中立型隨機(jī)比例微分方程部分截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解的收斂性分析

肖淵琰， 尤蘇蓉

(東華大學(xué) 理學(xué)院， 上海 201620)

隨機(jī)時(shí)滯微分方程(stochastic delay differential equations，SDDEs)被廣泛應(yīng)用于隨機(jī)系統(tǒng)模型中，SDDEs的演化取決于歷史狀態(tài)。但在實(shí)際應(yīng)用中，很多隨機(jī)系統(tǒng)不僅依賴于現(xiàn)在和過(guò)去的狀態(tài)，還與時(shí)滯項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)，這就催生了中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程(neutral stochastic delay differential equations，NSDDEs)數(shù)值解和解析解的研究[1-5]。作為NSDDEs中的一種特殊模型，中立型隨機(jī)比例微分方程(neutral stochastic pantograph differential equations，NPSDEs)應(yīng)用于很多實(shí)際的領(lǐng)域，如經(jīng)濟(jì)、金融、物理、生物、藥學(xué)等。近年來(lái)，NSDDEs和NPSDEs解析解的性質(zhì)如收斂性、穩(wěn)定性得到了較為廣泛的研究，例如：Liu等[6]研究了高非線性下帶Lévy噪聲的NPSDEs解的P階矩指數(shù)穩(wěn)定性；Mao等[7]研究了混雜型NPSDEs的幾乎必然穩(wěn)定；Shen等[8]利用李雅普諾夫函數(shù)和M矩陣研究了高非線性條件下NPSDEs的指數(shù)穩(wěn)定性。

在高度非線性條件下很難得到NPSDEs的解析解，這時(shí)數(shù)值方法的重要性顯而易見(jiàn)。經(jīng)典的Euler-Maruyama法被用于構(gòu)造滿足線性增長(zhǎng)條件的隨機(jī)微分方程數(shù)值解，在此基礎(chǔ)上，如：Mao[9]提出基于Khasminskii型條件和局部Lipschitz條件的隨機(jī)微分方程(stochastic differential equations，SDEs)數(shù)值解截?cái)郋M(euler-maruyama)算法；Guo等[10]提出部分截?cái)郋M算法，并證明了方程數(shù)值解可在高非線性條件下保證均方指數(shù)穩(wěn)定性和多項(xiàng)式收斂性。隨后，部分截?cái)郋M算法開(kāi)始應(yīng)用于隨機(jī)微分方程的數(shù)值解研究，如：Zhang等[11]利用部分截?cái)郋M算法研究一類(lèi)SDDEs的數(shù)值解問(wèn)題；Zhan等[12]將其應(yīng)用于隨機(jī)比例微分方程(stochastic pantograph differential equations，PSDEs)的數(shù)值解研究。部分文獻(xiàn)對(duì)NPSDEs的數(shù)值估計(jì)進(jìn)行了研究，如：Zhan等[13]利用向后型Euler方法給出NPSDEs的數(shù)值解的幾乎必然漸進(jìn)穩(wěn)定；程生敏等[14]用相同方法得到了NPSDEs的數(shù)值解的指數(shù)穩(wěn)定性。

但是目前鮮有關(guān)于高度非線性情況下NPSDEs的顯示數(shù)值研究，對(duì)此，在Khasminskii型條件和壓縮映射條件下，利用部分截?cái)郋M算法構(gòu)建高度非線性NPSDEs的數(shù)值解，并研究數(shù)值解的有界性和收斂性。

1 預(yù)備工作

考慮以下中立型隨機(jī)比例微分方程：

d[x(t)-D(x(qt))]=f(x(t),x(qt))dt+g(x(t),x(qt))dB(t)
x(0)=x0;t>0

(1)

式中：x∈n；f:n×n→n；g:n×n→n×m；D:n→n表示中立項(xiàng)；q∈(0,1)。

假設(shè)系數(shù)f和g可以被分解為以下形式：

f(x,y)=F1(x,y)+F(x,y)

g(x,y)=G1(x,y)+G(x,y)

式中:F,F1:n×n→n,G,G1:n×n→n×m，分別滿足以下假設(shè)。

(2)

(3)

(4)

當(dāng)a=1時(shí)，以上假設(shè)即為Khasminskii條件。

假設(shè)1.4(壓縮映射條件)存在正常數(shù)u∈(0,1)，對(duì)所有x,y∈n使得

|D(x)-D(y)|≤u|x-y|且D(0)=0

(5)

由假設(shè)1.4推出|D(x)|≤u|x|。

(6)

證明：

引理1.6[14](存在唯一性)若假設(shè)1.1～1.4和引理1.5成立，方程(1)具有唯一解{x(t),t≥0}。

沿用文獻(xiàn)[10]提出的部分截?cái)鄶?shù)值解思想，選取一個(gè)嚴(yán)格遞增的連續(xù)函數(shù)μ:+→+,使得當(dāng)r→+∞時(shí)有μ(r)→+∞，且

μ(r),?r≥1

(7)

記μ-1為μ的逆函數(shù)，可知μ-1也是嚴(yán)格遞增的連續(xù)函數(shù)，且μ-1:[μ(0)，∞)→+。再選取一個(gè)Δ*∈(0,1]，和嚴(yán)格遞減函數(shù)h:(0,Δ*]→(0,+∞)，使得

(8)

對(duì)于給定的步長(zhǎng)Δ∈(0,1)，定義一個(gè)如式(9)所示的映射πΔ:n→{x∈n:|x|≤μ-1(h(Δ))}。

(9)

當(dāng)x=0時(shí)定義πΔ(x)=0，則定義如下截?cái)嗪瘮?shù)

(10)

對(duì)任意x,y∈n,由式(7)可知

FΔ(x,y)∨GΔ(x,y)≤μ(μ-1(h(Δ)))=h(Δ)

(11)

因此，雖然F,G不滿足有界條件，但是FΔ,GΔ一定有界。以下的引理將證明這些截?cái)嗪瘮?shù)保留了Khasminskii型條件。

(12)

證明：固定任意的Δ∈(0,Δ*]，由h(Δ*)≥μ(1)可知,μ-1(h(Δ*))≥1，但因?yàn)棣?1遞增而h遞減，所以μ-1(h(Δ))≥1，得到

以下分兩種情況證明：

(13)

(1)當(dāng)x∈n且|x|∨|y|≤μ-1(h(Δ))時(shí)，根據(jù)假設(shè)1.3可知

(2)當(dāng)x∈n且|x|∨|y|>μ-1(h(Δ))時(shí)，對(duì)根據(jù)假設(shè)1.3可知

因此

現(xiàn)定義方程(1)的部分截?cái)郋M算法如下[10]：

(1)定義：

(14)

其中ΔBk=B((k+1)Δ)-B(kΔ)，而fΔ(Xk,X[qk])=F1(Xk,X[qk])+FΔ(Xk,X[qk])，gΔ(Xk,X[qk])=G1(Xk,X[qk])+GΔ(Xk,X[qk])。

(2)定義離散過(guò)程：

(15)

(3)定義連續(xù)時(shí)間的近似解：

(16)

因此可以看出xΔ(t)在區(qū)間[0,+∞)上滿足

2 收斂性結(jié)果

引理2.1令p>2,記z(t)=x(t)-D(x(qt))，在假設(shè)1.1～1.4和引理1.5成立的條件下，對(duì)任意T>0，存在C>0(依賴于p,T)，方程(1)的唯一全局解{x(t),t≥0}滿足

(17)

如果定義停時(shí)τR=inf{t≥0,|x(t)|∨|z(t)|≥R}，則有

(18)

(19)

而

(20)

因此有

(21)

再根據(jù)z(t)的定義和不等式(a+b)p≤(1+ξ)p-1(ap+ξ1-pbp),?a,b≥0,p>1,ξ>0，可得

(22)

代入式(21)得到

(23)

引理2.2若假設(shè)1.1～1.4和引理1.7成立，存在C>0(依賴于p,T，但獨(dú)立于Δ)使得

(24)

且對(duì)任意實(shí)數(shù)R>|x(0)|以及Δ∈(0,Δ*]，定義停時(shí)ρΔ,R=inf{t≥0,|xΔ(t)|∨|yΔ(t)|≥R}，成立

(25)

分別對(duì)上式右側(cè)3個(gè)積分進(jìn)行分析可得

(26)

(27)

(28)

式(28)中，對(duì)任意t∈[0,T]，存在唯一的k使得kΔ≤t<(k+1)Δ，根據(jù)假設(shè)1.1，可得

(29)

代入式(28)可得

(30)

由式(26)、(27)和(30)可知，對(duì)任意t∈[0,T]，

對(duì)式(22)中的κ滿足κ1-pup<1，有

(31)

(32)

證明：令θΔ,R=τR∧ρΔ,R，eΔ(t)=x(t)-xΔ(t)，則有

(33)

令δ>0是任意的，利用Young不等式

得到

由引理2.1和2.2可知，

推導(dǎo)得出

為此，對(duì)x,y∈n，定義截?cái)嗪瘮?shù)

可以看出，當(dāng)|x|∨|y|≤R時(shí)，有f(x,y)=FR(x,y),g(x,y)=GR(x,y),同時(shí)由|x|∨|y|≤μ-1(h(Δ))可知

fΔ(x,y)=F1(x,y)+FΔ(x,y)=

f(x,y)=FR(x,y)

gΔ(x,y)=G1(x,y)+GΔ(x,y)=

g(x,y)=GR(x,y)

定義以下中立型隨機(jī)比例微分方程

d[w(t)-D(w(qt))]=FR(w(t),w(qt))dt+

GR(w(t),w(qt))dB(t),t≥0

(34)

初值w(0)=x(0)，F(xiàn)R,GR滿足局部Lipschitz條件，因此方程(34)有局部唯一解w(t)，可知

P{x(t∧τR)=w(t∧τR),?t∈[0,T]}=1

(35)

另一方面，對(duì)每個(gè)步長(zhǎng)Δ∈(0,Δ*]，利用經(jīng)典的EM算法得到方程(34)連續(xù)時(shí)間的連續(xù)數(shù)值解記為wΔ(t)，且有

P{x(t∧ρΔ,R)=w(t∧ρΔ,R),?t∈[0,T]}=1

(36)

考慮式(35)和(36)，得到

則有

因此得到

定理證畢。

3 算例分析

考慮以下中立型隨機(jī)比例微分方程

(37)

對(duì)于假設(shè)1.1、1.2和1.4，方程顯然成立。下面證明方程滿足假設(shè)1.3。

接下來(lái)選取μ(·),h(·)，已知

圖1 數(shù)值解隨時(shí)間變化圖

4 結(jié) 語(yǔ)

研究了中立型隨機(jī)比例微分方程的數(shù)值解問(wèn)題，利用部分截?cái)郋M方法建立了連續(xù)時(shí)間的數(shù)值解，通過(guò)一系列不等式技巧對(duì)中立項(xiàng)和比例時(shí)滯項(xiàng)進(jìn)行處理，得到數(shù)值解的Lp有界性，繼而證明方程的收斂性。但本研究的研究對(duì)象是滿足假設(shè)1.3的一類(lèi)具有特殊特征的高度非線性中立型隨機(jī)比例微分方程，研究結(jié)論不能涵蓋條件更一般的高度非線性中立型隨機(jī)比例微分方程，這也將是以后的研究方向。