一個有趣的平面N 點組的構造

重慶市長壽龍溪中學 吳 波（郵編：401249）

1 問題的提出

在某奧數群中，一位老師提出如下4 個有趣問題：

問題1 對任意正整數n(n≥3)，在平面上是否存在n個點：其中任兩點之間的距離均為有理數，且任三點不共線，而以其中任意三點為頂點的三角形的面積也均為有理數？

問題2 對任意正整數n(n≥3)，在平面上是否存在n個點：其中任兩點之間的距離均為無理數，且任三點不共線，而以其中任意三點為頂點的三角形的面積也均為無理數？

問題3 對任意正整數n(n≥3)，在平面上是否存在n個點：其中任兩點之間的距離均為無理數，且任三點不共線，而以其中任意三點為頂點的三角形的面積均為有理數？

問題4 對任意正整數n(n≥3)，在平面上是否存在n個點：其中任兩點之間的距離均為有理數，且任三點不共線，而以其中任意三點為頂點的三角形的面積均為無理數？

關于問題1，我們早有答案：

定理1[1]對任意正整數n(n≥3)，在單位圓上存在這樣的n個點：其中任意兩點間的距離是有理數，且以其中任意三點為頂點的三角形的面積也都是有理數.

圓上任意三點顯然不共線，所以，問題1 的回答是肯定的.需要說明的是：對定理1 中的n點組，如果作適當的相似放大，諸有理數都可放大為整數.從而推出關于Heron 三角形的一個有趣結論[1]：

對任意給定的正整數n(n≥3)，存在這樣的圓，它上面有這樣的n個點：以其中任意三點為頂點的三角形都是Heron 三角形.

若將定理1 的平面n點組放大π 倍，則其中任兩點間的距離也放大π 倍——變成了無理數，而其中任三點為頂點的三角形的面積將放大π2倍——也變成了無理數，這樣得到的即是滿足問題2 條件的n點組.

那么滿足問題4 條件的平面n點組存在嗎？如果存在，如何構造出來呢？

本文中我們就將解決這個問題.

2 預備知識

先介紹文獻[2]中的相關知識.

定義1[2]a, e∈N+，如果a2∣e，則a叫做e的平方因子(顯然1 是任何正整數的平方因子).如果除1 外e沒有其它的平方因子，我們就說e是無平方因子數，或者說e無平方因子.比如1，2，3，5，6…等就是無平方因子數.

結合引理2 及定義2 即知：sinθ∈F(e)，cosθ∈Q. 證畢.

3 問題的解決

我們的思路是將文獻[2]中的上述結果與文獻[1]的方法結合起來，用構造法將定理1 推廣為：

定理2e是給定的無平方因子數，則對任意給定的正整數n(n≥3)，在圓x2+y2=e上存在這樣的n個點：其中任兩點之間的距離均為有理數，而以其中任三點為頂點的三角形的面積∈F(e).

結合引理2 和定義2 知：

sin4βi∈F(e)，cos4βi∈Q(i=1,2,3,…,n).

又，對任意j,k,l∈{1,2,3,…,n}(j,k,l兩兩不等)，由解析幾何知識知：△MjMkMl的面積(外層“││”為絕對值符號)

結合引理2 知：上面行列式中的所有9 個元素均為有理數，則將它展開后其值必為有理數.再結合定義2 可知S∈F(e).

下面證明其中任兩點間的距離為有理數.

對任意k,l∈{1,2,3,…,n}且k≠l，由兩點間距離公式有

其中sin2(βk-βl) = sin2βkcos2βl-cos2βksin 2βl，而前面已證：

sin2βi∈F(e)，cos2βi∈Q(i=1,2,3,…,n).

結合定義2 和引理2 即知：sin2(βk-βl)∈F(e).

由此并結合引理2 即知：

這樣我們就全部解決了本文開頭提到的4 個問題.而對于問題的空間推廣問題，無疑是一個有趣而又十分困難的問題.