變道過(guò)程非線性模型預(yù)測(cè)軌跡跟蹤控制

盧 靜,金智林

(1.南京航空航天大學(xué)金城學(xué)院， 南京 200016；2.南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院， 南京 200016)

0 引言

據(jù)統(tǒng)計(jì)，由人為因素造成的交通事故占比高達(dá)90%，是造成道路交通事故最主要的原因[1]。但是調(diào)查數(shù)據(jù)表明，通過(guò)主動(dòng)轉(zhuǎn)向變道防碰撞，能夠降低近40%的追尾事故的發(fā)生[2-3]。因此，如何實(shí)現(xiàn)車輛自主安全的、可靠的跟蹤變道軌跡進(jìn)行避障，是降低交通事故的發(fā)生率，實(shí)現(xiàn)車輛智能化的關(guān)鍵問(wèn)題。

目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)汽車主動(dòng)避障技術(shù)的研究首先由上層控制考慮，基于車-車間的位置關(guān)系動(dòng)態(tài)求解車輛在當(dāng)前采樣時(shí)刻的理想控制參數(shù)[4-5]；再由下層控制從上述算法中確定的車輛目標(biāo)減速度等參數(shù)考慮，實(shí)現(xiàn)對(duì)制動(dòng)、轉(zhuǎn)向等下層執(zhí)行機(jī)械部件的精確控制[6-7]。在橫向控制領(lǐng)域，Zhang等[6]提出了一種考慮駕駛員轉(zhuǎn)向特性的主動(dòng)后轉(zhuǎn)向車輛路徑跟蹤控制方法，基于駕駛員模型參數(shù)辨識(shí)，建立了MPC控制器設(shè)計(jì)的駕駛員模型和車輛模型，設(shè)計(jì)全局目標(biāo)函數(shù)以優(yōu)化駕駛員-車輛系統(tǒng)的整體性能，顯著提高了系統(tǒng)性能。Li等[7]基于轉(zhuǎn)向決策序列構(gòu)造了預(yù)測(cè)期內(nèi)輪胎狀態(tài)剛度的變化趨勢(shì)，提出了一種調(diào)整輪胎狀態(tài)剛度的方法來(lái)解決線性化過(guò)程中的抖動(dòng)問(wèn)題，設(shè)計(jì)了線性時(shí)變模型預(yù)測(cè)控制器，顯著提高車輛在極端條件下的穩(wěn)定性。吉巖等[8]提出了基于駕駛員轉(zhuǎn)向過(guò)程中的預(yù)瞄及滾動(dòng)優(yōu)化行為的控制方法，并基于veDYNA進(jìn)行了驗(yàn)證。然而，上述研究普遍基于線性模型進(jìn)行避障軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)，且未考慮路面附著系數(shù)變化導(dǎo)致的非線性動(dòng)力學(xué)耦合關(guān)系。當(dāng)車輛處于中高速或緊急工況時(shí)，側(cè)向加速度較大，若此時(shí)路面附著系數(shù)變化會(huì)加劇輪胎側(cè)偏特性對(duì)車輛動(dòng)力學(xué)的影響，系統(tǒng)將呈現(xiàn)強(qiáng)非線性。此外，目前廣泛采用的模型預(yù)測(cè)控制算法需要在每個(gè)采樣時(shí)刻對(duì)模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)優(yōu)化求解，這對(duì)運(yùn)算實(shí)時(shí)性即非線性模型構(gòu)造時(shí)的復(fù)雜度同樣提出了更高的要求。因此，需要針對(duì)變道過(guò)程中路面附著系數(shù)變化帶來(lái)的模型非線性問(wèn)題以及滾動(dòng)優(yōu)化算法對(duì)于實(shí)時(shí)性的要求，設(shè)計(jì)避障軌跡跟蹤算法。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文建立了整車動(dòng)力學(xué)模型、駕駛員模型和主動(dòng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模型，提出了考慮路面附著系數(shù)動(dòng)態(tài)變化的變道過(guò)程非線性模型預(yù)測(cè)軌跡跟蹤控制策略，針對(duì)變道過(guò)程中路面附著系數(shù)變化帶來(lái)的模型非線性問(wèn)題以及滾動(dòng)優(yōu)化算法對(duì)于實(shí)時(shí)性的要求，構(gòu)建了非線性變道軌跡跟蹤模型及其滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化求解方法，并通過(guò)硬件在環(huán)試驗(yàn)對(duì)本文提出的算法在高附著路面和低附著路面下的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

本文的主要貢獻(xiàn)在于：

1) 針對(duì)橫向避障系統(tǒng)中最為關(guān)鍵的變道軌跡跟蹤問(wèn)題，提出了考慮路面附著系數(shù)變化的變道過(guò)程非線性模型預(yù)測(cè)軌跡跟蹤控制策略設(shè)計(jì)方法。

2) 針對(duì)變道過(guò)程中由于路面附著系數(shù)變化帶來(lái)的模型非線性問(wèn)題以及滾動(dòng)優(yōu)化算法對(duì)于實(shí)時(shí)性的要求，構(gòu)建了非線性變道軌跡跟蹤模型，并提出了滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化求解方法。

1 動(dòng)力學(xué)建模

本文主要對(duì)汽車在執(zhí)行軌跡跟蹤任務(wù)時(shí)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究。在整車動(dòng)力學(xué)層面，將整車簡(jiǎn)化為二自由度的車體模型[9-10]，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(1)

主動(dòng)避撞過(guò)程中的軌跡跟蹤功能的實(shí)現(xiàn)主要依賴轉(zhuǎn)向系統(tǒng)。主動(dòng)轉(zhuǎn)向模型包括轉(zhuǎn)向盤(pán)與轉(zhuǎn)向軸、雙行星齒輪系、齒輪齒條和轉(zhuǎn)向電機(jī)四個(gè)部分[11-12]。通過(guò)雙行星齒輪系可在駕駛員輸入轉(zhuǎn)角的基礎(chǔ)上添加附加轉(zhuǎn)角，不僅可以在無(wú)人駕駛模式下實(shí)現(xiàn)自動(dòng)轉(zhuǎn)向，而且可以在有人駕駛時(shí)為駕駛員提供附加轉(zhuǎn)角。其中，轉(zhuǎn)向軸與轉(zhuǎn)向盤(pán)模型系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

(2)

式中:Ka為轉(zhuǎn)矩傳感器扭桿剛度系數(shù)；Ja為轉(zhuǎn)向盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θs1為轉(zhuǎn)向盤(pán)轉(zhuǎn)角；Ba為轉(zhuǎn)向盤(pán)的阻尼系數(shù)；θs2為輸入太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)角；Te為轉(zhuǎn)矩傳感器輸出轉(zhuǎn)矩；Tb為駕駛員輸入轉(zhuǎn)矩;fa為轉(zhuǎn)向軸與轉(zhuǎn)向盤(pán)的庫(kù)侖摩擦力常數(shù)。

通過(guò)對(duì)雙行星齒輪的各部分的力矩傳遞特點(diǎn)分析和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)分析[13]，可以得到下面的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式：

(3)

對(duì)齒輪齒條進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，得到如下表達(dá)式：

Td2+GamTa

(4)

式中:TR為等效到轉(zhuǎn)向柱上的輪胎回正力矩；dr為等效到轉(zhuǎn)向柱上的路面隨機(jī)干擾力矩；fq為轉(zhuǎn)向柱上的庫(kù)侖摩擦力常數(shù)。

轉(zhuǎn)向電機(jī)模型如式所示[14]：

(5)

式中:La為轉(zhuǎn)向電機(jī)電感；ia為轉(zhuǎn)向電機(jī)電流；Ra為轉(zhuǎn)向電機(jī)電阻；Ua為轉(zhuǎn)向電機(jī)兩端電壓；Ea為轉(zhuǎn)向電機(jī)反電動(dòng)勢(shì)；Ke1為轉(zhuǎn)向電機(jī)反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)；ωa為轉(zhuǎn)向電機(jī)轉(zhuǎn)速，Tam為轉(zhuǎn)向電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩；Bam為轉(zhuǎn)向電機(jī)阻尼系數(shù)；Jam為轉(zhuǎn)向電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；fam為轉(zhuǎn)向電機(jī)轉(zhuǎn)子處庫(kù)侖摩擦力常數(shù)；TL為轉(zhuǎn)向電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩；Gam為轉(zhuǎn)向電機(jī)減速機(jī)構(gòu)減速比；θam為轉(zhuǎn)向電機(jī)轉(zhuǎn)角;Kt為電磁轉(zhuǎn)矩常數(shù)。

2 考慮路面附著系數(shù)變化的變道過(guò)程軌跡跟蹤控制

本節(jié)首先針對(duì)變道過(guò)程中由于路面附著系數(shù)動(dòng)態(tài)變化帶來(lái)的模型非線性問(wèn)題以及滾動(dòng)優(yōu)化算法對(duì)于實(shí)時(shí)性的要求，構(gòu)建了非線性變道軌跡跟蹤模型及其滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化求解方法。在此基礎(chǔ)之上，提出了非線性模型預(yù)測(cè)控制變道軌跡跟蹤控制策略。

2.1 問(wèn)題描述

在無(wú)人駕駛汽車跟蹤規(guī)劃軌跡的時(shí)候，通常以下述的方式進(jìn)行跟蹤控制：在給定的直角坐標(biāo)系中，跟蹤車輛需要由一個(gè)已知給定的初始狀態(tài)出發(fā)，其中已知給定的初始狀態(tài)可以存在于軌跡之上或存在于軌跡之外[15-16]。無(wú)人駕駛汽車的軌跡跟蹤過(guò)程可通過(guò)圖1來(lái)表示，理想軌跡由一條光滑的曲線給出，該軌跡意為一條幾何曲線f(xr(t))，其中自變量xr是時(shí)間t的函數(shù)，該曲線方程是時(shí)間t的隱函數(shù)。

圖1 變道狀態(tài)過(guò)程示意圖

基于上述分析，得到考慮車輛行駛區(qū)域的路面特征、路面摩擦因數(shù)以及車輛位置和內(nèi)部狀態(tài)的跟蹤軌跡流程，如圖2所示。利用MPC控制器對(duì)規(guī)劃出來(lái)的軌跡分割各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行依次跟蹤，并且采用循環(huán)優(yōu)化的方式實(shí)現(xiàn)整個(gè)路徑的跟蹤[17]。

圖2 軌跡跟蹤流程框圖

在上述軌跡跟蹤控制的過(guò)程中，控制器需要根據(jù)理想軌跡與實(shí)際軌跡間的偏差，計(jì)算當(dāng)前理想前輪轉(zhuǎn)角，根據(jù)Pure Pursuit算法，軌跡偏差與理想前輪轉(zhuǎn)角間的函數(shù)關(guān)系如式所示。

(6)

式中:δi為理想前輪轉(zhuǎn)角；L為前后軸距；e為實(shí)際軌跡與理想軌跡間的誤差；vx為車輛縱向速度；kv為調(diào)整系數(shù)。

然而，路面附著系數(shù)的不同，會(huì)導(dǎo)致該函數(shù)關(guān)系呈現(xiàn)非線性特性，需要根據(jù)路面附著系數(shù)的變化對(duì)控制策略進(jìn)行修正，從而使被控車輛能夠更好的跟蹤理想軌跡。

2.2 考慮路面附著系數(shù)的軌跡跟蹤目標(biāo)及約束

對(duì)于非線性系統(tǒng)軌跡跟蹤求解問(wèn)題，一般采用如下的離散模型[18]：

ξ(t+1)=f(ξ(t),u(t))

ξ(t)∈Χ,u(t)∈Γ

(7)

式中：f(·,·)表示為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)；ξ為ns維狀態(tài)變量；u為mc維控制變量；Χ為狀態(tài)變量約束；Γ為控制變量約束。

要實(shí)現(xiàn)在軌跡跟蹤過(guò)程中考慮路面附著系數(shù)的影響，首先要實(shí)現(xiàn)對(duì)路面附著系數(shù)的實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)估計(jì)。綜合考慮計(jì)算實(shí)時(shí)性和估計(jì)準(zhǔn)確度，基于卡爾曼濾波算法構(gòu)建軌跡跟蹤過(guò)程中的路面附著系數(shù)估計(jì)器，如式所示：

xf(k)=Afxf(k-1)+Bfuf(k)+wf(k)

zf(k)=Hfxf(k)+yf(k)

(8)

式中：xf(k)為k時(shí)刻的路面附著系數(shù)估計(jì)模型的狀態(tài)量；uf(k)為控制量；wf(k)為過(guò)程噪聲；zf(k)為k時(shí)刻路面附著系數(shù)的觀測(cè)值；yf(k)為測(cè)量噪聲；Af、Bf、Hf為系統(tǒng)參數(shù)。

為了消除和削弱測(cè)試過(guò)程中的異常觀測(cè)方差對(duì)路面附著系數(shù)參數(shù)估計(jì)的影響，同時(shí)考慮到在增加自適應(yīng)環(huán)節(jié)后對(duì)滾動(dòng)優(yōu)化環(huán)節(jié)算力帶來(lái)的要求，設(shè)狀態(tài)一步預(yù)測(cè)向量的誤差方程為：

(9)

觀測(cè)向量的誤差方程為：

(10)

構(gòu)造如下極值原則：

(11)

得到自適應(yīng)附著系數(shù)估計(jì)器，如式(12)所示：

(12)

下面，基于模型預(yù)測(cè)控制策略設(shè)計(jì)考慮路面附著系數(shù)的軌跡跟蹤控制器。設(shè)定f(0,0)=0為系統(tǒng)的控制目標(biāo)，可見(jiàn)該點(diǎn)同時(shí)也是系統(tǒng)的一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)。此時(shí)對(duì)于任意的時(shí)域N的優(yōu)化目標(biāo)可表示為式(13)。

JN(ξ(t),zf(k),U(t))=

(13)

式中：U(t)=[u(t),…,u(t+N-1)]T是在時(shí)域N內(nèi)的控制量輸入序列，ξ(t)是在輸入向量序列U(t)作用下?tīng)顟B(tài)向量軌跡，l(·,·)表示對(duì)理想值的跟蹤性能優(yōu)劣，P(·)表示終端約束。

為了使每個(gè)時(shí)刻都能夠使該優(yōu)化目標(biāo)得到可行解，需要在優(yōu)化目標(biāo)中加入松弛因子，如式(14)所示：

J(ξ(t),zf(k),u(t-1),ΔU(t))=

(14)

式中：ρ為權(quán)重系數(shù)；ε為松弛因子。

將預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)的輸出量偏差表示為：

(15)

通過(guò)矩陣運(yùn)算，可以將優(yōu)化目標(biāo)調(diào)整為：

J(ξ(t),zf(k),u(t-1),ΔU(t))=

[ΔU(t)T,ε]THt[ΔU(t)T,ε]+

Gt[ΔU(t)T,ε]+Pt

(16)

2.3 模型預(yù)測(cè)軌跡跟蹤控制策略

相比基本模型預(yù)測(cè)控制算法，非線性模型預(yù)測(cè)控制策略采用了精度更高的非線性模型，能夠有效地克服變道過(guò)程的不確定性、非線性和并聯(lián)性，并能方便地處理變道過(guò)程模型被控變量中的各種約束[19]?；诜蔷€性模型預(yù)測(cè)控制的變道軌跡跟蹤控制策略，如圖3所示。

圖3 非線性模型預(yù)測(cè)控制的變道軌跡跟蹤控制策略示意圖

非線性模型預(yù)測(cè)控制的優(yōu)化模型本身即為非線性模型[20]，其優(yōu)化目標(biāo)、約束如式所示：

(17)

ξk+1,t=f(ξk,t,zfk,t,uk,t),k=t,…,N-1

(18)

ξk,t∈Χ,k=t+1,…,t+N-1

(19)

uk,t∈Γ,k=t,…,t+N-1

(20)

ξt,t=ξ(t)

(21)

ξN,t∈Χfin

(22)

(23)

3 試驗(yàn)分析

為驗(yàn)證本文所提出算法的有效性及準(zhǔn)確性，建立硬件在環(huán)測(cè)試平臺(tái)，如圖4所示。為保證硬件在環(huán)仿真過(guò)程的實(shí)時(shí)性，基于Matlab/Simulink以及CarSim建立的控制算法模型及道路環(huán)境模型運(yùn)行于NI PXI平臺(tái)。

圖4 試驗(yàn)環(huán)境示意圖

3.1 跟蹤軌跡仿真分析

分析不同測(cè)試車速下的理想路徑跟蹤情況，并將控制結(jié)果與自適應(yīng)MPC進(jìn)行對(duì)比，如圖5所示。如果在跟蹤時(shí)產(chǎn)生的誤差較大，那么證明在跟蹤控制的時(shí)候不能夠很好地進(jìn)行跟蹤。通過(guò)圖5分析可得，相比自適應(yīng)MPC算法，本文提出的非線性MPC算法可降低路徑跟蹤誤差14.35%，且非線性MPC算法可快速消除跟蹤誤差。

圖5 軌跡跟蹤曲線

進(jìn)一步對(duì)比分析低附著系數(shù)下不同測(cè)試車速下的理想路徑跟蹤情況，如圖6所示。如果在跟蹤時(shí)產(chǎn)生的誤差較大，那么證明在跟蹤控制的時(shí)候不能夠很好地進(jìn)行跟蹤，從而不能夠按照期望完成軌跡跟蹤控制。通過(guò)圖6分析可得，相比自適應(yīng)MPC算法，本文提出的非線性MPC算法可降低路徑跟蹤誤差11.25%，且非線性MPC算法可快速消除跟蹤誤差。

圖6 低附著系數(shù)(0.3)時(shí)的軌跡跟蹤曲線

3.2 橫擺角速度仿真分析

對(duì)比分析不同測(cè)試車速下的橫擺角速度指標(biāo)，如圖7所示。較小的橫擺角速度能夠使汽車在行駛過(guò)程中更加穩(wěn)定，如果橫擺角速度過(guò)高的話會(huì)導(dǎo)致汽車產(chǎn)生側(cè)滑或者側(cè)翻。分析可得，相比自適應(yīng)MPC算法，本文提出的非線性MPC算法可降低跟蹤誤差24.35%。

圖7 軌跡跟蹤過(guò)程中橫擺角速度曲線

對(duì)比分析不同測(cè)試車速下的橫擺角速度指標(biāo)，如圖8所示。較小的橫擺角速度能夠使汽車在行駛過(guò)程中更加穩(wěn)定，如果橫擺角速度過(guò)高的話會(huì)導(dǎo)致汽車產(chǎn)生側(cè)滑或者側(cè)翻。分析可得，相比自適應(yīng)MPC算法，本文提出的非線性MPC算法可降低跟蹤誤差21.21%。

圖8 低附著系數(shù)(0.3)時(shí)的橫擺角速度曲線

3.3 側(cè)向加速度仿真分析

對(duì)比分析不同測(cè)試車速下的橫擺角速度指標(biāo)，如圖9所示。如果汽車行駛時(shí)側(cè)向加速度過(guò)大會(huì)導(dǎo)致汽車在行駛過(guò)程中出現(xiàn)失穩(wěn)的現(xiàn)象，因此汽車在進(jìn)行變道的過(guò)程中，越小的側(cè)向加速度汽車在行駛過(guò)程中越穩(wěn)定。通過(guò)圖9可得，在30 km/h低速運(yùn)行的情況下，相比自適應(yīng)MPC算法，本文提出的非線性MPC算法可降低波動(dòng)19.67%，說(shuō)明非線性MPC控制器的穩(wěn)定性更好。

圖9 軌跡跟蹤過(guò)程中側(cè)向加速度曲線

同樣的，進(jìn)一步對(duì)比分析低附著系數(shù)下不同測(cè)試車速下的理想路徑跟蹤情況，如圖10所示，測(cè)試路面附著系數(shù)為0.3。對(duì)比分析不同測(cè)試車速下的橫擺角速度指標(biāo)，如圖10所示。如果汽車行駛時(shí)側(cè)向加速度過(guò)大會(huì)導(dǎo)致汽車在行駛過(guò)程中出現(xiàn)失穩(wěn)的現(xiàn)象，因此汽車在變道過(guò)程中，越小的側(cè)向加速度汽車在行駛過(guò)程中越穩(wěn)定。通過(guò)圖10可得，在30 km/h低速運(yùn)行的情況下，相比自適應(yīng)MPC算法，本文提出的非線性MPC算法可降低波動(dòng)12.54%，說(shuō)明非線性MPC控制器的穩(wěn)定性更好。

圖10 低附著系數(shù)(0.3)時(shí)的側(cè)向加速度曲線

4 結(jié)論

以汽車主動(dòng)變道軌跡跟蹤系統(tǒng)為對(duì)象，研究了汽車主動(dòng)變道系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和工作原理，并建立了模型?？紤]路面附著系數(shù)對(duì)軌跡跟蹤過(guò)程帶來(lái)的影響，設(shè)計(jì)了變道過(guò)程非線性模型預(yù)測(cè)軌跡跟蹤控制。仿真分析表明：與自適應(yīng)模型預(yù)測(cè)控制器相比，本文提出控制策略得到的跟蹤誤差更小，具有更好的跟蹤控制效果。