雙正方形輝映 平分等腰共存
——2022 年安徽省中考第14 題研究

安徽省蚌埠市新城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校（郵編：233000）

安徽省蚌埠市第三實(shí)驗(yàn)學(xué)校金 婷（郵編：233000）

1 試題及答案

試題（2022 年安徽省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)第14題） 如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，EF,BF分別交CD于點(diǎn)M,N，過點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)G.連接DF，請完成下列問題：

圖1

簡解（1）通過證明△ABE≌△GEF，得到AB=GE，AE=GF，從而DG=GF；

（2）圖中包含等腰三角形、雙正方形及多組平行線,本題可通過構(gòu)建相似模型、勾股定理模型、面積模型和函數(shù)模型四個方面設(shè)計(jì)解題思路.

思路一 構(gòu)建相似

解法1 如圖2，延長BA，F(xiàn)E交于點(diǎn)H,則易得△AHE∽△GFE，

圖2

解法2 如圖3，延長GF，BC交于點(diǎn)H，

圖3

則易得FH⊥BH.

因?yàn)镈C//GF，

同理由△BCN∽△BHF，則

解法3 如圖4，過點(diǎn)F作FH⊥DC于H，則易得四邊形DHFG為正方形，所以DH=FH=DG=2，HC=1.DC//GF，

圖4

因?yàn)镕H//BC，易得△FNH∽△BNC，

圖5

圖6

思路二、勾股定理

解法6 如圖7，連接EN，

圖7

設(shè)CN＝x，則DN＝(3-x)，EN＝AE+CN=(x+2)（半角模型），

圖8

解法8 如圖9，過M做MH⊥BF于H,延長BC,GF交于點(diǎn)I.

圖9

設(shè)NH=a, 則MH=5a.因?yàn)椤鱉HF是等腰直角三角形,所以HF=MH=5a，NF=6a,

思路三、面積法

解法9 如圖10，連接EN，因?yàn)椤鱁FN和△MFN共高，所以

圖10

因?yàn)椤鰾EF和△EFN共底，所以

思路四、解析法

圖11

設(shè)直線lEF解析式為y=k2x+b2，

2 試題索源及研究

（1）教材索源

例1 人教版八下第69 頁復(fù)習(xí)題18 第14 題：

如圖12，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F. 求證AE=EF.（提示：取AB的中點(diǎn)G連接EG.）

圖12

上題點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，極其特殊，其實(shí)，如圖13 和14，對于邊BC所在直線上任意一點(diǎn)，均有AE=EF.

圖13

圖14

2022 年安徽卷第14 題選擇點(diǎn)E是邊的三等分點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì).

（2）命題研究

教材其實(shí)給出了以下命題的特例：

命題1 點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC所在直線上異于B,C的點(diǎn)，EF⊥AE，交∠BCD的外交平分線于點(diǎn)F，則△AEF是等腰直角三角形.

其實(shí)該命題的逆命題也成立.

命題2 點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC所在直線上異于B,C的點(diǎn)，若△AEF是等腰直角三角形，則CF平分∠BCD的外角.

3 雙正方形視角的圖形性質(zhì)研究

解法3 對應(yīng)的輔助線事實(shí)上還原了另一種可能的命題構(gòu)圖：雙正方形的圖形架構(gòu).2020 年安徽省初中學(xué)業(yè)水平考試第23 題事實(shí)上是雙正方形法人一中構(gòu)圖命題，不妨繼續(xù)研究如下：

如圖15，轉(zhuǎn)換視角，從兩個正方形為圖形基礎(chǔ)，連接AC，延長FH交AC于點(diǎn)P，則：

圖15

（i）PE⊥AD；

（ii）四邊形BCFP是平行四邊形；

（iii）點(diǎn)E在線段BF的垂直平分線上；

（iv）若BP的延長線經(jīng)過點(diǎn)G，則D是AG的黃金分割點(diǎn)（可以證明：等價于AH的延長線經(jīng)過CF的中點(diǎn),圖略）；

注：其實(shí)在圖15 中，延長GF和BC，交于點(diǎn)H，則ABHG和CDGH均是黃金矩形.

圖16

關(guān)于雙正方形模型，我們有：

如圖16，O,O'分別為正方形ABCD,BEFH的中心，A,B,E三點(diǎn)共線，直線AH與CE,CF分別交于點(diǎn)P,M，直線EH與AC,CD分別交于點(diǎn)P',Q'，直線DF與BC交于點(diǎn)G，直線CE與HF,BF相交于點(diǎn)X,Y，直線BM與DN相交于點(diǎn)Z，AQ垂直于AM于MB延長線交于點(diǎn)Q.則有如下性質(zhì)：

（1）正方形ABCD與BEFH位似，直線AB,OO',DH,CF共點(diǎn)于位似中心N；

（2）直線CE,HF,BM共點(diǎn)于X，直線AC,DH,BQ'共點(diǎn)于M '，點(diǎn)D,P',G,P,F共線；

（3）AC//BF//QE，BD//EQ'，DF//ON；

（4）AM⊥CE，DF⊥PB，ON⊥PB，BM⊥DN；

（5）點(diǎn)A,B,Z,P,C,D共圓于 ⊙O，點(diǎn)B,E,F,P,H共圓于⊙O'

（6）完全四邊形CHXMBF與CHM'Q'BD中，C,P,X,Y與C,P',M ',O'皆為調(diào)和點(diǎn)列，F(xiàn)C,FP,FX,FY與DC,DP',DM ',DO'皆為調(diào)和線束，從而C,G,H,B為調(diào)和點(diǎn)列；

（7）BP平分∠APE，DP平分∠APC，BC平分∠PBP'及∠MBM '；

（8）△ABQ≌△ABQ'≌△ADH；

（9）當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M為CF中點(diǎn)時，大小兩正方形的相似比為黃金分割比ω.

總之，今年安徽卷第14 題，圖形經(jīng)典，內(nèi)涵豐富，是一道不可多得的平面幾何好題，限于水平，掛一漏萬，請各位同仁繼續(xù)研究賜教.