解三角形“圓”來如此精彩

張國川 任曉紅

文[1]討論了一道解三角形問題，略去試題背景從不同視角給出在約束條件下最值問題的處理策略，筆者也曾在文[2]中探討過此問題，可謂殊途同歸達異曲同工之妙．今看此文[1]有些思考敘述成文與大家分享，不當之處批評指正．

試題呈現(xiàn)在AABC中，A=π/3，BC=3，D是BC的一個三等分點，則AD的最大值是____．

試題分析通常兩個三角形滿足條件AAS，ASA，SAS，SSS才會全等，換言之只要三角形給出三個條件AAS， ASA， SAS， SSS中的一種，這個三角形必定唯一，包括三條邊和三個角六個要素都是確定的，其中AAS，ASA通常用正弦定理解決，SAS，SSS則用余弦定理解決，不論是正弦定理還是余弦定理都是三個方程，這樣就能解決另外三個元素的值，即通常所說的“知三求三”，若同一個三角形中條件少于三個，三角形則為動態(tài)三角形，試題往往變成求邊或角的最值問題，本文所呈現(xiàn)的試題便是此類型，

視角1（向量+三角代換法）本題是解三角形中較為熟知的基本圖形一一爪子型三角形，給出條件為底邊的分點情形，容易聯(lián)想到線段的定比分點，采用向量法處理．

關(guān)于此類型問題的多種解答，有興趣的讀者可以參見文[2]，在視角1中，本文著重介紹“和差術(shù)”在這種題型中的應(yīng)用．約束條件m2+n2一mn=9的困難之處在于存在混合項mn，使得條件難以用一個量去表示另外一個量，于是“化雙變量為單變量”的消元思想在此處變得困難，聯(lián)想到平方差公式的結(jié)構(gòu)，

視角2 （平面幾何法）解三角形的試題難在所給條件往往分散在不同的三角形之中，要求學生學會通過條件的化歸，實現(xiàn)多個條件回歸到同一個三角形，考查解三角形問題往往都不是以單一知識呈現(xiàn)的，經(jīng)常與面積、角平分線、中線，三角形“四心”交匯，甚至呈現(xiàn)具有平面幾何或競賽背景的試題，因此涉及面非常廣，

試題以考查學生綜合運用各板塊知識解決問題的能力，如向量法、解析法、三角代換法和各種幾何定理，如中線定理、角平分定理、斯特瓦爾特定理、托勒密定理等，解題中滲透方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想等，注重考查數(shù)學運算、邏輯推理和直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)，

解后反思本文選擇四種處理動態(tài)三角形最值問題的典型辦法，方法側(cè)重從題目中挖掘隱含條件找到突破口，實現(xiàn)問題解決的目的．文[1]則側(cè)重從試題背景角度探尋約束條件下最值問題的八種解法，反觀上述解法不論是通過幾何直觀還是軌跡法求方程，均可得出點A的軌跡是圓．問題轉(zhuǎn)化成求解與圓相關(guān)的最值；圓可看作是動點運動形成的軌跡，是動點按照有序的規(guī)律組合形成的圖形，其上每一點都有參數(shù)坐標，即為圓的參數(shù)方程，因此視角1的三角代換可認為是參數(shù)方程的另外形式，本題中涉及到“隱形圓”的試題背景，挖掘試題的本質(zhì)特征，“圓”來如此絕妙．

參考文獻

[1]李洪雙．不同的視角同樣的精彩一一一道高三模擬試題的解法研究[J]．福建中學數(shù)學，2020 （10）：39-41

[2]張國川．例談不同背景下的同類二次約束條件的最值問題[J]．福建中學數(shù)學，2012 （04）：36-38