單位圓在三角函數(shù)教學(xué)中的作用

郭芳麗

(陜西省咸陽師范學(xué)院附中 712099)

在初中，我們利用直角三角形學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)；到了高中，為進一步研究任意角的三角函數(shù)，需要借助單位圓.單位圓簡單直觀，具有圓的對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性，三角函數(shù)有了單位圓的加入，便展開了一系列行之有效的教學(xué)活動.

1 理解弧度制

圖1

在講解角的集合與實數(shù)集對應(yīng)關(guān)系的過程中，引入(如圖2所示)單位圓模型：讓單位圓M與數(shù)軸相切于原點O，把數(shù)軸看成一個皮尺， 對于任意一個正數(shù)a，它對應(yīng)數(shù)軸上的點A，把線段OA逆時針方向纏繞到單位圓M上，點A對應(yīng)單位圓上的點A′，這樣以MO為始邊，經(jīng)逆時針方向旋轉(zhuǎn)以MA′為終邊的圓心角α的弧度數(shù)為正數(shù)a；同樣對于任意一個負數(shù)b，對應(yīng)數(shù)軸上的點B，將線段OB順時針方向纏繞到單位圓M上，點B對應(yīng)單位圓上點B′，則以MO為始邊經(jīng)過順時針方向旋轉(zhuǎn)以MB′為終邊的圓心角β的弧度數(shù)為負數(shù)b.

2 定義任意角的三角函數(shù)

圖3

3 推導(dǎo)誘導(dǎo)公式

利用單位圓的對稱性與幾何直觀易得：

(1)角α與-α的終邊關(guān)于x軸對稱，終邊與單位圓交點的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)(圖4)，即cos(-α)=cosα=u,sin(-α)=-sinα=-v.

圖4 圖5

(2)角α與α±π的終邊關(guān)于原點對稱，終邊與單位圓交點的橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，即cos(α±π)=-cosα=-u,sin(α±π)=-sinα=-v(圖5).

(3)角α與π-α的終邊關(guān)于縱軸對稱，終邊與單位圓交點的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，即cos(π-α)=-cosα=-u,sin(π-α)=sinα=v(圖6).

圖6 圖7

圖8 圖9

4 研究三角函數(shù)性質(zhì)

如圖9，在給定的單位圓中，設(shè)任意角x的終邊與單位圓交于點P(cosx,sinx)，當(dāng)自變量x變化時，點P的橫、縱坐標(biāo)也在變化.根據(jù)正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx的定義，易知以下基本性質(zhì)：

圖10

圖11

5 繪制三角函數(shù)的圖象

(1)先作出三角函數(shù)線：在圖12中，設(shè)單位圓與任意角α的終邊交于點P，過點P作x軸的垂線，垂足為點M，過點A(1,0)作x軸的垂線，與角α的終邊或終邊的反向延長線交于點T，則有向線段MP,OM,AT就是角α的正弦線、余弦線和正切線.

圖12

(2)再借助正弦線和正切線繪出正弦函數(shù)和正切函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象(圖13).

圖13

6 證明同角三角函數(shù)關(guān)系

圖14 圖15

7 推證兩角差的余弦公式

所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

總之，將單位圓融入三角函數(shù)教學(xué)，不僅有很好的輔助借鑒意義，還事半功倍.