關注統(tǒng)計概念形成提升學生思維能力

劉秀妹 孫道斌

新課程實施以來，教師的教學理念得到了更新和轉(zhuǎn)變，但是，在一些統(tǒng)計課教學中，“突出統(tǒng)計運算，淡化統(tǒng)計意識的形成”的現(xiàn)象仍然普遍存在，大多數(shù)教師會直接給出概念或公式，然后讓學生通過反復的訓練來強化記憶相關的公式和概念，硬是將學生知識的獲得建立在“灌輸和操練”的基礎之上了．這些做法實際上是將隸屬于“統(tǒng)計”的概念連同公式一起混同在“數(shù)與代數(shù)”課程領域之中了，它與《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準（2011年版）》）對該主題的學習定位是相悖的，《標準（2011年版）》明確將“數(shù)據(jù)分析觀念”作為核心概念之一[1]，也就是說，在初中階段學生學習“統(tǒng)計”的核心目標就是發(fā)展“數(shù)據(jù)分析觀念”，因此，學習時一定要讓學生經(jīng)歷統(tǒng)計工作的完整過程，盡量淡化課程設計中的統(tǒng)計運算，突出統(tǒng)計意識的形成[2]．基于以上的理解和思考，筆者對“6.4數(shù)據(jù)的離散程度（1）”（北師大版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級上冊）教學進行了有益的探索和新的嘗試，旨在讓學生知道為什么要學習方差，方差計算程序是怎么來的，進而揭示方差的本質(zhì)，讓學生經(jīng)歷方差概念學習的形成過程，提升學生的數(shù)據(jù)分析觀念和思維能力，現(xiàn)將這節(jié)課的教學設計呈現(xiàn)如下，并解讀立意，以供研討．

1 教學設計

1.1設置情境，引發(fā)沖突

師：在統(tǒng)計學中，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是用來描述數(shù)據(jù)集中趨勢的三個特征量，除此之外，還有一類用來刻畫數(shù)據(jù)波動（離散）程度的特征量．本節(jié)課，我們將在新的實際問題情境中，來了解這類“特征量”的統(tǒng)計意義并用其解決實際問題．

問題1為了提高農(nóng)副產(chǎn)品的國際競爭力，一些行業(yè)協(xié)會對農(nóng)副產(chǎn)品的規(guī)格進行了劃分，某外貿(mào)公司要出口一批規(guī)格為759的雞腿，現(xiàn)有2個廠家提供貨源，它們的價格相同，雞腿的品質(zhì)也相近．

質(zhì)檢員分別從甲、乙兩廠的產(chǎn)品中抽樣調(diào)查了20只雞腿，它們的質(zhì)量（單位：g）如下：

甲廠：75， 74， 74， 76， 73， 76， 75， 77， 77，74， 74， 75， 75， 76， 73， 76， 73， 78， 77， 72;

乙廠：75， 78， 72， 77， 74， 75， 73， 79， 72，75， 80， 71， 76， 77， 73， 78， 71， 76， 73， 75.

把這些數(shù)據(jù)表示成下圖：

如果只考慮雞腿的規(guī)格，根據(jù)這些數(shù)據(jù)你認為外貿(mào)公司應購買哪家公司的雞腿？說明你的理由，

追問1：外貿(mào)公司購買哪家公司的雞腿，可用什么量來描述？請計算后說明？

師生活動：受前面知識及思維習慣的影響，學生容易用平均數(shù)描述．教師引導學生思考、闡明自己的看法，學生很快計算出甲、乙兩廠產(chǎn)品的平均質(zhì)量（平均數(shù)）分別是x甲= 75g；x乙=75 g．教師引導學生畫出表示平均質(zhì)量的直線，如圖2．

追問2：這個結果說明了什么？

師生活動：學生很容易得出甲、乙兩廠產(chǎn)品的平均質(zhì)量相同，都與規(guī)定的規(guī)格相同，教師引導學生繼續(xù)思考，學生意識到，用平均數(shù)不能解決問題．

追問3：既然甲、乙兩廠產(chǎn)品的平均質(zhì)量都與規(guī)定的規(guī)格相同，換言之，僅憑“平均數(shù)”這個統(tǒng)計特征量不能解決問題．看來要確定外貿(mào)公司會購買哪家公司的雞腿，得采用新“衡量標準”重新選擇，那么用來描述這個“衡量標準”的量又是什么呢？

師生活動：學生積極思考．教師順勢引導，平均數(shù)描述的是一組數(shù)據(jù)的集中程度，由圖2可以看出，甲、乙兩廠的數(shù)據(jù)分布情況并不能用平均數(shù)來解釋，它們是分散在“質(zhì)量平均線”上下方的，像大大小小的波浪，波峰和波谷大小不一，這就是數(shù)據(jù)的波動性．引出追問4．

迫問4：從甲廠抽取的這20只雞腿質(zhì)量的最大值是多少？最小值又是多少？它們相差幾克？從乙廠抽取的這20只雞腿質(zhì)量的最大值又是多少？最小值呢？它們相差幾克？

師生活動：在學生討論交流的基礎上，教師結合實例給出極差的概念：極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差．說明它是刻畫數(shù)據(jù)離散程度（波動性）的一個統(tǒng)計量．

追問5：這是不是說甲、乙兩廠產(chǎn)品的質(zhì)量一樣好？

師生活動：學生積極思考，很快算出甲廠的極差是6g，乙廠的極差是9g，得出甲廠產(chǎn)品的質(zhì)量好，教師引導學生，結合圖2進行說明，外貿(mào)公司之所以購買甲廠產(chǎn)品，是因為從甲廠產(chǎn)品中抽查的雞腿質(zhì)量數(shù)據(jù)的極差較小，并集中分布在平均質(zhì)量線附近，說明它的波動性較小，即一組數(shù)據(jù)的極差越小，這組數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．

設計意圖通過實際問題情境讓學生感受僅有平均水平是很難對所有事物進行分析，它需要刻畫數(shù)據(jù)的波動性，從而讓學生感受到研究數(shù)據(jù)波動性的必要性，順利引入研究數(shù)據(jù)的其它量度：極差．

問題2如果丙廠也參與了競爭，從該廠抽樣調(diào)查了20只雞腿，它們的質(zhì)量數(shù)據(jù)如圖3．

（1）丙廠這20只雞腿質(zhì)量的平均數(shù)和極差分別是多少？

（2）如何刻畫丙廠這20只雞腿的質(zhì)量與其平均數(shù)的差距？分別求出甲、丙兩廠的20只雞腿質(zhì)量與其相應平均數(shù)的差距．

（3）在甲、丙兩廠中，你認為哪個廠的雞腿質(zhì)量更符合要求？為什么？師生活動：學生很快求出丙廠這20只雞腿質(zhì)量的平均數(shù)和極差分別是75.1g，7g，這與甲廠雞腿質(zhì)量的平均數(shù)、極差相近．學生繼續(xù)思考在甲、丙兩廠中，哪個廠的雞腿質(zhì)量更加符合要求，教師引導學生觀察表1中甲廠和圖3乙廠圖形的數(shù)據(jù)分布情況．學生幾經(jīng)討論都不能斷定該如何解釋．

設計意圖設置知識產(chǎn)生的背景，激活學生的求知欲望，使學生成為探求知識的主人．進而通過對丙廠與甲、乙兩廠的對比發(fā)現(xiàn)，讓學生深刻地意識到，有了極差還不能準確刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度，于是學生急于想解決但僅憑已有的知識又無法解決，這就造成了認知上的“沖突”，為引入方差做好了心理上的準備．

1.2經(jīng)歷過程，形成概念

師：當兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、極差相等或接近時，我們不好說哪組數(shù)據(jù)波動大，這就需要我們獨創(chuàng)一個新的特征量來衡量兩組數(shù)據(jù)的波動大小．

問題3在甲、丙兩廠中，當比照對象“平均數(shù)”相同或接近（即一般水平相同或接近）時，我們要考慮這組數(shù)據(jù)的離散程度，即兩廠雞腿質(zhì)量的穩(wěn)定程度，但此時“極差”也接近，無法作出決策，那還有沒有什么“量”能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度呢？

師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，教師順勢引導．學生小組討論片刻后，有學生說，求每個數(shù)據(jù)與其平均數(shù)差（簡稱“偏差”）的和，通過計算發(fā)現(xiàn)，甲、丙兩組數(shù)據(jù)偏差的和都等于0．

追問1：什么原因造成累加之和為0呢？

師生活動：教師引導學生回顧計算的過程，學生很快發(fā)現(xiàn)，這些偏差相加，正負相互抵消，

追問2：怎樣做才能保證這些“偏差”相加，不會造成正負相互抵消呢？

師生活動：學生探求的熱情加上教師的精心引導，思維活躍了，各種想法涌上來，幾經(jīng)篩選，有兩個方案，各偏差先取絕對值再相加，或各偏差先平方再相加，第一種方案，學生算出：甲廠數(shù)據(jù)偏差的絕對值之和為26，丙廠數(shù)據(jù)偏差的絕對值之和為37，因為37>26，所以甲廠數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)“穩(wěn)定”；第二種方案，學生算出：甲廠數(shù)據(jù)偏差的平方之和為50，丙廠數(shù)據(jù)偏差的平方之和為88，因為88>50，所以甲廠數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)“穩(wěn)定”，教師進一步指出，雖然第一種方案在涉及具體數(shù)據(jù)時較方便，但由于“各偏差先取絕對值再相加”的計算必須依靠絕對值的存在，不適合進一步的代數(shù)運算，不利于進一步的統(tǒng)計分析，由此，我們重點研究第二種方案，即“各偏差先平方再相加”的計算方法，

追問3：我們采納先把各偏差平方再相加的方法，這個“和”不妨用符號y來表示，請同學們計算y甲，y甲·

師生活動：學生很快算出y= 50，y丙=88，顯然y甲

設計意圖緊張的探索與思考讓學生取得了階段性成功，這容易讓學生松懈，一旦松懈下來，思維便會停止不前，這時需要一鼓作氣，通過再一次設計新的問題情境來“刺激”他們，以便乘勝追擊．

問題4當我們用新設計的特征數(shù)y理直氣壯地衡量甲廠與丙廠的雞腿質(zhì)量時，丙廠卻提出了一個條件：仍從我廠產(chǎn)品中抽查20只雞腿，但要從甲廠的產(chǎn)品中抽查100只雞腿，同學們是否答應？

師生活動：學生馬上表示反對，盡管甲廠產(chǎn)品的質(zhì)量數(shù)據(jù)偏差小，較均勻，但多個累加共和必然增大，會導致y甲>y丙，結論會與事實相反．

追問1：看來我們的特征數(shù)y還不完善，它受樣本容量的影響，換言之，如果兩組數(shù)據(jù)的樣本容量不同，樣本容量大的其和的值就會相對大，比較兩組數(shù)據(jù)的離散程度時就會因為個數(shù)不同而不科學，有沒有辦法來改進這個量，使其科學公平呢？

師生活動：學習熱情再一次被激發(fā)，學生努力搜集原有的知識經(jīng)驗，幾經(jīng)爭鋒，確定兩個方法：一是取相同容量的數(shù)據(jù)，二是求各偏差平方和的平均數(shù)．教師順勢引導，學生充分討論，同意采納后者來衡量一組數(shù)據(jù)波動的大小．

追問2：我們將采用“偏差平方和的平均數(shù)”這個量來刻畫一組數(shù)據(jù)的離散（波動）程度，同學們能否給這個量命個名字？

追問4：在實際應用中，用方差來描述數(shù)據(jù)的離散程度時，由于計算中進行了平方，從而可能放大該組數(shù)據(jù)離散的程度，并且其單位與原來數(shù)據(jù)的單位不一致，你能繼續(xù)改進這個量嗎？

師生活動：學生積極思考，很快得出求方差的算術平方根，因為開平方和平方相互抵消．教師順勢給出標準差概念就是方差的算術平方根，用“s”表示．教師指出，用標準差刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度更精確、客觀．進一步說明標準差的單位與已知數(shù)據(jù)的單位相同，使用時應當標明單位；方差的單位是已知單位的平方，使用時可以不標明單位，

問題5分析方差公式，你發(fā)現(xiàn)用方差刻畫一組數(shù)據(jù)的波動大小時有什么規(guī)律嗎？請分別計算甲、丙兩廠雞腿質(zhì)量的方差進行驗證，

師生活動：學生結合甲、丙兩廠的數(shù)據(jù)分布圖與方差計算公式，分組討論．教師聽取學生的意見，引導學生分析，找出規(guī)律：當數(shù)據(jù)分布比較分散（數(shù)據(jù)在平均數(shù)附近波動較大）時，各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的平方和較大，方差就越大，反之亦然，即：一組數(shù)據(jù)的方差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定，學生分組計算后，進一步感受方差描述數(shù)據(jù)波動大小的合理性，理解用方差刻畫一組數(shù)據(jù)波動大小的合理性．兩組數(shù)據(jù)的方差分別是：

顯然s甲

設計意圖選取一個實際問題作為探究的線索，完整地展示“發(fā)現(xiàn)問題、尋找解決方法、不斷完善方法”的過程，學生對概念的形成不僅身臨其境，而且還讓學生經(jīng)歷了“分析數(shù)據(jù)”的一個完整過程，從而使一個冗長難懂的概念變得清晰合理，就這樣，在教師層層引導下，學生知道了為什么要引入方差，在引入方差過程中為什么要“先平均，再作差，然后平方，最后再平均”，在這一系列問題都解決后，方差的概念也就清晰了．更重要的是，通過這樣的引導，學生除了能更輕松、自然地掌握方差概念之外，還經(jīng)歷了一次充滿探究解決問題的過程．這個過程，是學生學習數(shù)學中收獲的最主要、本質(zhì)的能力，即數(shù)據(jù)分析這一數(shù)學核心素養(yǎng)．

1.3應用概念，解決問題

師：請用你所學統(tǒng)計知識，解決下面的問題，并說明理由．

問題6甲、乙兩支儀仗隊隊員的身高（單位：cm）如下：

甲隊：178， 177， 179， 179， 178， 178， 177，178， 177， 179；

乙隊：178， 177， 179， 176， 178， 180， 180，178， 176， 178．

哪支儀仗隊隊員的身高更整齊？怎么判斷？

追問1：題目中“整齊”的含義是什么？思考在這個問題中要研究一組數(shù)據(jù)的什么特征？

追問2：在求方差之前先要求哪個統(tǒng)計量？

追問3：你能總結用方差估計數(shù)據(jù)波動程度的步驟嗎？

師生活動：教師引導學生分析題意，板書解題過程，學生思考問題，并和教師一起計算、判斷、解決問題，同時提出問題：我們在什么情況下才會比較方差？進一步加深學生對方差的理解．

設計意圖該例題是關于方差的定義和方差的意義的實際應用，通過該例題，讓學生進一步理解方差的意義，進一步熟悉公式的計算過程：先計算平均數(shù)，再作差，然后平方，最后再平均，進而規(guī)范解題格式和步驟．

1.4 歸納小結，拓展升華

師：今天我們學習了刻畫數(shù)據(jù)離散程度的三個“特征量”，請大家結合下面幾個問題，一塊回顧下．

問題6 （1）方差是反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的，極差也是反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的，極差計算方便，方差計算復雜，學習了極差為什么還要學方差？ （2）方差如何計算？方差的大小和數(shù)據(jù)的波動程度有何關系？如何理解方差的意義？ （3）回顧方差概念的學習，你經(jīng)歷了一次怎樣的探究、解決問題的過程？ （4）除了極差、方差和標準差，還有沒有其他數(shù)據(jù)可以刻畫數(shù)據(jù)的離散程度？思考不使用這些數(shù)據(jù)的原因．（5）教材的例題，練習中比較兩組數(shù)據(jù)的離散程度時的兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都相同，請問比較兩組數(shù)據(jù)方差時一定要平均數(shù)相同嗎？ （6）對知識的理解，很大程度上是關注有關概念在實際問題情境中的意義，對于平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標準差等概念，你是否能夠區(qū)分它們在具體情境中的意義？

師生活動學生先談一談本節(jié)課的收獲，教師再加以總結，并用框圖1，2梳理統(tǒng)計相關概念的知識系統(tǒng)，形成對相關知識的結構性理解．

設計意圖設置這些問題，意在讓學生暢所欲言，共同交流．這不僅僅對本節(jié)課所學知識、思想方法進行總結，還可以交流自己在學習過程中的一些感受，最終的目的是發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)（數(shù)據(jù)分析），增強學生的反思意識，進一步讓學生認識數(shù)據(jù)離散程度的意義和影響．

1.5布置作業(yè)，深化提高

必做題：課本習題6.5第1，2，3題．

選做題：課本習題6.5第4題．

拓展題請用方差來解釋“共同富裕”，并談談方差對教育的啟示，

設計意圖適量課外作業(yè)可以加強學生對所學知識的鞏固，防止知識遺忘，而作業(yè)設置三個梯度，是為了滿足不同層次學生的需要，作業(yè)分層布置，真正實現(xiàn)“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”．

2 設計說明

本節(jié)課的設計理念是以現(xiàn)實問題為知識背景，圍繞如何構造方差展開探究嘗試，以理解數(shù)學的本質(zhì)為前提，以解決問題為知識線索，以培養(yǎng)數(shù)學思維能力為重點，以激發(fā)求知欲和好奇心為關鍵，讓學生了解了用來刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的三個新“特征量”產(chǎn)生的背景和應用，體驗了數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，在教學環(huán)節(jié)的設計上，摒棄了“灌輸和操練”，也不再單純的依賴于記憶和套路，而是通過問題引導學生主動學習，這不但體現(xiàn)了教師為主導、學生為主體的教學原則，而且還實現(xiàn)了培養(yǎng)學生科學的探究精神和創(chuàng)造能力的目標，教與學的過程，始終以問題展開新知探究，并不斷地通過追問以問題鏈的形式引導學生從知識的發(fā)生、發(fā)展處尋根求源，如此設計既有生命能量，又能觸發(fā)學生更深的思考，從而使一個陌生繁雜的概念變得清晰直觀，達到對概念的正確認識，有效地克服了難點，培養(yǎng)了學生良好的學習動機和濃厚的學習興趣．

由此可見，“統(tǒng)計”概念課的教學設計，教師同樣不應該只告訴學生“做什么”和“怎么做”，更應該讓他們知道“為什么”．只有遵循“統(tǒng)計”的課程理念，發(fā)展數(shù)據(jù)分析的數(shù)學核心素養(yǎng)，認真研讀教材，關注概念的形成過程，才能真正做到以生為本，激活學生思維，進而設計有效乃至高效的教學方案．

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定，義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S]．北京：北京師范大學出版社，2012

[2]義務教育課程標準修訂組．義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）解讀[M]．北京：北京師范大學出版社，2012