沿繩方向加速度問題的深入思考

鄧 偉

(重慶市開州中學(xué) 405499)

高中階段與繩連接有關(guān)的速度、加速度問題極為常見.處理繩牽連模型中速度分解問題時(shí)，教師經(jīng)常用到的結(jié)論：沿繩方向的速度大小相等.但又引出另外一個(gè)值得我們深思的問題：沿繩方向的加速度大小是否相等？

1 一道聯(lián)考題的思考

在一次區(qū)域聯(lián)考中，筆者遇到一個(gè)很有爭議的題目，題目如下：

例1如圖1所示，將質(zhì)量為2m的重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質(zhì)量為m的環(huán)，環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為d.現(xiàn)將環(huán)從與定滑輪等高的A處由靜止釋放，當(dāng)環(huán)沿直桿下滑距離也為d時(shí)(圖中B處)，下列說法正確的是(重力加速度為g)( ).

A．環(huán)剛釋放時(shí)輕繩中的張力等于2mg

D．環(huán)減少的機(jī)械能大于重物增加的機(jī)械能

圖1

原參考答案：B.

解析環(huán)剛開始釋放后，重物由靜止開始加速上升，故重物有向上的加速度，根據(jù)牛頓第二定律有F-2mg=2ma,得F>2mg，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

有教師認(rèn)為：環(huán)剛開始釋放時(shí)，環(huán)的加速度為g，通過沿繩方向加速度相等，得到重物在環(huán)釋放瞬間加速度為0，則繩的張力F=2mg，故A正確.那究竟哪種說法是正確的呢？

2 沿繩方向加速度關(guān)系與速度關(guān)系是否相同

假設(shè)沿繩方向加速度與速度的關(guān)系是一致的，以例1為例，設(shè)環(huán)到B點(diǎn)的加速度向下為aB，此時(shí)繩與桿的夾角為θ，若我們類比速度之間的關(guān)系，可以得到重物加速度a物=aBcosθ.再用特例進(jìn)行反證：如果環(huán)下落到B點(diǎn)前，在外力作用下已保持勻速下落，在B點(diǎn)對(duì)環(huán)分析，有aB=0，從加速度關(guān)系可得，重物上升加速度a物=aB=0，說明重物也是勻速上升.但從速度關(guān)聯(lián)的角度，當(dāng)環(huán)勻速下落時(shí)，因?yàn)閮烧咚俣葷M足v物=vBcosθ，當(dāng)環(huán)下落過程中，角度θ越來越小，利用余弦函數(shù)得出重物上升速度是越來越大的，說明重物的加速度豎直向上不為0.兩個(gè)結(jié)論產(chǎn)生了矛盾，說明假設(shè)不成立：沿著繩方向加速度關(guān)系與沿繩方向速度關(guān)系不一定相同.

3 沿繩方向加速度關(guān)系的推導(dǎo)

同樣借助例1，用數(shù)學(xué)方法來推導(dǎo)：

圖2

[f(g(t))]′=f′(g(t))·g′(t)得：

①

②

③

④

將②③④式代入①式得：

⑤

⑥

綜上分析，我們可以得出結(jié)論：環(huán)的加速度沿繩的分量等于重物上升加速度(左端繩子伸長的加速度)與環(huán)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的向心加速度矢量和.

4 高中范圍內(nèi)，哪些情況物體沿繩方向加速度相等

4.1 繩兩側(cè)的物體速度方向與連接的繩平行，都做直線運(yùn)動(dòng)，不存在繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng).

例2如圖3所示，A、B兩小球由繞過輕質(zhì)定滑輪的輕繩相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，C球放在水平地面上.現(xiàn)用手控制住A，并使輕繩剛剛拉直但無拉力作用，并保證滑輪左側(cè)輕繩豎直、右側(cè)輕繩與斜面平行.已知A的質(zhì)量為4m，B、C的質(zhì)量均為m，重力加速度為g，輕繩與滑輪之間的摩擦不計(jì).開始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)；釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時(shí)，C恰好離開地面.求：斜面的傾角α；

圖3

解析:由題意可知，當(dāng)A沿斜面下滑至速度最大時(shí)，C恰好離開地面，C的加速度為0；AB加速度時(shí)刻相等，此時(shí)為零.將ABC作為一個(gè)整體：

由牛頓第二定律得4mgsinα-2mg=0，

4.2 物體做圓周運(yùn)動(dòng)存在繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，但速度為0

物體即使存在繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，如果速度為0，向心加速度也為0，所以沿繩方向的加速度仍然相同，這些情況一般出現(xiàn)在開始運(yùn)動(dòng)時(shí)或運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí).

例3(2018江蘇卷)如圖4所示，釘子A、B相距5l，處于同一高度．細(xì)線的一端系有質(zhì)量為M的小物塊，另一端繞過A固定于B．質(zhì)量為m的小球固定在細(xì)線上C點(diǎn)，B、C間的線長為3l．用手豎直向下拉住小球，使小球和物塊都靜止，此時(shí)BC與水平方向的夾角為53°.松手后，小球運(yùn)動(dòng)到與A、B相同高度時(shí)的速度恰好為零，然后向下運(yùn)動(dòng)．忽略一切摩擦，重力加速度為g，取sin53°=0.8，cos53°=0.6.求：

圖4

(3)小球向下運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，物塊M所受的拉力大小T.

對(duì)例1分析，也屬于第二類情況，由于初速度為0，所以沿繩方向加速度相同，由于初始位置的繩子與環(huán)的加速度方向垂直，故重物上升加速度為0，此時(shí)繩子的拉力等于物體受到的重力，故A選項(xiàng)為正確答案.

5 綜述

通過對(duì)沿繩方向加速度問題的深入思考，可以得如下結(jié)論：連接體沿繩方向加速度的關(guān)系與速度間的關(guān)系不一定相同.我們既要考慮平動(dòng)的加速度，也要考慮轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的向心加速度.在高中物理繩牽連模型中，下列兩種情況的加速度與速度關(guān)系是相同的：第一，繩兩側(cè)的物體速度方向與連接的繩子平行，都做直線運(yùn)動(dòng)，不存在繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況；第二，物體做圓周運(yùn)動(dòng)存在繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，但速度為0的情況.