仿射變換視角下橢圓的極點(diǎn)極線

王昌林 邵星峰

橢圓是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)十分重要的知識(shí)點(diǎn)，與橢圓的極點(diǎn)極線有關(guān)的性質(zhì)與推論在已有的文獻(xiàn)中的證明方式都顯得較為繁瑣，文1介紹了極點(diǎn)極線的概念與部分性質(zhì)，但證明不詳細(xì)；文2-3給出了新的推論并給出了詳細(xì)的證明，但過(guò)程較為繁瑣且不易理解．運(yùn)用仿射變換將橢圓變換成圓，在圓中來(lái)研究與橢圓有關(guān)的性質(zhì)，可以較好的解決證明過(guò)程繁瑣且不易理解的問(wèn)題．

1極點(diǎn)極線的定義

1.1幾何定義

如圖1，點(diǎn)P為不在橢圓上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引兩條割線依次交橢圓于E，F(xiàn)，H，G，連接EH，F(xiàn)G交于Ⅳ，連接GE，HF交于點(diǎn)M，則直線MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線，若點(diǎn)P為橢圓上的點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P的切線為極線[l]．

同理可知：PM為點(diǎn)Ⅳ所對(duì)應(yīng)的極線；PN為點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的極線，其中MNP為自極三點(diǎn)形，得到，仿射變換有：（1）仿射變換把直線變成直線；（2）仿射變換把平行直線變成平行直線；（3）仿射變換保持共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)單比值不變；（4）仿射變換把共線的三點(diǎn)變成共線的三點(diǎn)，把不共線的三點(diǎn)變成不共線的三點(diǎn)；（5）仿射變換把線段變成線段，并保持線段的分比不變；（6）仿射變換按同一比值改變平面上所有（有面積的）圖形的面積等性質(zhì)[4]．根據(jù)仿射變換的原理，以下的性質(zhì)與證明皆是將橢圓的極點(diǎn)與極線都看作是圓的極點(diǎn)與極線．

3 性質(zhì)與證明

性質(zhì)1 （1）當(dāng)點(diǎn)JP在橢圓上時(shí)，其極線，是橢圓在點(diǎn)P處的切線．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在橢圓外時(shí)，其極線，是點(diǎn)P向橢圓所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）．

（3）當(dāng)點(diǎn)P在橢圓內(nèi)時(shí)，其極線，是橢圓過(guò)點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)出的切線交點(diǎn)的軌跡．

縱觀近20年的高考題，從2001年的全國(guó)卷理科19題開(kāi)始就有了以極點(diǎn)與極線為背景的高考試題，其中2010年江蘇卷理科18題與2020全國(guó)I卷理20題最為類(lèi)似，是名副其實(shí)的姊妹題，例1和例2是與極點(diǎn)和極線有關(guān)的定點(diǎn)類(lèi)問(wèn)題，例3是與極點(diǎn)和極線有關(guān)的定值類(lèi)問(wèn)題，根據(jù)極點(diǎn)和極線的定義與性質(zhì)，解答過(guò)程十分簡(jiǎn)潔，雖然極點(diǎn)與極線在高考解答過(guò)程中不能直接使用，但其確是一個(gè)快速判斷正確答案的好辦法，有助于學(xué)生在解答時(shí)明確答題方向，優(yōu)化解答和運(yùn)算過(guò)程，值得關(guān)注，

參考文獻(xiàn)

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