讓符號(hào)意識(shí)在“四學(xué)”中自然生成
——以“‘重復(fù)’的奧妙”一課為例

四川成都高新區(qū)教育發(fā)展中心（610041）曾 亮

符號(hào)意識(shí)作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，主要是指能夠感悟符號(hào)的數(shù)學(xué)功能?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)：“無(wú)論在哪個(gè)學(xué)段，都應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生用自己獨(dú)特的方法表示具體情境中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，這是發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)的決定因素?！狈?hào)意識(shí)的培養(yǎng)不是一蹴而就的。根據(jù)小學(xué)低年級(jí)學(xué)生的思維特點(diǎn)，筆者團(tuán)隊(duì)總結(jié)和提煉了五項(xiàng)培養(yǎng)策略?，F(xiàn)以北師大版教材二年級(jí)下冊(cè)“‘重復(fù)’的奧妙”為例，闡述符號(hào)意識(shí)是如何在“四學(xué)”中自然生成的。

教學(xué)片段一：表示燈籠的排列規(guī)律

1.明確任務(wù)

出示圖1（教材圖）：

圖1

師：大家從照片里找到了那么多有趣的規(guī)律，可老師剛才聽(tīng)得太入迷，都忘記把這些規(guī)律記下來(lái)了，你們?cè)敢鈳蛶臀覇幔?/p>

生（齊）：愿意。

2.開(kāi)展“四學(xué)”

師：那我們就從燈籠的規(guī)律開(kāi)始吧！

出示圖2（教材圖）：

圖2

（1）首學(xué)：學(xué)生獨(dú)立嘗試用不同的方法來(lái)表示燈籠的規(guī)律，教師巡視。

（2）互學(xué)：學(xué)生在小組內(nèi)交流怎么表示燈籠的規(guī)律。

（3）群學(xué)：教師拍照上傳學(xué)生不同的表示方法（如圖3-1、圖3-2、圖3-3、圖3-4）。

圖3 -1

圖3 -2

圖3 -3

圖3 -4

師：大家同意哪種表示方法？為什么？選擇其中的一幅圖說(shuō)說(shuō)你的想法。

生1：我選圖3-2。因?yàn)闊艋\就是一個(gè)大一個(gè)小、一個(gè)大一個(gè)小……這樣排列的，所以他寫“大小大小大小大小”是對(duì)的。

師：大家同意生1的說(shuō)法嗎？

生（齊）：同意。

師：圖3-2緊緊扣住了燈籠大小的排列規(guī)律，它是用什么表示的？

生2：它是用漢字表示的。

師：對(duì)，圖3-2是用漢字表示燈籠一大一小的排列規(guī)律的。誰(shuí)能像這樣再介紹一下其他三幅圖？

生3：圖3-1用圖畫表示燈籠一大一小的排列規(guī)律。

生4：圖3-3用圓表示燈籠一大一小的排列規(guī)律，大圓表示大燈籠，小圓表示小燈籠。

生5：圖3-4用“√×”符號(hào)表示燈籠一大一小的排列規(guī)律，“√”表示大燈籠，“×”表示小燈籠。

師：我們問(wèn)問(wèn)這四幅圖對(duì)應(yīng)的四位小作者——同學(xué)們猜中你們的想法了嗎？

（小作者們紛紛表示猜中了）

（4）共學(xué)：對(duì)比學(xué)習(xí)。

師：看來(lái)你們真是心有靈犀呀！不過(guò)好像有一幅圖與其他三幅圖有點(diǎn)不一樣哦，誰(shuí)發(fā)現(xiàn)了？

生6：圖3-1和其他的不一樣，它有省略號(hào)，其他的沒(méi)有。

師：我們一起來(lái)讀一讀圖，看看是不是這樣的。圖3-1，大燈籠小燈籠、大燈籠小燈籠、省略號(hào)；圖3-2，大小、大小、大小、大?。粓D3-3，大圓小圓、大圓小圓、大圓小圓、大圓小圓；圖3-4，√×、√×、√×、√×。

師：可以用省略號(hào)嗎？省略號(hào)省略了什么呢？請(qǐng)與同桌交流。

生7：我們認(rèn)為可以用省略號(hào)。因?yàn)榍懊嬉呀?jīng)畫了2組“大燈籠小燈籠”，我們知道規(guī)律了，所以對(duì)于省略的部分，我們也能明白，省略的就是剩下的2組“大燈籠、小燈籠”。

師（問(wèn)圖3-1的小作者）：生7說(shuō)得對(duì)嗎？你怎么想到要用省略號(hào)的呢？

圖3-1的小作者：說(shuō)得對(duì)。我覺(jué)得畫圖有點(diǎn)麻煩，不想接著畫了，所以就用了省略號(hào)。

師：真是個(gè)既誠(chéng)實(shí)又會(huì)動(dòng)腦筋想辦法的孩子！畫圖太“麻煩”了，所以找來(lái)省略號(hào)幫忙，確實(shí)是個(gè)好辦法。我們?cè)賮?lái)看看這四幅圖，你最喜歡哪幅圖呢？為什么？

生8：我喜歡圖3-3，因?yàn)樗?jiǎn)單，圓圈還能表示燈籠的形狀和大小。

生9：我喜歡圖3-2，一看漢字就知道是“大小”規(guī)律。

生10：我喜歡圖3-4，它也很簡(jiǎn)單。

生11：我喜歡圖3-1，雖然畫圖麻煩了些，但是遇到很長(zhǎng)的一串圖形時(shí)，用省略號(hào)很方便。

生12：寫漢字、畫圓、畫“√×”后面都可以用省略號(hào)，沒(méi)必要一定要畫圖。

生13：對(duì)，我也是這么想的。

師：每種記錄方法都有它的優(yōu)缺點(diǎn)，不管是畫圖、寫漢字，還是用○、√、×等符號(hào)來(lái)記錄，只要能正確表示圖形的規(guī)律就是可行的。大家剛才提到了省略號(hào)，那表示幾組重復(fù)的規(guī)律后用省略號(hào)合適呢？1組行嗎？

生14：不行。

師：2組呢？

生15：我認(rèn)為3組合適，因?yàn)樘倭丝床怀鲆?guī)律，太多了又太麻煩。

師：大家認(rèn)為呢？

生（齊）：同意。

師：那我們就約定，在表示3組重復(fù)的規(guī)律后可以使用省略號(hào)，好嗎？

生（齊）：好。

【策略一】在“四學(xué)”中經(jīng)歷符號(hào)意識(shí)的產(chǎn)生

東北師范大學(xué)朱立明等人認(rèn)為數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的構(gòu)成要素為客觀事物、符號(hào)表征、數(shù)學(xué)理解、思維結(jié)構(gòu)、思想方法，并提出其要素結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖（如圖4）?！笆讓W(xué)”環(huán)節(jié)，學(xué)生緊密圍繞最核心的思維結(jié)構(gòu)，先通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)燈籠的排列規(guī)律，并用最簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言口述規(guī)律，再用符號(hào)來(lái)表征燈籠“一大一小”重復(fù)出現(xiàn)的本質(zhì)屬性，完成了第一次抽象。隨后的“互學(xué)”“群學(xué)”環(huán)節(jié)，教師著重引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)符號(hào)與客觀事物的對(duì)應(yīng)性，如“一個(gè)大圓就表示一個(gè)大燈籠，一個(gè)小圓就表示一個(gè)小燈籠”等，從學(xué)生的表達(dá)中可以明顯看到，符號(hào)表征能幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。最后的“共學(xué)”環(huán)節(jié)，教師適時(shí)拋出問(wèn)題，學(xué)生在對(duì)比中自我優(yōu)化，獲得具體的數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而解決問(wèn)題。

圖4

【策略二】在“自然”中完成符號(hào)意識(shí)的蘊(yùn)伏

意識(shí)是個(gè)體的心理傾向，具有鮮明的主體性，這種主體性表現(xiàn)為學(xué)生為達(dá)到一定的學(xué)習(xí)目的而表現(xiàn)出來(lái)的自由、自主、主動(dòng)、能動(dòng)的特性。我們?cè)诖私虒W(xué)片段中看到“和而不同”：盡管學(xué)生都在表征燈籠“一大一小”重復(fù)出現(xiàn)的排列規(guī)律，但不同的學(xué)生選擇的符號(hào)是不同的，是具有個(gè)人情感與認(rèn)知的。數(shù)學(xué)教育家豪森指出：“沒(méi)有必要引入任何符號(hào)或縮寫，除非學(xué)生自己已經(jīng)深深感到了這樣做的必要性，以至于他們自己提出這方面的建議?；蛘咧辽?，當(dāng)教師提供給他們時(shí)，他們能夠充分體會(huì)到它的優(yōu)越性。”學(xué)生自主探索，經(jīng)歷規(guī)律發(fā)現(xiàn)、規(guī)律表征、對(duì)比反思等過(guò)程，從中加深了對(duì)符號(hào)表征規(guī)律和簡(jiǎn)潔性的認(rèn)識(shí)。最典型的就是大部分學(xué)生都自主地選擇了用符號(hào)來(lái)表征規(guī)律，即使是用圖畫“大燈籠小燈籠”來(lái)表示規(guī)律的學(xué)生，也在感覺(jué)到麻煩后主動(dòng)用了省略號(hào)，其他的學(xué)生受其啟發(fā)，均表示：因?yàn)槭侵貜?fù)出現(xiàn)的規(guī)律，所以其他符號(hào)后面也可以使用省略號(hào)。隨著學(xué)生主體性的充分發(fā)揮，符號(hào)意識(shí)的蘊(yùn)伏也自然而然地完成了。

教學(xué)片段二：鞏固與實(shí)踐用符號(hào)表征規(guī)律

1.鞏固練習(xí)，表征照片中的其他規(guī)律

（1）首學(xué)：請(qǐng)選擇照片中的另一種規(guī)律，用你喜歡的方法表示出來(lái)。

（2）互學(xué)：與同桌說(shuō)一說(shuō)你所表示的規(guī)律。

（3）群學(xué)：展示并說(shuō)明自己所表示的規(guī)律。

出示圖5（教材圖）：

圖5

生1：花盆是按“兩個(gè)綠盆、兩個(gè)紅盆”的規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)的，我用“綠”字表示綠盆，“紅”字表示紅盆，所以規(guī)律是“綠綠紅紅綠綠紅紅綠綠紅紅……”

生2：我用“+”表示綠盆，“-”表示紅盆，所以規(guī)律是“++--++--++--……”。

生3：我用“A”表示綠盆，“B”表示紅盆，所以規(guī)律是“AABBAABBAABB……”。

生4：我用“○”表示綠盆，“●”表示紅盆，所以規(guī)律是“○○●●○○●●○○●●……”。

生5：我用“1”表示綠盆，“2”表示紅盆，所以規(guī)律是“112211221122……”。

……

（4）共學(xué)：討論交流，了解規(guī)律表征。

師：我發(fā)現(xiàn)有一位同學(xué)是用數(shù)字符號(hào)來(lái)表示規(guī)律的——“112112112……”。猜猜這位同學(xué)表示的是誰(shuí)的排列規(guī)律？“1”和“2”分別表示什么？

生6：他表示的是彩旗的規(guī)律，“1”表示紅色彩旗，“2”表示藍(lán)色彩旗，規(guī)律是“2面紅色彩旗、1面藍(lán)色彩旗重復(fù)出現(xiàn)”。

出示圖6（教材圖）：

圖6

生7：我也認(rèn)為他表示的是彩旗的規(guī)律，不過(guò)“1”表示長(zhǎng)方形彩旗，“2”表示三角形彩旗，規(guī)律是“2面長(zhǎng)方形彩旗、1面三角形彩旗重復(fù)出現(xiàn)”。（有學(xué)生點(diǎn)頭贊同，有學(xué)生露出恍然大悟的表情）

生8：還有可能表示的是氣球柱，“1”表示黃色氣球，“2”表示紅色氣球，規(guī)律是“2圈黃色氣球、1圈紅色氣球重復(fù)出現(xiàn)”。

出示圖7（教材圖）：

圖7

師：有人觀察橫著的彩旗，有人觀察豎著的氣球柱，有人觀察彩旗的顏色，有人觀察彩旗的形狀。也就是說(shuō)，不同的事物，或是同一事物，從不同的觀察角度出發(fā)，只要符合這樣的規(guī)律，我們就都可以用“112112112……”來(lái)表示，是嗎？

生（齊）：是的。

2.實(shí)踐應(yīng)用，用數(shù)學(xué)符號(hào)表征生活中的規(guī)律

播放微課：生活中的“重復(fù)”現(xiàn)象（一周七天、一年四季、生肖輪轉(zhuǎn)、圓舞曲節(jié)拍……）。

（1）你能用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示生活中的這些“重復(fù)”現(xiàn)象嗎？

（2）生活中還有哪些“重復(fù)”現(xiàn)象？請(qǐng)你再舉一些例子并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)。

【策略三】在“生成”中促進(jìn)符號(hào)意識(shí)的形成

馬云鵬等人認(rèn)為數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)表現(xiàn)為“生”與“成”兩個(gè)階段。在教學(xué)片段一中，學(xué)生已基本完成“生”的階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生主觀能動(dòng)地參與燈籠規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與表征、感悟與反思，初步形成對(duì)符號(hào)意識(shí)的科學(xué)認(rèn)識(shí)，體現(xiàn)了符號(hào)意識(shí)的內(nèi)隱性。教學(xué)片段二主要為“成”的階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生將前一階段感悟到的符號(hào)意識(shí)進(jìn)一步鞏固及應(yīng)用，用符號(hào)化思維來(lái)思考，選取恰當(dāng)?shù)姆?hào)表征規(guī)律，學(xué)生在“生成”中形成數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)。

【策略四】在“轉(zhuǎn)換”中提升符號(hào)意識(shí)的層次

在教學(xué)中可以清晰地看到，剛開(kāi)始的時(shí)候，有的學(xué)生不能自主完成符號(hào)表征，有的學(xué)生只能用一種符號(hào)進(jìn)行表征，有的學(xué)生能使用多種符號(hào)進(jìn)行表征，這說(shuō)明不同學(xué)生的符號(hào)意識(shí)的水平是不同的。符號(hào)意識(shí)的形成需要個(gè)體經(jīng)歷如下過(guò)程：“客觀事物抽象形成符號(hào)表征，學(xué)習(xí)者借助符號(hào)表征對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行深刻理解，從而上升至數(shù)學(xué)思維。而數(shù)學(xué)思維形成后，學(xué)習(xí)者從數(shù)學(xué)符號(hào)化角度思考問(wèn)題，尋求數(shù)學(xué)思想方法?！币虼?，要促進(jìn)學(xué)生符號(hào)意識(shí)層次的提升，就需要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)經(jīng)歷符號(hào)意識(shí)形成過(guò)程的活動(dòng)。學(xué)生選擇自己喜歡的方式表征照片中的其他規(guī)律這一環(huán)節(jié)的設(shè)置，不是簡(jiǎn)單的鞏固練習(xí)，其實(shí)質(zhì)是讓學(xué)生不斷經(jīng)歷符號(hào)意識(shí)各要素“轉(zhuǎn)換”的過(guò)程，進(jìn)而逐步提升學(xué)生符號(hào)意識(shí)的層次。

【策略五】在“理論”認(rèn)識(shí)后強(qiáng)化符號(hào)意識(shí)的實(shí)踐

符號(hào)意識(shí)的生成與實(shí)踐密不可分，既需要教師在實(shí)踐中檢驗(yàn)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的生成程度，看學(xué)生的思維成果是否正確，也需要學(xué)生在實(shí)踐中反復(fù)體會(huì)符號(hào)意識(shí)的重要作用與價(jià)值，只有這樣，符號(hào)意識(shí)才能真正內(nèi)化為學(xué)生的素養(yǎng)。最后環(huán)節(jié)，教師設(shè)計(jì)了讓學(xué)生用符號(hào)表征生活中“重復(fù)”現(xiàn)象的活動(dòng)，從規(guī)定動(dòng)作到完全開(kāi)放，其目的就是要讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)“理論”后，強(qiáng)化符號(hào)意識(shí)的運(yùn)用，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

通過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐研究，我們認(rèn)為在“四學(xué)”中經(jīng)歷符號(hào)意識(shí)的產(chǎn)生、在“自然”中完成符號(hào)意識(shí)的蘊(yùn)伏、在“生成”中促進(jìn)符號(hào)意識(shí)的形成、在“轉(zhuǎn)換”中提升符號(hào)意識(shí)的層次、在“理論”認(rèn)識(shí)后強(qiáng)化符號(hào)意識(shí)的實(shí)踐等五項(xiàng)培養(yǎng)策略對(duì)于小學(xué)低年級(jí)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)是有效的。我們也深知，學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)是一個(gè)漫長(zhǎng)而艱辛的過(guò)程，只有長(zhǎng)期的堅(jiān)持與努力，才能收到成效。