跳擴(kuò)散模型下乖離率的平穩(wěn)性及其在高頻交易中的應(yīng)用

方曉彤， 胡良劍

(東華大學(xué) 理學(xué)院， 上海 201620)

“高頻交易”是通過(guò)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的代碼運(yùn)行在極短時(shí)間內(nèi)自動(dòng)完成資產(chǎn)交易，并利用快速買(mǎi)入賣(mài)出獲取差價(jià)收入的一種交易方式[1]。盡管這種方式的每次交易差價(jià)很小，但短時(shí)間內(nèi)多次交易累積后能夠獲得可觀的收益，這在基本金融工具市場(chǎng)以及衍生產(chǎn)品市場(chǎng)上均得到了體現(xiàn)。高頻交易的前提是必須有金融理論分析和交易策略作為支撐。技術(shù)指標(biāo)分析與基本面分析是金融市場(chǎng)中兩大重要的投資分析流派。在高頻交易中，買(mǎi)入賣(mài)出的交易時(shí)間很短，因此基本面幾乎沒(méi)有發(fā)生變化，而主要的變化是技術(shù)指標(biāo)。技術(shù)指標(biāo)分析則是通過(guò)考慮市場(chǎng)行為的各個(gè)方面，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型計(jì)算技術(shù)指標(biāo)，并利用該技術(shù)指標(biāo)值給出無(wú)法直接通過(guò)行情序列獲取的市場(chǎng)信息，為投資者交易行為提供指導(dǎo)[2-3]。在實(shí)際交易市場(chǎng)上，資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程只有一條樣本軌道，如果投資策略收益滿(mǎn)足平穩(wěn)性和遍歷性，且期望收益為正，則策略具有長(zhǎng)期穩(wěn)定的盈利能力。因此，構(gòu)建一個(gè)平穩(wěn)的技術(shù)指標(biāo)是高頻交易策略的核心[4-6]。

價(jià)格跳躍是價(jià)格在外部信息沖擊下發(fā)生的瞬間性大幅度變動(dòng)，體現(xiàn)了資本市場(chǎng)的極端風(fēng)險(xiǎn)狀況。目前，對(duì)資產(chǎn)價(jià)格跳躍的研究主要集中在改進(jìn)檢驗(yàn)方法以提高檢驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性，而很少在交易策略中考慮跳躍。由于高頻交易單筆收益低的特點(diǎn)，交易策略在單次跳躍發(fā)生時(shí)失效，可能會(huì)使之前的收益全部歸零甚至虧損，因此準(zhǔn)確地識(shí)別出跳躍發(fā)生的具體時(shí)間和跳躍幅度具有十分重要的意義[7-8]。同時(shí)，高頻交易隔夜不持倉(cāng)的特點(diǎn)在降低交易風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)也降低了投資收益，故在高頻交易策略中如何處理隔夜跳躍值得研究。

采用Lee等[9]研究的非參數(shù)檢驗(yàn)方法進(jìn)行跳躍檢驗(yàn)，該方法以波動(dòng)率為基礎(chǔ)設(shè)定閾值并逐點(diǎn)檢驗(yàn)序列是否發(fā)生跳躍，避免選取不同模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)所帶來(lái)的影響。介紹乖離率(bias)的應(yīng)用原理，并且在資產(chǎn)價(jià)格服從默頓跳擴(kuò)散模型的假設(shè)下證明乖離率指標(biāo)的一階平穩(wěn)性。將加入跳躍檢驗(yàn)結(jié)果而改進(jìn)的交易策略記為bias-J策略，采用實(shí)證分析驗(yàn)證bias-J策略可以進(jìn)一步提高收益。根據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，價(jià)格發(fā)生跳躍時(shí)，其大幅變化會(huì)帶來(lái)高風(fēng)險(xiǎn)，即隱含著高損失與高收益，因此，在高頻交易策略中應(yīng)合理考慮跳躍。

1 定 義

移動(dòng)平均線(xiàn)可視為某一時(shí)期內(nèi)買(mǎi)賣(mài)雙方都能接受的均衡價(jià)格。bias也叫偏離率，是市場(chǎng)指數(shù)或收盤(pán)價(jià)與價(jià)格的某條移動(dòng)平均線(xiàn)之間的差距百分比，是一種判斷資產(chǎn)趨勢(shì)和交易時(shí)機(jī)的常用技術(shù)分析工具，其反映一定時(shí)期內(nèi)價(jià)格與其平均價(jià)格的偏離程度，并可以得出價(jià)格因偏離移動(dòng)平均趨勢(shì)而造成回檔或反彈的可能性[10-11]。無(wú)論在上漲行情中，還是在下跌行情中，只要趨勢(shì)穩(wěn)定，bias都將在一個(gè)常態(tài)范圍內(nèi)波動(dòng)，若超出常態(tài)范圍，則可視為bias過(guò)大，資產(chǎn)價(jià)格就會(huì)向移動(dòng)平均線(xiàn)靠攏。

和傳統(tǒng)的Black-Scholes(B-S)模型相比，默頓跳躍擴(kuò)散模型[12]中加入了泊松跳躍過(guò)程，可以更好地刻畫(huà)資產(chǎn)收益率尖峰厚尾的特性。根據(jù)文獻(xiàn)[12]，在默頓跳躍擴(kuò)散模型中資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)過(guò)程St表示為

dSt=μSt-dt+σSt-dWt+(J-1)St-dNt

(1)

式中：漂移系數(shù)μ及擴(kuò)散系數(shù)σ為常數(shù)；Wt是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)；J服從對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)分布，即lnJ服從正態(tài)隨機(jī)分布，每次跳躍發(fā)生時(shí)J的取值不同；Nt是強(qiáng)度為λ的泊松過(guò)程，t時(shí)刻如果價(jià)格發(fā)生跳躍，有dNt=1，否則dNt=0。跳躍在價(jià)格過(guò)程中不斷累積，根據(jù)文獻(xiàn)[13]，式(1)等價(jià)于式(2)。

(2)

式中：設(shè)初始時(shí)刻為0，S0表示0時(shí)刻的資產(chǎn)價(jià)格，{Yj,j=1,2…,Nt}是與lnJ同分布的獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量。

2 乖離率指標(biāo)的性質(zhì)

(3)

考慮乖離率過(guò)程，定義Btn表示資產(chǎn)價(jià)格在t時(shí)刻的n期乖離率，記

(4)

在實(shí)際運(yùn)用中，要根據(jù)資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)幅度和特性來(lái)決定周期。一般而言，如果價(jià)格變動(dòng)較大且漲跌變動(dòng)比較頻繁，則n的取值相對(duì)小一些，反之則大一些。

假設(shè)1假設(shè)St服從默頓跳躍擴(kuò)散模型，即滿(mǎn)足式(1)，且泊松過(guò)程N(yùn)t與布朗運(yùn)動(dòng)Wt之間相互獨(dú)立，S0=x，x>0。

根據(jù)式(2)容易得到下列引理。

引理若假設(shè)1成立，設(shè)0

(5)

(6)

以下定理證明對(duì)每個(gè)固定的n，過(guò)程{Btn}的概率分布具有平穩(wěn)性，其均值及方差均與時(shí)間無(wú)關(guān)，樣本函數(shù)總是在水平直線(xiàn)上下波動(dòng)。

定理若假設(shè)1成立，則{Btn}t≥n是一階嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。

St0-nSt-t0+n(=)St

(7)

(8)

根據(jù)文獻(xiàn)[14]，對(duì)任意給定的u≥0，存在隨機(jī)變量θu(=)Su，且θu獨(dú)立于{St}t≥0，令

(9)

有

(10)

可得

(11)

以及

(12)

根據(jù)式(7)、(8)及Slutsky定理[15]得

(13)

令t2=t，t1=t-t0+n，則對(duì)?t2>t1≥n，有

(14)

結(jié)論成立。

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)選取

選取2020年1月2日至2020年12月31日滬深300指數(shù)(CSI 300)和中國(guó)平安(股票代碼601318)1 min高頻交易數(shù)據(jù)，在交易過(guò)程中使用每分鐘收盤(pán)價(jià)作為最終的成交價(jià)。

3.2 交易方式及交易策略

交易方式：

(1)逐單交易，每次交易一手標(biāo)的資產(chǎn)，不考慮加倉(cāng)，只有平倉(cāng)后才建立新倉(cāng)，不賣(mài)空；

(2)日內(nèi)交易，不允許隔夜持倉(cāng)，如果沒(méi)有平倉(cāng)信號(hào)，則在收盤(pán)時(shí)強(qiáng)制平倉(cāng)；

(3)交易手續(xù)費(fèi)率為c。

對(duì)預(yù)先給定的期數(shù)n，bias交易策略：

(1)當(dāng)Bt-1,n<0且Btn>0時(shí)，出現(xiàn)價(jià)格上漲信號(hào)，在t時(shí)刻買(mǎi)入；

(2)當(dāng)Bt-1,n>0且Btn<0時(shí)，出現(xiàn)價(jià)格下跌信號(hào)，在t時(shí)刻賣(mài)出。

利用文獻(xiàn)[9]的方法對(duì)t時(shí)刻的價(jià)格進(jìn)行跳躍檢驗(yàn)，將bias交易策略改進(jìn)為bias-J交易策略：

(1)若t時(shí)刻價(jià)格發(fā)生下跳，在t時(shí)刻買(mǎi)入；

(2)若t時(shí)刻價(jià)格發(fā)生上跳，在t時(shí)刻賣(mài)出。

不考慮其他因素，判斷給定的任意t時(shí)刻交易信號(hào)詳細(xì)過(guò)程如圖1所示，其中，實(shí)線(xiàn)表示bias策略，局部用虛線(xiàn)替代并行的實(shí)線(xiàn)，表示biass策略基礎(chǔ)上增加跳的bias-J策略。

圖1 bias策略和bias-J策略信號(hào)判斷流程圖

3.3 跳躍及平穩(wěn)性檢驗(yàn)

圖2 文獻(xiàn)[9]方法計(jì)算的 CSI 300跳躍檢驗(yàn)結(jié)果

圖3 CSI 300的價(jià)格走勢(shì)及跳躍時(shí)點(diǎn)

圖4為CSI 300的6 min(n=6)乖離率指標(biāo)序列圖，對(duì)頻率為6、12及24 min的乖離率序列進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，結(jié)果表明各序列檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的概率值p均小于0.01，說(shuō)明乖離率具有弱平穩(wěn)性，這與第2節(jié)中定理表述一致?；谄椒€(wěn)性指標(biāo)構(gòu)建高頻交易策略，圖5為CSI 300在2020年7月1日基于bias-J策略的交易信號(hào)圖，由于11：30—13：00暫停交易，這兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)之間的價(jià)格變動(dòng)呈直線(xiàn)。由圖5可以看出，交易賣(mài)出點(diǎn)基本都位于買(mǎi)入點(diǎn)上方，交易信號(hào)準(zhǔn)確性高，盡管一天內(nèi)價(jià)格變動(dòng)多次且方向不固定，該策略在價(jià)格上漲和下跌時(shí)仍然表現(xiàn)保持穩(wěn)定。

圖4 CSI 300的乖離率(bias)序列

圖5 CSI 300 bias-J策略交易信號(hào)圖

3.4 CSI 300與中國(guó)平安交易的策略結(jié)果

圖6給出了交易的累計(jì)收益曲線(xiàn)(c=0.000 05)。從圖6(a)中可以看出，bias策略能夠獲得穩(wěn)定的收益，bias-J策略能夠有效管理跳躍帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)，獲得更高的收益，但這種情形是否穩(wěn)定還需要驗(yàn)證盈利過(guò)程的平穩(wěn)性。平穩(wěn)性是隨機(jī)過(guò)程的重要特征，基于平穩(wěn)性才能根據(jù)隨機(jī)過(guò)程現(xiàn)在和過(guò)去的信息推斷隨機(jī)過(guò)程的未來(lái)，因此，只有過(guò)程具有平穩(wěn)性質(zhì)，才能確定以上盈利的發(fā)生并非偶然。

圖6 bias及bias-J策略累積收益曲線(xiàn)

通過(guò)檢驗(yàn)單筆交易收益為平穩(wěn)序列的方法來(lái)說(shuō)明策略收益的穩(wěn)定性，圖7為bias-J策略分筆盈利圖。由圖7可以看到股票的收益率波動(dòng)大于指數(shù)的收益率波動(dòng)，股票交易風(fēng)險(xiǎn)更高。對(duì)收益率序列進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，結(jié)果表明收益序列平穩(wěn)。雖然高頻交易的單筆收益率低，只有萬(wàn)分之幾，但借助于多次交易，通過(guò)不斷累積的方式可以得到很高的收益，該特性也使得手續(xù)費(fèi)對(duì)交易收益率產(chǎn)生極大影響。

圖7 bias-J策略分筆盈利圖

中國(guó)平安在2020年1月至7月期間，利用bias-J策略能獲得穩(wěn)定的盈利，而在7月至12月期間則虧損，該表現(xiàn)與市場(chǎng)實(shí)際情況一致。由于交易對(duì)手策略及市場(chǎng)環(huán)境的不斷變化，常規(guī)策略在一組參數(shù)下是有一定時(shí)效的，因此高頻交易策略并非始終有效，交易者需要定期檢驗(yàn)策略的有效性。

持倉(cāng)時(shí)間的長(zhǎng)短很大程度上決定了交易風(fēng)險(xiǎn)的大小，研究持倉(cāng)時(shí)間也是高頻交易中的一項(xiàng)重要工作。圖8為bias-J策略持倉(cāng)時(shí)間的直方圖。由圖8可以看出，單筆交易的持倉(cāng)時(shí)間主要集中在5～10個(gè)時(shí)間單位，持倉(cāng)時(shí)間均較短，有助于降低因持倉(cāng)時(shí)間太長(zhǎng)而帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。

圖8 bias-J策略持倉(cāng)時(shí)間

綜上，bias-J策略在指數(shù)和股票下的收益率均高于bias策略，說(shuō)明在高頻交易策略中考慮價(jià)格跳躍是有意義的。同時(shí)，無(wú)論在bias還是bias-J策略下，對(duì)比指數(shù)和股票的交易結(jié)果發(fā)現(xiàn)，指數(shù)的收益率及勝率都比股票高，策略盈利的持續(xù)時(shí)間也更長(zhǎng)。這是因?yàn)橹笖?shù)類(lèi)似于多個(gè)股票的加權(quán)平均，當(dāng)少數(shù)單個(gè)股票發(fā)生大波動(dòng)時(shí)，對(duì)指數(shù)的影響被分散化，因此，指數(shù)更能夠分散風(fēng)險(xiǎn)，價(jià)格更趨向于移動(dòng)平均值，這與策略的核心原理一致。股票受影響因素多，單個(gè)事件發(fā)生對(duì)股票影響大，波動(dòng)更大，導(dǎo)致股票價(jià)格可能長(zhǎng)期偏離其均衡價(jià)格，因此策略在股票市場(chǎng)上的盈利效果更弱甚至失效。

4 結(jié) 語(yǔ)

金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究大多數(shù)建立在各種資產(chǎn)定價(jià)模型基礎(chǔ)上，若模型的合理性能夠得到認(rèn)定，則基于模型的技術(shù)指標(biāo)就具有現(xiàn)實(shí)意義。本文在默頓跳躍擴(kuò)散模型下證明乖離率的平穩(wěn)性，根據(jù)平穩(wěn)指標(biāo)結(jié)合跳躍建立一個(gè)新的bias-J交易策略。進(jìn)一步，對(duì)CSI 300和中國(guó)平安使用bias及bias-J兩種策略進(jìn)行實(shí)證分析。兩種策略收益結(jié)果對(duì)比表明：在高頻交易策略中應(yīng)用跳躍可以實(shí)現(xiàn)更好的收益；同時(shí)，無(wú)論在bias還是bias-J策略下，指數(shù)的表現(xiàn)要明顯優(yōu)于股票的表現(xiàn)，說(shuō)明該策略適用于價(jià)格趨勢(shì)相對(duì)穩(wěn)定的資產(chǎn)。需要指出的是，雖然本文僅對(duì)分鐘頻率作了實(shí)證分析，其結(jié)果對(duì)更高頻的交易也是有指導(dǎo)意義的。另外，在交易過(guò)程中，盡管單筆收益為正，但手續(xù)費(fèi)的提高可能會(huì)抵消單筆交易的收益甚至產(chǎn)生負(fù)的最終收益，因此在分析高頻交易策略的有效性和收益性時(shí)，不能忽略手續(xù)費(fèi)的影響。