合理構(gòu)造函數(shù) 巧妙證不等式

龔小敏

(江蘇省通州高級(jí)中學(xué) 226300)

構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，是指在利用導(dǎo)數(shù)法證明與函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，根據(jù)所要證明的不等式，構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本性質(zhì)來(lái)加以證明．而在具體證明時(shí)，就要綜合函數(shù)的不同確定形式，合理選擇對(duì)應(yīng)的函數(shù)，從不同思維視角來(lái)合理構(gòu)建滿足條件的函數(shù)解析式，進(jìn)一步加以求導(dǎo)處理，巧妙證明．

1 作差構(gòu)造法

證明譬如f(x)，≥)，x∈(a，b)形式的不等式成立，可利用兩函數(shù)進(jìn)行作差比較統(tǒng)一成一個(gè)函數(shù)，結(jié)合作差構(gòu)造法，構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)，x∈(a，b)，通過(guò)求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)證明F(x)<0(或≤，>，≥)，從而得以證明對(duì)應(yīng)的不等式成立．

例1已知函數(shù)f(x)=2ln(x+1)+sinx+1，求證：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤3x+1．

分析利用所要證明的不等式進(jìn)行作差處理，通過(guò)作差構(gòu)造函數(shù)，借助求導(dǎo)來(lái)分析與確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)構(gòu)建函數(shù)的最大值，通過(guò)不等式的確定以及變形與轉(zhuǎn)化來(lái)證明相應(yīng)的不等式．

證明設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-(3x+1)=2ln(x+1)+sinx-3x，x≥0，

從而函數(shù)h(x)在區(qū)間[0，+∞)上單調(diào)遞減.

所以h(x)=f(x)-(3x+1)≤h(0)=0，

即f(x)≤3x+1成立．

2 拆分構(gòu)造法

對(duì)于一些所要證明的不等式中含有指數(shù)式或含有對(duì)數(shù)式，求導(dǎo)時(shí)不易直接求最值，可通過(guò)代數(shù)關(guān)系式的合理拆分變形來(lái)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)證明對(duì)應(yīng)的不等式；有時(shí)也合理拆分變形來(lái)構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，分別計(jì)算它們的最值，利用隔離分析最值來(lái)證明對(duì)應(yīng)的不等式．

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

分析(1)通過(guò)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)加以分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性及極值的存在性，進(jìn)而得以確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)通過(guò)對(duì)所要證明的不等式加以分析，通過(guò)拆分構(gòu)造法構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性及最值的確定來(lái)合理轉(zhuǎn)化，進(jìn)而加以證明相應(yīng)的不等式．

當(dāng)a+1≤1，即a≤0時(shí)，在區(qū)間[1，2]上f′(x)≥0，所以函數(shù)f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，無(wú)極值；

當(dāng)a+1≥2，即a≥1時(shí)，在區(qū)間[1，2]上f′(x)≤0，所以函數(shù)f(x)在[1，2]上單調(diào)遞減，無(wú)極值；

當(dāng)10得x>a+1，由f′(x)<0得x

綜上分析，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0，1)．

只需證xf(x)>a(x+1).

只需證xlnx+a+1>ax+a.

即證xlnx>ax-1.

設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx-ax+1，

則g′(x)=lnx+1-a.

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，ea-1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ea-1，+∞)上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)g(x)≥g(ea-1)=(a-1)ea-1-aea-1+1=1-ea-1.

因?yàn)?0.

則g(x)>0.即xlnx>ax-1.

3 換元構(gòu)造法

對(duì)于所要證明的不等式中含有兩個(gè)及以上參數(shù)的不等關(guān)系式，經(jīng)常借助合理變形，整體化處理，進(jìn)行合理?yè)Q元構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)，化多參數(shù)為單一參數(shù)，進(jìn)而通過(guò)函數(shù)的基本性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等來(lái)分析對(duì)應(yīng)的不等式證明問(wèn)題．

分析結(jié)合滿足題目條件的關(guān)系式的恒等變形轉(zhuǎn)化，合理配方轉(zhuǎn)化，換元構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與最值建立對(duì)應(yīng)的不等式，結(jié)合二次不等式的求解來(lái)證明相應(yīng)的不等式成立問(wèn)題．

證明對(duì)于函數(shù)f(x)=lnx+x2+x(x>0)，

由正實(shí)數(shù)x1，x2滿足f(x1)+f(x2)+x1x2=0，

從而(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2-ln(x1x2).

令t=x1x2(t>0)，函數(shù)φ(t)=t-lnt，

易知函數(shù)φ(t)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增.所以函數(shù)φ(t)≥φ(1)=1.

所以(x1+x2)2+(x1+x2)≥1.

4 同構(gòu)函數(shù)法

在證明不等式時(shí)，結(jié)合相關(guān)所要證明的不等式所對(duì)應(yīng)的關(guān)系式的合理轉(zhuǎn)化或變形，提取出其中相同或相似的代數(shù)結(jié)構(gòu)，尋找結(jié)構(gòu)的同型或共性，進(jìn)而合理同構(gòu)相應(yīng)的函數(shù)模型，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的基本性質(zhì)、不等式性質(zhì)等來(lái)合理轉(zhuǎn)化，巧妙證明．

例4(2021年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第22題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

分析(1)中首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的取值符號(hào)即可確定函數(shù)的單調(diào)性；(2)中利用同構(gòu)關(guān)系將原問(wèn)題中不等式的證明轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)偏移的問(wèn)題，結(jié)合變形的關(guān)系式的特征同構(gòu)相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性與極值來(lái)證明對(duì)應(yīng)的不等式問(wèn)題．

解析(1)由函數(shù)的解析式可得

f′(x)=1-lnx-1=-lnx.

則當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.

(2)由blna-alnb=a-b，得

不妨令x1∈(0，1)，x2∈(1，e)，則2-x1>1.

先證22-x1>1.

即證f(x2)=f(x1)

令函數(shù)h(x)=f(x)-f(2-x)，x∈(0，1)，

則h′(x)=f′(x)+f′(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)]在(0，1)單調(diào)遞減.

所以h′(x)>h′(1)=0.

故函數(shù)h(x)在(0，1)單調(diào)遞增.

所以h(x1)

即f(x1)

亦即2

再證明：x1+x2

要證x1+x2

同理，根據(jù)(1)中函數(shù)f(x)的單調(diào)性，即證f(x2)=f(x1)>f(e-x1).

同構(gòu)函數(shù)φ(x)=f(x)-f(e-x)，x∈(0，1)，

則φ′(x)=-ln[x(e-x)]，

令φ′(x0)=0，

則當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，φ′(x)>0，φ(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x0，1)時(shí)，φ′(x)<0，φ(x)單調(diào)遞減.

又x>0，f(x)>0，且f(e)=0，

故x→0，φ(0)>0，φ(1)=f(1)-f(e-1)>0.

所以φ(x)>0恒成立.

即x1+x2

其實(shí)，構(gòu)造函數(shù)法證明不等式時(shí)，除了借助以上一些常見(jiàn)的作差構(gòu)造法、拆分構(gòu)造法、換元構(gòu)造法、同構(gòu)函數(shù)法以及創(chuàng)新構(gòu)造法等構(gòu)造函數(shù)的基本方法外，還可以通過(guò)分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合以及多個(gè)函數(shù)的構(gòu)造等方法來(lái)證明相應(yīng)的不等式成立．破解的關(guān)鍵是借助導(dǎo)數(shù)思維，抓住用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性來(lái)處理對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值問(wèn)題，從而再轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的不等式問(wèn)題，達(dá)到有效證明不等式問(wèn)題，全面提升導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．