中總結(jié)出高考題考查的方向，從而為迎接后面的高考做準(zhǔn)備，所以我對這道高考題進(jìn)行了深入的思考．

2 幾點(diǎn)思考

2.1 從三角函數(shù)的名稱角度進(jìn)行變式

思考1 既然高考題可以考查兩個角余弦的和的取值范圍，那是不是也可以考查兩個角正弦的和的取值范圍呢？

2.2 從三角函數(shù)的運(yùn)算角度進(jìn)行變式

思考2 既然可以考查兩個角正弦的和的取值范圍，那是不是也可以考查它們的差、積、商的取值范圍呢？

通過搜集其他高考題發(fā)現(xiàn)，題目5的類型確實(shí)在2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(新課標(biāo)III文)考查過，題目如下：

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍．

第(2)題的解答過程是不是與題目5的解答驚人地相似？心中油然而生一種自豪感，原來我也可以命制高考題了．

2.3 從三角形中邊的角度進(jìn)行變式

思考3 三角形的元素分為角和邊，前面主要都是求角的正弦或余弦的取值范圍，那么是不是也可以求邊的取值范圍呢？

思考4 三角形內(nèi)角的三角函數(shù)之間可以通過加減乘除求取值范圍，那三角形的邊是不是也可以通過加減乘除求取值范圍呢？下面讓我們來研究一下吧！

題目7—9很顯然都可以化成邊對應(yīng)角的正弦求解，轉(zhuǎn)化成前面熟悉的問題，對于題目8還可以用基本不等式求解．

2.4 從三角形中邊的幾何意義進(jìn)行變式

思考5 由題目1我發(fā)現(xiàn)，命題老師沒有簡單考查cosA+cosC的取值范圍，而是考查了cosA+cosB+cosC的取值范圍，所以我想題目6考查a+c的取值范圍，是不是也可以考查a+b+c的取值范圍呢？這樣的好處是三條邊的和有幾何意義，可以直接說求△ABC的周長的取值范圍．

思考6 同樣，對于求ac的取值范圍，也可以賦予這個式子幾何意義，改成求△ABC面積的取值范圍．

思考7 既然有些式子是有相應(yīng)的幾何意義的，那是不是可以借助于幾何意義解題呢？

關(guān)于求△ABC周長和面積的取值范圍也是高考命題的熱點(diǎn)，原來出題老師是經(jīng)歷了這樣的一個過程才命制出來的，不得不佩服，出題老師真的是煞費(fèi)苦心了．

這樣，就可以總結(jié)出解三角形中求取值范圍問題的解決策略：(1)化角——轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求取值范圍；(2)化邊——結(jié)合基本不等式求取值范圍；(3)化形——利用數(shù)形結(jié)合思想求取值范圍．

3 結(jié)束語

通過這次對高考題深入的思考，我發(fā)現(xiàn)自己對解三角形知識的認(rèn)知更上一層樓，并且發(fā)現(xiàn)原來高考題不是隨便命制出來的，也是有一定的命制原則的.當(dāng)我們能從數(shù)學(xué)的思維和邏輯出發(fā)，對高考題多思考一下，說不定我們也可以命制出高考題．同時，我也發(fā)現(xiàn)命制一道高考題凝聚了命題人的心血，因此，在后面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活中，我會用更加認(rèn)真的態(tài)度來對待數(shù)學(xué)，并懷著崇敬的心情求解數(shù)學(xué)題．

指導(dǎo)教師點(diǎn)評：呂佳峻同學(xué)的這篇文章，從學(xué)生的視角給我們展現(xiàn)了對于一道高考題，可以從哪些角度進(jìn)行思考．他先從簡單的變換角的三角函數(shù)名入手進(jìn)行變式，之后上升到運(yùn)算的變式，再之后由角過渡到邊的變式，最后又賦予了邊的運(yùn)算相應(yīng)的幾何意義進(jìn)行變式，整個思維過程層層深入，思考也越來越有深度，很好地展現(xiàn)了一位高中生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．同時關(guān)于求解解三角形中取值范圍問題的解決策略也是不斷地增加，從最初的“化角”，到中間的“化邊”，到最后的“化形”，解法不斷完善．題目的不斷變式，體現(xiàn)了呂佳峻同學(xué)掌握知識的廣度和思考問題的深度；解法的不斷完善，體現(xiàn)了呂佳峻同學(xué)解決問題能力的厚度，這篇文章為高中生如何思考數(shù)學(xué)問題提供了范例，值得借鑒．