基于Reddy型三階剪切變形理論的復(fù)合材料加筋圓柱殼的屈曲計(jì)算

賀 丹,張海波,高藝航

(1.沈陽航空航天大學(xué) 遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽 110136；2.國防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，長沙 410003；3.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料加筋圓柱殼具有高比強(qiáng)度、比剛度、耐腐蝕等優(yōu)點(diǎn)，常常作為主承力構(gòu)件應(yīng)用于航空、航天、船舶等領(lǐng)域。在工作狀態(tài)下，此類結(jié)構(gòu)往往需要承受嚴(yán)苛的軸壓和側(cè)壓載荷。因此，在設(shè)計(jì)過程中，需要準(zhǔn)確評估復(fù)合材料加筋圓柱殼的抗屈曲/失穩(wěn)能力。

板/殼變形理論通?？煞譃榻?jīng)典理論[1]、一階剪切變形理論[2]和高階剪切變形理論[3]。經(jīng)典理論基于Kirchhoff-Love[4]直法線假設(shè)，完全忽略了橫向剪切變形。Pagano[5]采用經(jīng)典層合板理論和三維彈性理論分析了層合板的圓柱彎曲問題。結(jié)果表明：對于中厚板經(jīng)典理論預(yù)測的精度非常低。這是因?yàn)閷雍习鍣M向剪切剛度小，導(dǎo)致了剪切變形較大而不能忽略[6]。一階剪切變形理論考慮了橫向剪切變形，但假定其不沿厚度方向變化，因此不滿足自由表面條件，且需要人為引進(jìn)剪切修正系數(shù)來調(diào)整剪切剛度。這種修正并不總是有效的，特別是對于具有高面芯剛度和厚度比的夾層板/殼結(jié)構(gòu)[7]，要提高厚板的計(jì)算精度，采用高階理論是非常必要的。

早期的板殼模型大都是基于經(jīng)典理論建立的。Dong等[1]基于經(jīng)典理論研究了復(fù)合材料薄殼軸對稱彎曲問題。Jones[8]在經(jīng)典板殼理論的框架下，建立了由拉壓不同模量材料構(gòu)成的復(fù)合材料加筋圓柱殼的屈曲模型。孫國鈞[9]基于經(jīng)典理論分析了復(fù)合材料加筋圓柱殼的屈曲和初始后屈曲。Bich等[10]基于經(jīng)典板殼理論推導(dǎo)了加筋圓柱殼的控制方程，獲得了偏心加筋FGM圓柱殼的非線性動力分析結(jié)果。Thang等[11]基于經(jīng)典板殼理論研究了彈性地基上受軸向壓縮的S-FGM環(huán)殼段的非線性動力屈曲。肖漢林等[12]基于經(jīng)典板殼理論導(dǎo)出了加筋圓柱殼的動力控制方程，采用Rayleigh-Ritz法求解出加筋圓柱殼的自由振動頻率。

為了提高中厚板殼的計(jì)算精度，學(xué)者們在一階剪切變形理論方面開展了許多工作。Reddy[2]基于一階剪切變形理論研究了簡支雙曲正交鋪設(shè)層合殼在正弦、均布和中心載荷作用下方程的精確解,給出了正交鋪設(shè)層合殼的基本頻率。肖漢林[13]基于一階剪切理論研究了復(fù)合材料加筋圓柱殼在軸壓作用下的穩(wěn)定性問題。朱菊芬等[14]基于一階剪切理論研究了層合板殼脫層屈曲及后屈曲問題。王天霖等[15]基于一階剪切理論研究了徑向載荷作用下復(fù)合材料圓柱殼的動力響應(yīng)問題。Sadeghifar等[16]基于一階剪切變形理論推導(dǎo)了復(fù)合材料加筋圓柱殼的控制方程，采用Rayleigh-Ritz法計(jì)算了臨界屈曲載荷。王震鳴等[17]基于一階剪切變形理論研究了加筋圓柱曲板的穩(wěn)定和振動問題。Shen[18]利用奇異攝動法研究了正交圓柱殼在外壓和軸向壓縮聯(lián)合作用下的臨界屈曲載荷和后屈曲平衡路徑。

高階理論能夠進(jìn)一步改善中厚板殼尤其是厚板殼的計(jì)算精度，因此一直是板殼理論領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。高階理論可細(xì)分為等效單層高階理論[19-21]和分層理論[22-23]兩類。分層理論假設(shè)每一層有獨(dú)立的位移場，提供了足夠的貫穿厚度的運(yùn)動自由度，并允許在某些情況下，強(qiáng)制橫向剪應(yīng)力沿著厚度保持連續(xù)[24]。這種理論的計(jì)算精度較高，缺點(diǎn)是引入了更多的未知數(shù)，增加了求解的成本。Barbero等[25]提出了層合殼分層理論，并用此理論研究了層合殼的振動問題，給出了簡支圓柱殼線性方程組的精確解。Reddy等[26]利用分層理論研究了簡支端部條件下環(huán)向和軸向加筋復(fù)合材料圓柱殼的屈曲問題。Wu等[27]基于Li等[28]提出的整體—局部疊加技術(shù)提出了一個(gè)整體—局部高階層合殼模型，用于預(yù)測層合殼厚度的位移和應(yīng)力分布。郭凡增等[29]基于整體局部高階剪切理論研究了復(fù)合材料層合板的靜力問題。等效單層高階理論假定剪切變形沿厚度方向呈高次曲線分布，可以滿足自由表面條件，也不需要引入剪切修正系數(shù)，且未知數(shù)的個(gè)數(shù)與一階理論相同。Matsunaga[30]提出了多項(xiàng)式高階理論并應(yīng)用于正交鋪層復(fù)合材料扁殼和圓柱殼[31]的振動和穩(wěn)定性分析。陳榮庚等[32]基于高階剪切變形理論建立三角形精化板單元，研究了復(fù)合材料層合板的靜力彎曲問題。Reddy建立了一種三階剪切變形理論，其計(jì)算精度在如撓度、自振頻率以及屈曲等整體性的響應(yīng)方面與分層理論的精度相當(dāng)，但局部響應(yīng)如層間應(yīng)力等響應(yīng)則差強(qiáng)人意。因此，在分層理論的高精度和一階剪切理論的低計(jì)算成本之間，Reddy三階理論可以作為一種折中的選擇。沈慧申[33]基于Reddy型高階剪切理論研究了復(fù)合材料曲板在側(cè)壓作用下的后屈曲問題。何煌[34]采用Reddy型高階剪切理論研究了含有初始幾何缺陷的編織復(fù)合材料圓柱殼的屈曲問題。

綜上所述，加筋圓柱殼屈曲問題的研究經(jīng)歷了從經(jīng)典/一階理論到高階理論、從光筒殼到加筋殼的過程。對于鋪層數(shù)較多或厚度較大的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)來說，采用高階理論能顯著提高計(jì)算精度。目前基于高階理論研究層合板的工作較多，但針對加筋殼體的工作較少。本文將Reddy型三階剪切層合板理論推廣至復(fù)合材料加筋圓柱殼屈曲問題，在保持較少未知數(shù)的情況下，新模型所預(yù)測出的屈曲載荷與經(jīng)典/一階理論相比具有明顯的精度優(yōu)勢。

1 基本方程

1.1 蒙皮的位移及應(yīng)變

根據(jù)Reddy型三階剪切變形理論，殼體的位移場可以表示為z坐標(biāo)的3次函數(shù)，如圖1所示。

圖1 層合雙曲殼的幾何形狀

(1)

層合殼的橫向剪切應(yīng)變可以表示為

(2)

式(2)中：ε4、ε5為橫向剪應(yīng)變。

將式(1)帶入式(2)可得

(3)

考慮到剪應(yīng)變在殼體的上下表面為零，可得

(4)

式(4)中：h為殼體的厚度。

將式(4)回代到式(1)，得到層合殼的位移場

(5)

再由幾何方程可以得到殼體的應(yīng)變場

(6)

為采用高階理論所得到的應(yīng)變。

1.2 蒙皮的本構(gòu)方程

蒙皮中第k層的本構(gòu)關(guān)系可表示為

(7)

其中：

式(7)中：E1、E2分別為第k層沿著纖維和基體的彈性常數(shù)；G12、G13、G23為第k層的剪切模量；ν12、ν21為材料的泊松比。

1.3 加強(qiáng)筋的位移、應(yīng)變及本構(gòu)

加強(qiáng)筋通常采用單向鋪層，橫向剪切效應(yīng)不顯著，可將其視為Euler-Bernoulli梁。

軸向加強(qiáng)筋的位移場可以表示為

(8)

環(huán)向加強(qiáng)筋的位移場可以表示為

(9)

式(8)、(9)中：(us,ws)、(vr、wr)分別表示軸向筋條和環(huán)向筋條的位移;u1、v1、w1為加強(qiáng)筋與殼體表面接觸的點(diǎn)的位移分量。

加強(qiáng)筋的應(yīng)變表示為

(10)

加強(qiáng)筋采用單軸應(yīng)力-應(yīng)變方程

(11)

式(10)、(11)中：(εs,σs)、(εr,σr)分別表示軸向和環(huán)向加強(qiáng)筋的應(yīng)變和應(yīng)力。

2 能量原理與控制方程

2.1 殼體的內(nèi)力虛功

結(jié)構(gòu)蒙皮的內(nèi)力虛功可表示為

(12)

其中

(13)

2.2 加強(qiáng)筋的內(nèi)力虛功

軸向加強(qiáng)筋的內(nèi)力虛功為

(14)

環(huán)向加強(qiáng)筋的內(nèi)力虛功為

(15)

具有軸筋和環(huán)筋圓柱殼的幾何形狀如圖2所示。

外載荷所做的虛功為

(16)

加筋圓柱殼的總的內(nèi)力虛功為

δUtotal=δUskin+δUs+δUr

(17)

由虛功原理有

δUtotal=δV

(18)

其中：δUtotal為加筋圓柱殼的總內(nèi)力虛功。

圖2 加環(huán)筋和軸筋圓柱殼的幾何形狀

2.3 加筋圓柱殼的控制方程

從式(18)經(jīng)過分部積分可導(dǎo)出復(fù)合材料加筋圓柱殼的控制方程

(19)

3 算例分析

本節(jié)首先考慮了受側(cè)壓作用的兩端簡支的金屬加筋圓柱殼，通過將計(jì)算出的臨界屈曲載荷與文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對比，證明了本文結(jié)果的準(zhǔn)確性；其次考慮了受軸、側(cè)壓作用的復(fù)合材料圓柱殼，特別注意考察在不同的厚徑比下，本文結(jié)果與一階剪切結(jié)果之間的差異；最后研究了復(fù)合材料加筋圓柱殼，討論了不同的加筋方式以及厚徑比等參數(shù)對臨界軸壓/側(cè)壓屈曲載荷的影響。

算例1

首先考慮比較薄的、受側(cè)壓作用的兩端簡支的各向同性加筋圓柱殼，其幾何和材料參數(shù)如下[35]

h/R2=0.0121 7,L/R2=4.539 1,As/Ssh=Ar/Srh=0.147 1,Ir(Srh3/12)=Is(Ssh3/12)=0.781 9，zr/h=±1.653,zs/h=±1.653,E=30×106psi,ν=0.3,R1=∞,R2=82.169,Nr=516,Ns=373

根據(jù)邊界條件，試函數(shù)可取為

(20)

表1 各向同性圓柱殼不同加筋結(jié)構(gòu)本模型與參考文獻(xiàn)側(cè)壓屈曲荷載結(jié)果的對比 lb/in2

算例2

考慮分別受軸壓、側(cè)壓作用的兩端簡支復(fù)合材料圓柱殼(0°/90°/0°)，其材料和幾何參數(shù)為[36]

E2=1GPa,E1=40E2,G12=G13=0.6E2,G23=0.5E2,ν12=ν13=0.25,R1=∞,R2=1m

圖3給出了臨界軸壓屈曲載荷隨厚徑比(半徑為常數(shù))變化的趨勢。從圖3可以看出，在徑厚比較小時(shí)，本文結(jié)果與FSDT的結(jié)果趨于一致；當(dāng)厚徑比逐漸增大時(shí)，二者出現(xiàn)明顯的分歧，如當(dāng)h/R2=0.3時(shí)，F(xiàn)SDT模型相對于本模型的誤差可達(dá)9.8%。圖4給出了側(cè)壓臨界屈曲載荷隨徑厚比變化的趨勢，與軸壓類似，本文模型所預(yù)測出的結(jié)果總是低于FSDT的結(jié)果，且徑厚比越大差異就越明顯。這是因?yàn)镕SDT假設(shè)面內(nèi)位移沿厚度為線性變化，人為增加了結(jié)構(gòu)的剛度，而本文模型用三階函數(shù)描述面內(nèi)位移，因此更加貼近實(shí)際情況。所以，有理由認(rèn)為隨著圓柱殼厚徑比的增大，本文模型能夠取得比FSDT更精確的解。

圖3 簡支層合圓柱殼軸壓屈曲臨界載荷隨殼厚徑比的變化

圖4 簡支層合圓柱殼側(cè)壓屈曲臨界載荷隨殼厚徑比的變化

算例3

考慮兩端簡支的復(fù)合材料加筋圓柱殼，分別研究其在軸壓和側(cè)壓作用下的屈曲問題。結(jié)構(gòu)中環(huán)筋與縱筋的材料和截面屬性相同，各組分的幾何和材料參數(shù)如下：E2=1 GPa，E1=40E2，G12=G13=0.6E2，G23=0.5E2，ν12=ν13=0.25，R1=∞，R2=1m，bs=0.1，ds=0.1，Ns=10，L=1m，Nr=10，Ss=2πR2/Ns，Sr=L/Nr，Es=20E2，v=0.3

表2給出了不同加筋形式及不同厚徑比下結(jié)構(gòu)的臨界軸壓屈曲載荷。不難看出，對于承受軸向載荷的加筋殼而言，縱向加筋的效率高于環(huán)向加筋，但無論是縱加筋還是環(huán)加筋，筋條布置在結(jié)構(gòu)外側(cè)總是更有優(yōu)勢。另外，無論加筋形式如何，當(dāng)蒙皮較薄時(shí)FSDT解與本文解較為接近;而當(dāng)厚徑比增大時(shí)，二者的分歧愈加明顯。如當(dāng)厚徑比為0.3時(shí)，對于縱向加筋圓柱殼，本文解與FSDT解之間的分歧可達(dá)約5.7%；對于環(huán)向加筋圓柱殼，本文解與FSDT解之間的分歧可達(dá)約6%。

表3給出了不同加筋形式及不同厚徑比下結(jié)構(gòu)的臨界側(cè)壓屈曲載荷。不難看出，側(cè)壓工況下，環(huán)向加筋的效率要高于縱向加筋，外加筋的效率要略高于內(nèi)加筋。特別值得注意的是，在側(cè)壓工況下，本文解與FSDT解之間的分歧更加顯著。如當(dāng)圓柱殼采用軸向加筋時(shí)，在蒙皮較薄即厚徑比為0.1時(shí)，本文解與FSDT解之間分歧約為6.2%；而當(dāng)厚徑比為0.3時(shí)，二者間的分歧可達(dá)23.2%左右。當(dāng)結(jié)構(gòu)采用環(huán)向加筋時(shí)，二者間的分歧稍小一些，但在厚徑比為0.3時(shí)，也有約4.5%的分歧。

表3 軸向和環(huán)向內(nèi)外加筋側(cè)向壓縮臨界屈曲載荷 kN/m2

4 結(jié)論

本文將Reddy型三階剪切層合板理論推廣至復(fù)合材料加筋圓柱殼屈曲問題。基于能量原理建立了屈曲控制方程，并通過算例分析證明了本文結(jié)果的準(zhǔn)確性，討論了不同設(shè)計(jì)參數(shù)下本文解與經(jīng)典FSDT解之間的異同。得到的主要結(jié)論為：

(1)對于提高結(jié)構(gòu)承載能力而言，外加筋總是要好于內(nèi)加筋，尤其是當(dāng)結(jié)構(gòu)承受軸向載荷時(shí)更是如此；

(2)縱向加筋更有利于提高軸壓承載能力，環(huán)向加筋更有利于提高側(cè)壓承載能力；

(3)當(dāng)蒙皮較薄即徑厚比較小時(shí)，本文解與經(jīng)典FSDT解較為接近，但是當(dāng)徑厚比增大時(shí)，二者間的分歧非常明顯；

(4)考慮到本文模型比FSDT模型具有更高的面內(nèi)位移階數(shù)，從而更加貼近實(shí)際情況，因此有理由認(rèn)為本文解具有更高的精度，對于較大徑厚比的結(jié)構(gòu)以采用本文模型進(jìn)行屈曲計(jì)算為宜。