ATV模型的非線性多重網(wǎng)格法*

韓 粉， 楊?yuàn)^林

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，416000，湖南省吉首市)

0 引 言

近年來，基于Lp范數(shù)的圖像去噪模型[1-3]因能避免階梯效應(yīng)引起了眾多學(xué)者的興趣，此類模型算法的研究也成為了熱點(diǎn).考慮到梯度模不能有效區(qū)分圖像邊緣與斜坡，Chen設(shè)計(jì)了基于差分曲率的自適應(yīng)全變分(adaptive total variation,ATV)模型[4]，并用顯示梯度下降法求解此模型.顯示梯度下降法采用負(fù)梯度方向?yàn)橄陆捣较?，原理?jiǎn)單且易于數(shù)值實(shí)現(xiàn)，但是由于算法的收斂需要的時(shí)間步長(zhǎng)趨向于無窮小，導(dǎo)致了收斂速度緩慢.提高收斂速度的常見方法是對(duì)梯度下降方程采用隱式迭代或半隱式迭代.隱式梯度下降法能允許較大的時(shí)間步長(zhǎng)且收斂速度快，但是算法的復(fù)雜度高.半隱式梯度下降法兼顧了顯示梯度下降法與隱式梯度下降法的優(yōu)點(diǎn)，既能允許較大的時(shí)間步長(zhǎng)又能較快收斂，然而，雖然該方法前幾次迭代誤差會(huì)快速衰減，但是到解的附近時(shí)誤差衰減緩慢.

為了加快ATV模型的求解速度，考慮到半隱式梯度下降法的收斂特點(diǎn)，擬用此方法設(shè)計(jì)光滑化方法，構(gòu)造求解ATV模型的非線性多重網(wǎng)格法.

1 ATV模型

Chen設(shè)計(jì)的ATV模型[4]為

(1)

ATV模型不僅可以有效區(qū)分圖像的邊緣和陡峭的斜坡區(qū)域，而且能夠在圖像邊緣和平坦區(qū)域自適應(yīng)地選擇合適的正則項(xiàng)，使得在有效去除噪聲的同時(shí)兼顧保持邊緣和避免階梯效應(yīng).

(1)式的Euler-Lagrange方程為

(2)

(3)

對(duì)(3)式的離散過程如下:

將圖像域Ω=[0,n]×[0,n]剖分成n×n個(gè)小網(wǎng)格，令h表示沿x與y方向的網(wǎng)格步長(zhǎng)，

(4)

則(3)式的離散方程組為

λi,j(ui,j-zi,j)=0，

整理得

(5)

其中

(6)

邊界為

2.4 hsPDA組和nhsPDA組早產(chǎn)兒PDA導(dǎo)管直徑情況 對(duì)hsPDA組及nhsPDA組早產(chǎn)兒PDA導(dǎo)管直徑情況進(jìn)行單因素分析：PDA導(dǎo)管直徑1.5～3 mm與hsPDA相關(guān)聯(lián)，兩組差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(P<0.05)。PDA導(dǎo)管直徑>3 mm與hsPDA無關(guān)聯(lián)，兩組差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(P>0.05)。見表4。

ui,0=ui,1,ui,n+1=ui,n,u0,j=u1,j,um+1,j=um,j.

(7)

記方程組(5)及邊界(7)為

Nhu=λhz.

(8)

2 非線性多重網(wǎng)格法求解

若令時(shí)間步長(zhǎng)t=1/10 s，僅使用半隱式梯度下降法求解(8)式，則前幾次迭代誤差會(huì)快速減小，然而隨著迭代次數(shù)的增加，誤差下降速率越來越緩慢.如圖1所示，對(duì)像素為256×256、添加了標(biāo)準(zhǔn)差為10的噪聲分布模型的Lena圖使用半隱式梯度下降法后，第5次迭代相對(duì)誤差小于5×10-4.

圖1 Lena圖相對(duì)誤差下降曲線

非線性多重網(wǎng)格法被廣泛地用于處理橢圓型方程組，現(xiàn)已具備了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)并在眾多領(lǐng)域中取得了成功[8-10].該方法由前光滑、粗網(wǎng)格校正和后光滑組成，其基本思想是:先在細(xì)網(wǎng)格上通過前光滑求出近似解和誤差，對(duì)誤差和殘量限制后進(jìn)入套迭代，在最粗網(wǎng)格上求解殘量方程得到誤差，接著對(duì)誤差進(jìn)行插值，校正近似解并進(jìn)行后光滑從而得到最終解.

考慮到非線性多重網(wǎng)格法[5-7]的光滑化方法不需要精確求解(8)式，只需要粗略地求出近似解，使誤差經(jīng)過幾次前光滑或后光滑充分光滑即可，因而我們可以利用半隱式梯度下降法的前幾次迭代誤差會(huì)快速衰減的特點(diǎn)設(shè)計(jì)光滑化方法，構(gòu)造求解(8)式的非線性多重網(wǎng)格法.在用非線性多重網(wǎng)格法求解(8)式前，先對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)粗化，即令h→2h，得到一系列粗網(wǎng)格上的圖像域Ω2h,Ω4h,Ω8h,…,Ω2lh,l∈+.求解(8)式所用的網(wǎng)格間的轉(zhuǎn)移算子為逐點(diǎn)限制算子逐點(diǎn)插值算子以及文獻(xiàn)[11]中的full-weight限制算子與網(wǎng)格頂點(diǎn)的雙線性插值算子，記它們?yōu)榕c所用的光滑化方法如算法1所示.

算法1光滑化方法：uh←S(uh,zh,Dh,t,iter)

算法2非線性多重網(wǎng)格法：uh←NMG(uh,zh,Dh,k,β,t,v1,v2,iter)

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

選取像素為256×256的Cameraman圖、像素為512×512的Lena圖和Chili圖作為測(cè)試圖像檢測(cè)不動(dòng)點(diǎn)迭代(FP)法、半隱式梯度下降(SGD)法和非線性多重網(wǎng)格(NM)法的去噪效果.實(shí)驗(yàn)使用峰值信噪比(PSNR)和CPU計(jì)算時(shí)間定量分析這3種方法的性能，其中,PSNR越大表明去噪效果越好.

依次對(duì)Cameraman圖、Lena圖與Chili圖添加標(biāo)準(zhǔn)差為10、10、20的隨機(jī)噪聲后，噪聲圖像的PSNR分別為22.544 8 dB，21.011 7 dB與20.430 3 dB.為了保證實(shí)驗(yàn)的公平性，合理的調(diào)整3種算法的參數(shù)使得每幅去噪后的圖像的PSNR達(dá)到最大值.

表1展示了FP法、SGD法和NM法的去噪后的PSNR與CPU計(jì)算時(shí)間.由表1可知，F(xiàn)P法與SGD法去噪后的圖像的PSNR相似，NM法的PSNR最大，約比SGD法的高1 dB；FP法的計(jì)算速度最慢，SGD法次之，NM法的計(jì)算速度最快，約為SGD法的2倍.

表1 3種算法去噪后的PSN和CPU計(jì)算時(shí)間

圖2展示了對(duì)3幅噪聲圖使用FP法、SGD法和NM法的去噪效果.由圖2可見，F(xiàn)P法與SGD法去噪后的圖像有少量噪聲殘留，而NM法去噪后的圖像更加清晰光滑.

(a) 原始圖 (b) 噪聲圖 (c) FP法 (d) SGD法 (e) NM法

4 結(jié) 語

利用半隱式梯度下降法前幾次迭代誤差會(huì)快速衰減的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了光滑化方法，構(gòu)造了求解ATV模型的非線性多重網(wǎng)格法.通過與FP法和SGD法的對(duì)照實(shí)驗(yàn)，表明新方法在去噪效果和收斂速度方面更好.為了進(jìn)一步提高峰值信噪比和加快收斂速度，未來考慮從網(wǎng)格間轉(zhuǎn)移算子的角度改進(jìn)非線性多重網(wǎng)格法.