帶有薛定諤項的分數(shù)階基爾霍夫方程解的存在性研究

韓志玲，桑彥彬，于 雪

(中北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 太原 030051)

0 引言

考慮如下分數(shù)階基爾霍夫型問題：

(1)

(2)

通過使用變分方法，得到解的存在性和多重性。2021年，文獻[2]利用不同的方法研究了基爾霍夫問題：

通過將其轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于(u,λ)的等價方程組來得到原方程解的存在性。

另一方面，關(guān)于帶有臨界指數(shù)的分數(shù)階基爾霍夫問題，已有大量結(jié)論。文獻[3]通過Nehari流形和纖維映射研究了下列方程，得到了該問題非平凡解的存在性和不存在性：

文獻[4]證明了由非局部積分微分算子誘導(dǎo)的基爾霍夫問題非負解的存在性。文獻[5]研究了具有臨界指數(shù)的分數(shù)階基爾霍夫方程，利用變分方法得到了正基態(tài)解的存在性。更多關(guān)于帶有臨界指數(shù)的分數(shù)階薛定諤型問題的結(jié)果，可參見文獻[6-10]。

受上述文獻的啟發(fā)，把文獻[2]的整數(shù)階基爾霍夫問題推廣到帶有薛定諤項的分數(shù)階基爾霍夫問題中。目的是將基爾霍夫的非局部項和帶u的薛定諤項分離，從而轉(zhuǎn)化為等價的方程組，其中非線性項滿足次臨界增長、超線性條件，同時通過下控制函數(shù)的次數(shù)q的分類，最終建立方程(1)具有一個和2個非平凡解的存在性和不存在性。

證明方程(1)和方程組(2)等價性的方法與文獻[11]類似，通過3步獲得方程組(2)解的存在性。

首先，根據(jù)山路引理求解下列方程：

(3)

然后，當確定了u，立即可解出：

(4)

最后，借助于等價結(jié)果得出方程(1)解的存在性。

1 主要命題及定理

命題1方程(1)至少有一個非平凡解v∈Hs(RN)當且僅當方程組(2)至少有一個非平凡解(u,λ)∈Hs(RN)×R+。

假設(shè)f滿足如下條件：

(H3) 當t→0時，f(t)=ο(t)。

應(yīng)用命題1，可以證明下面的定理。

定理1若f滿足條件(H1)—(H4)，則下面結(jié)論成立：

2 預(yù)備知識

在證明主要結(jié)果之前，給出一些有用的定義。分數(shù)階Sobolev空間Ds,2(RN)定義如下：

定義范數(shù)：

引理1存在正常數(shù)α>0，ρ>0，對任意的u∈?Bρ(0)，有I(u)≥α。

證明對任意的C∈R，利用H?lder不等式，有：

引理2存在e∈E，有I(e)<0。

φ′(t)=-qt-q-1F(tu)+t-quf(tu)=t-q-1(-qF(tu)+tuf(tu))≥0

因此，對任意的t≥1，有F(tu)≥tqF(u)。則：

因為q>2，所以當t→∞時，I(tu)→-∞，取e=tu，得到結(jié)論，引理2成立。

通過引理1和2，知道I具有山路幾何結(jié)構(gòu)，則定義I的山路水平集c為：

且Γ={τ∈C([0,1],E):τ(0)=0,I(τ(1))<0}。通過文獻[12]中的定理3知道，I有一個(C)c序列。

為了得到方程(3)的非平凡解，在這一部分估計山路水平集c。

從文獻[13]得到，在RN上，SN,s可由下列函數(shù)達到：

且

通過文獻[14]中命題21和22，可得到：

(5)

(6)

(7)

(8)

上式表明2)成立。

因此完成證明。

3 (C)c序列

引理4令c∈R，{un}是I的(C)c序列，則{un}是有界的。

這表明在Hs(RN)中，{un}是有界的。

通過條件(H2)，有：

4 主要結(jié)果的證明

一方面，若方程(1)有解v∈Hs(RN)，則:

令

則：

h(v(y))=h(u(x))

因此，(u,λ)∈Hs(RN)×R+是方程組(2)的解。

另一方面，若方程組(2)有解(u,λ)∈Hs(RN)×R+,有：

(-Δ)su+u=h(u),x∈RN

和

(-Δ)su(y)+u(y)=h(u(y))=h(v(x))

因此，v∈Hs(RN)是方程(1)的解，證畢。

定理1的證明由命題1和文獻[13]中的定理2.1和2.5，得到結(jié)論，證畢。

5 結(jié)論

對于帶有薛定諤項的分數(shù)階基爾霍夫型問題，即方程(1)，通過對N、q、a和b進行不同的限制，并使用山路引理，最終分別得到原方程有一個非平凡解、兩個非平凡解和無解。