重視綜合解法 領(lǐng)悟思想策略 提升學(xué)生素養(yǎng)
——例談立體幾何試題的解答與思考

安徽省合肥市第四中學(xué) 鄭 良（郵編：230601）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》中指出高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析. 立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在培養(yǎng)與考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)中發(fā)揮著不可或缺的作用.其中直觀想象素養(yǎng)包含空間想象能力、直觀洞察能力及用圖形語(yǔ)言來(lái)思考問(wèn)題的能力，教學(xué)中應(yīng)在直觀想象的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，借助幾何直觀把復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明形象. 立體幾何問(wèn)題的解法包括傳統(tǒng)幾何法和空間向量法，空間向量法又可分為坐標(biāo)法和基底法. 傳統(tǒng)幾何法解題主要考查空間想象能力，而難一點(diǎn)的題目，思維難度通常要求較高，輔助線學(xué)生難以作出，坐標(biāo)法解題過(guò)程較程序化. 空間向量法的引入，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，可以借助向量法的運(yùn)算，程序化地“算出”幾何的結(jié)果，減少了復(fù)雜的思維和推理過(guò)程，為空間感較弱的學(xué)生提供了“救命稻草”，因而備受師生們的青睞，建系已經(jīng)成為解決立體幾何問(wèn)題的一種常用方法. 坐標(biāo)法運(yùn)用的前提是建系并標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)，但有時(shí)不易建系，或建系后不易直接求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，有時(shí)也不清楚利用點(diǎn)的坐標(biāo)求得的方程表示的幾何意義等等. 因此，利用坐標(biāo)法有時(shí)能降低難度，使學(xué)生更容易上手；有時(shí)可能會(huì)增加難度，讓問(wèn)題更加撲朔迷離. 下面以高三復(fù)習(xí)檢測(cè)中部分立體幾何試題為載體，給出簡(jiǎn)答，剖析學(xué)生困惑與“錯(cuò)誤”，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐給出思考與建議.

1 試題分析

1.1 幾何體的外接球問(wèn)題

高中數(shù)學(xué)一般不會(huì)直接求球的方程，而是求球的相關(guān)度量，如球心到截面圓的距離、截面圓的半徑或面積，球的表面積與體積等. 若求球的半徑，主要有兩種方式：（1）先確定球的球心再確定球的半徑；（2）構(gòu)造模型直接求出球的半徑.

圖1

圖2

評(píng)析本題可在直線l（到A,B,C距離相等的點(diǎn)的軌跡）上取點(diǎn)O利用OA=OD求解，不重不漏，但過(guò)程繁瑣. 解法1 借助RtΔACB和RtΔACD確定四面體ABCD外接球的球心，重復(fù)使用A,C點(diǎn)，以退為進(jìn)更快確定O的位置，本質(zhì)為交集思想方法的靈活運(yùn)用. 解法2 為坐標(biāo)法，運(yùn)算量大.

1.2 截面問(wèn)題

在立體幾何中，截面是指用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體(包括圓柱，圓錐，球，棱柱，棱錐、長(zhǎng)方體，正方體等等)得到的平面圖形. 在立體幾何中將一個(gè)“平面（圖形）”放大的常用方式有兩種：一是將其中一條或兩條直線延伸，二是過(guò)平面的一點(diǎn)，作平面內(nèi)某一條直線的平行線. 另外，作截面涉及到直線與平面的交點(diǎn)，這通常轉(zhuǎn)化為直線與直線的交點(diǎn)，因此截面問(wèn)題可綜合考查直線與平面之間的位置關(guān)系.

例2 （合肥市2022 年高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)第12 題）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，P為三棱柱表面上一動(dòng)點(diǎn)，若CP=B1P，則P點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（ ）

圖3

圖4

點(diǎn)評(píng)解法1 將三棱柱還原為正方體，利用正方體的截面確定該三棱柱的截面，事半功倍；解法2 為坐標(biāo)法，確定平面EFGHIJ的方程后，還需利用公理（基本事實(shí)）才能確定線段MN. 對(duì)于特殊情況，綜合法常常簡(jiǎn)捷，對(duì)于一般情況，往往坐標(biāo)法更快捷，但有時(shí)挖掘代數(shù)形式方程的幾何意義也不容易. 當(dāng)題目給出的圖形不能直接判斷是什么樣的幾何體，往往是命題人通過(guò)截取幾何體的一部分呈現(xiàn)出來(lái)，考查空間想象能力. 為了解題時(shí)抓住本質(zhì)，使問(wèn)題的解決有依托，可以把它補(bǔ)充完整，使它成為我們常見的幾何體.

1.3 空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系

空間基本圖形的位置關(guān)系問(wèn)題是立體幾何的核心內(nèi)容，其中又以直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直問(wèn)題為重點(diǎn).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》明確要求“立體幾何初步”的學(xué)習(xí)，可以以長(zhǎng)方體為載體，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系. 表述平行、垂直的性質(zhì)與判定時(shí)，大多也是從長(zhǎng)方體開始的. 立體幾何中的基本圖形有長(zhǎng)方體、直三棱柱、正三棱錐、球、圓錐等. 弄清基本圖形的性質(zhì)與相互關(guān)系是前提，然后對(duì)基本圖形進(jìn)行改造，深化對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)與理解.

例3 （合肥市2022 年高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)第16 題）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AD的中點(diǎn)，設(shè)平面A1BC1與平面CC1E的交線為l，則直線l與BE所成角的余弦值為______.

圖5

圖5

點(diǎn)評(píng)解法1 用公理確定直線l，解法2 用平面向量基本定理確定直線l. 由于本題求解兩條異面直線所成的角，只與其方向有關(guān)而與具體位置無(wú)關(guān)，解法3 從平面的法向量角度確定直線l的方向向量.

1.4 圖形的折疊問(wèn)題

把一個(gè)平面圖形按某種要求折起，轉(zhuǎn)化為空間圖形，進(jìn)而研究圖形在位置關(guān)系與數(shù)量上的變化，這就是翻折問(wèn)題. 立體幾何折疊問(wèn)題從知識(shí)和方法層面可以有效地考查空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，以及空間角、空間距離、空間體積、面積等，從能力和素養(yǎng)層面可以有效地考查對(duì)空間圖形的觀察與分析、對(duì)比與想象等數(shù)學(xué)能力，有助于發(fā)展直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng). 翻折過(guò)程使得平面圖形變成空間立體圖形，我們需要抓住一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，就是同一平面內(nèi)的元素信息不發(fā)生變化.

例4 如圖6，在直角梯形MBCD中，MB //CD，BC⊥CD，MB=2BC=2CD=2，A是MB的中點(diǎn)，將△MAD沿AD折起，使得點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)P處，且平面PAD⊥平面ABCD，連接PB，PC，如圖7，E是線段PB的中點(diǎn).F,G,H分別在線段AE,PC,AC上運(yùn)動(dòng)，則FG+GH的最小值為（ ）

圖6

圖7

解法1 由題意可知，平面PAB⊥平面PBC，過(guò)點(diǎn)G作GF1⊥PB，則GF1⊥平面PAB；過(guò)點(diǎn)G作GH1⊥AC，則GH1⊥平面ABCD. 如圖8 所示，則FG+GH≥GF1+GH1≥H1F1=1. 當(dāng)且僅當(dāng)F與E重合，G,H分別為線段PC，AC的中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.

圖8

評(píng)析解法1 為綜合法，本題中AE⊥平面PBC，連接EG，則一定有AE⊥GE，此時(shí)確定F即為點(diǎn)E，對(duì)于任意一點(diǎn)G，當(dāng)且僅當(dāng)GH⊥AC時(shí)，GH最小，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)G到點(diǎn)E和線段AC的距離之和最小問(wèn)題. 解法2 為坐標(biāo)法，由于λ,γ均與μ有關(guān)，故先固定μ，利用非負(fù)性逐步放縮. 部分學(xué)生采用解法2，無(wú)法求出函數(shù)的最值.

2 思考與建議

2.1 重視理解數(shù)學(xué)概念 明晰定理功能作用

數(shù)學(xué)概念乃是現(xiàn)實(shí)世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系及其特有的屬性（或本質(zhì)屬性）在人的思維中的反映. 每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都有其確定的內(nèi)容和含義. 為了正確地刻畫每一概念的內(nèi)容和含義，概念之中必然地存在幾個(gè)關(guān)鍵詞反映了這一概念的本質(zhì)屬性. 因此，在概念的教學(xué)中要注意強(qiáng)調(diào)概念中關(guān)鍵詞的意義. 如異面直線、截面等的定義. 由于在解答或證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，定理有時(shí)會(huì)起到極其重要的“橋梁”作用，有時(shí)也是作圖和添加輔助線的重要依據(jù). 因此，我們必須重視定理的教學(xué). 要使學(xué)生透徹地理解定理、掌握定理、活用定理，我們必須做到：第一講清定理的條件和結(jié)論. 第二講清定理的證明方法. 第三講清定理的作用及適用范圍. 同時(shí)還要構(gòu)建定理之間的聯(lián)系，進(jìn)而構(gòu)建立體幾何的邏輯與結(jié)構(gòu). 如例2中內(nèi)切球的概念是確認(rèn)內(nèi)切球存在的唯一標(biāo)準(zhǔn)，例6 中兩個(gè)平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理等.綜合法往往通過(guò)作輔助線構(gòu)建不同對(duì)象之間的聯(lián)系，而定理為圖形作輔助線指明方向.

2.2 強(qiáng)化挖掘問(wèn)題背景 領(lǐng)悟思想優(yōu)化方法

數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)，復(fù)雜的問(wèn)題要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竊. 教學(xué)時(shí)，我們不能停滯于問(wèn)題答案的獲得，還要揭示出問(wèn)題的背景，從局部到整體；我們也要在整體中聚焦局部細(xì)微之處. 重視挖掘題目的來(lái)源，如課程標(biāo)準(zhǔn)中的案例、教材中的例題與習(xí)題、高考真題、競(jìng)賽題等，站在命題人的角度進(jìn)行構(gòu)造. 如例3 中，我們可從正方體的截面角度來(lái)認(rèn)識(shí)，又如例1 中確定三棱錐外接球的球心位置的方法等.

3.3 問(wèn)題解決（綜合法、向量基底法、坐標(biāo)法）三法并舉 綜合法優(yōu)先夯實(shí)根基

多數(shù)立體幾何試題都可以采用綜合法、向量基底法、坐標(biāo)法. 學(xué)生更喜歡用向量法，因?yàn)橄蛄糠◣缀跏浅绦蚧牟僮?，思維量比較少，導(dǎo)致學(xué)生不愿意花時(shí)間去審題，不想用綜合法去分析問(wèn)題.久而久之，立體幾何對(duì)學(xué)生的應(yīng)有培養(yǎng)功能得不到充分發(fā)揮. 從這些年的情況來(lái)看，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，這有違引入空間向量的初衷. 師生“淡化”綜合方法，突出坐標(biāo)法主要原因有兩個(gè)層面：（1）師生心理層面. 立體幾何是訓(xùn)練和考查學(xué)生空間想象能力最主要的載體，但在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，有相當(dāng)一部分學(xué)生缺乏基本的空間觀念，不能有效認(rèn)識(shí)立體幾何直觀圖，不能辨別圖中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，師生都期望通過(guò)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)彌補(bǔ)這個(gè)缺憾，從而在平時(shí)教學(xué)中過(guò)于強(qiáng)調(diào)用向量坐標(biāo)法解題（有的甚至只用向量坐標(biāo)法解題），導(dǎo)致習(xí)慣性用向量坐標(biāo)法求解立體幾何問(wèn)題.（2）知識(shí)能力層面. 因?yàn)閷W(xué)生缺乏較高的空間想象能力和扎實(shí)的立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)，不能有效地利用綜合法解題. 向量的通性通法，無(wú)論在教學(xué)上還是解題上都具有導(dǎo)向作用. 從教學(xué)的角度來(lái)看，向量結(jié)構(gòu)比度量結(jié)構(gòu)更為簡(jiǎn)單.而且在向量空間中，要遵守的規(guī)定的數(shù)量比歐氏幾何要少. 從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，運(yùn)用向量來(lái)解決問(wèn)題還是具有無(wú)可比擬的優(yōu)越性. 因此，在教學(xué)中要把握素養(yǎng)培養(yǎng)這個(gè)大方向，對(duì)立體幾何教學(xué)綜合法和向量法不能有所偏廢，要讓學(xué)生走出“向量萬(wàn)能”的誤區(qū)，優(yōu)先使用綜合法解題的意識(shí)，重視綜合法的講解與訓(xùn)練，因題而異，靈活選擇解題方法. 教師首先應(yīng)該在平時(shí)講題以身作則，給學(xué)生做好榜樣；其次，在學(xué)習(xí)綜合方法解決立體幾何后不應(yīng)急于向?qū)W生講授向量法，這樣不利于學(xué)生空間想象能力的提高；當(dāng)然不可避免地會(huì)遇到運(yùn)用綜合法出現(xiàn)解題困難，這需要老師和學(xué)生盡可能多地研究對(duì)策. 另外，在用向量法解決問(wèn)題后，應(yīng)養(yǎng)成繼續(xù)探求用傳統(tǒng)方法解題（驗(yàn)證）的好習(xí)慣. 在教學(xué)中通過(guò)典型例題引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比辨析，強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用綜合法解決立體幾何問(wèn)題的能力，讓學(xué)生在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)、解決問(wèn)題的過(guò)程中，提高學(xué)生的識(shí)圖能力、作圖能力、空間想象能力和邏輯推理能力，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).