基于認知起點的小學數(shù)學抽象能力培養(yǎng)
——以蘇教版五下“分數(shù)的意義”為例

◎談有英

(揚州育才實驗學校,江蘇 揚州 225000)

數(shù)學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象的思維過程抽象是數(shù)學最基本的特征小學生在數(shù)學學習中獲得概念、小結方法、探索規(guī)律、形成解題策略等都離不開抽象但在實際教學中，學生對于抽象的知識往往難以理解，有些學生盡管能記住抽象后的數(shù)學知識，卻沒有掌握方法數(shù)學抽象能力主要包括從數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構，能用數(shù)學符號或者數(shù)學語言表述的能力如何在小學數(shù)學教學過程中滲透抽象能力的培養(yǎng)，需要在教學之前悉知學生的認知起點，從而巧妙構思、設計課程內容認知起點，是學生已經(jīng)掌握的與新知學習相關的已有知識經(jīng)驗通過認知起點的預測，可以了解學生的認知水平，利于在教學過程中有針對性地構建知識框架，滲透抽象能力的培養(yǎng)基于此，筆者在蘇教版五下“分數(shù)的意義”的教學實施過程中：首先進行前期測試，依據(jù)前測數(shù)據(jù)分析，找準學生的認知起點；其次立足于認知起點，精心設計教學設計方案，以發(fā)展學生的數(shù)學抽象能力

一、依據(jù)前測數(shù)據(jù)分析，找準學生的認知起點

朱永新教授說過：“要想把學生引到你需要的地方，你得知道學生現(xiàn)在在哪里”“分數(shù)的意義”是蘇教版五年級下冊第四單元第一課時的教學內容，主要引導學生抽象出單位“1”的概念，概括出分數(shù)的意義學生在三年級接觸過分數(shù)的意義：第一次學習時要求學生能結合具體情境初步認識分數(shù)，知道把一個物體或一個圖形平均分成若干份，其中的一份或幾份可以用分數(shù)表示；第二次學習時要求學生知道把一些物體看作一個整體平均分成若干份，用分數(shù)能表示出其中的一份或幾份那么我們的學生對于分數(shù)的認知起點究竟在哪兒呢？為了找準學生的認知起點，我們在試教班級進行了前測表1是“分數(shù)的意義”的測試試卷及測試結果

表1 “分數(shù)的意義”前測卷

通過表1可以看出，試題1的正確率較高，說明學生知道把一個物體、一個圖形或由幾個物體組成的整體平均分成幾份，其中的1份或幾份可以用分數(shù)表示試題2的錯誤率為175%，通過作答結果發(fā)現(xiàn)，錯誤的產生不是因為學生涂色個數(shù)出錯，而是學生沒有首先進行平均分而直接涂色，并未理解分數(shù)是先分后數(shù)產生的數(shù)第3題是一道主觀題，學生在描述自己所寫分數(shù)的意義時約有55%的學生選擇了單個的物體，如一個圓、一塊餅，約有40%的學生選擇將許多物體組成的一個整體進行平均分，只有兩名同學選擇了將計量單位看作單位“1”進行平均分，因此學生在描述分數(shù)概念時會出現(xiàn)不完善的現(xiàn)象由上述前測結果可以看出學生的認知起點：會用分數(shù)表示涂色部分，能先分再涂表示分數(shù)，但不知道一個計量單位也可以作為平均分的對象，在抽象單位“1”時較難擺脫具體事物、整數(shù)的影響，易混淆用來表示數(shù)量間倍比關系的分數(shù)以及用來表示具體數(shù)量的分數(shù)；平均分的過程仍需加強；學生尚未建立正確的分數(shù)認知體系，思維方式還停留在整數(shù)部分，會將分子習慣性地視作物體的個數(shù)，簡化單位“1”的內涵分數(shù)作為小學數(shù)學中理解難度較大的一個部分，學習質量直接關系著學生對其他數(shù)學內容的學習若學生具備較強的抽象思維能力，就能夠較好地理解分數(shù)知識；若學生抽象思維能力較弱，則很容易被分數(shù)本身的抽象、復雜弄得混亂，達到“談分數(shù)色變”的懼怕地步

二、小學生與數(shù)學抽象能力

在數(shù)學領域中，抽象是指去情境化的行為，即從具體的情境中進行元素與元素關系的提取，然后通過這樣的過程得到一個概念小學生更多習慣于應用具象思維，在具體的情境中學習和理解知識，一旦沒有情境的支持，很多學生就無法有效理解和應用數(shù)學知識小學數(shù)學課堂上，教師應注重對學生抽象能力的培養(yǎng)，以保證數(shù)學教學活動能夠順利開展，提升學生對數(shù)學的理解能力和接受能力，讓學生學好數(shù)學

任何一種思維能力的成長都應循序漸進小學階段學生的抽象思維處于起步階段，這也是培養(yǎng)學生抽象思維能力的最佳階段小學階段，學生需要從已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學知識中進行第一步抽象，從實物層面的數(shù)學計數(shù)抽象為半符號層面的數(shù)學學習，也就是小學課堂上所說的“使用數(shù)學語言描述數(shù)量關系”但小學生的數(shù)學抽象能力停留在這一步還不足以應付小學階段的數(shù)學學習，小學生需要開始嘗試通過假設、推理來建立法則和模型小學生的能力尚不足以完成假設推理的過程，但要能夠理解和接受數(shù)學家們假設推理的結果，并正確應用這些結果若小學生不能順利完成這一能力成長，就很容易走上死記硬背學數(shù)學的歧途，越學越困難，越學越?jīng)]有信心

從上一點的測試分析可以發(fā)現(xiàn)，小學生對分數(shù)的認知還比較表面，對于復雜且重要的單位“1”，學生們缺少對分數(shù)的正確理解，也缺少解決分數(shù)問題的能力小學生普遍表現(xiàn)出對整數(shù)的偏向現(xiàn)象，對“1”的誤解，對“部分—整體”概念性關系的錯誤理解，究其原因主要有以下幾個方面：

第一，學生無法準確區(qū)分分數(shù)領域中的概念關系比如在“求一個數(shù)的幾分之幾”問題中，有的學生對分數(shù)概念掌握不到位；在“求比一個數(shù)多(或少)幾分之幾”的問題中，有的學生沒能抓住關鍵語進行轉化，推理能力不足，導致結果錯誤；在“已知一個數(shù)的幾分之幾，求這個數(shù)”問題中，有的學生沒能充分應用線段圖等數(shù)形結合工具，或對分數(shù)除法的認識不到位，得到錯誤的結果；在“已知比一個數(shù)多(或少)幾分之幾的數(shù)是多少，求這個數(shù)”問題中，有的學生被已知題干繞暈，沒能充分應用數(shù)形結合工具來幫助理清思路，說明學生分析、整理、概括等方面的能力都有待加強

第二，教師在分數(shù)教學中的開發(fā)不足，沒有從多方面解析分數(shù)中單位“1”的不同，沒能輔助學生建立起分數(shù)知識體系

第三，學生對數(shù)學的學習興趣低，在分數(shù)學習上頻頻受到打擊后，對難度較大的分數(shù)部分學習興趣更低

三、立足認知起點，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象能力

通過對前測情況的進一步分析，我們知道學生的認知起點即：會用分數(shù)表示涂色部分，能先分再涂表示分數(shù)，但不知道一個計量單位也可以作為平均分的對象，在抽象單位“1”時較難擺脫具體事物、整數(shù)的影響，易混淆用來表示數(shù)量間倍比關系的分數(shù)以及用來表示具體數(shù)量的分數(shù)，平均分的過程仍需加強基于此，我們試從積累豐富表象和建構分數(shù)模型入手，讓學生對分數(shù)的意義有更深層次的理解與感知，以發(fā)展學生的數(shù)學抽象能力

(一)積累豐富表象，引導學生自主抽象出單位“1”

(二)建構分數(shù)模型，發(fā)展數(shù)學抽象能力

小學階段共安排了三次分數(shù)的學習，三年級上冊、三年級下冊和五年級下冊，也就是說這是小學生在小學階段最后一次學習分數(shù)的意義，我們有必要幫助他們建構分數(shù)的模型，完善其對分數(shù)意義的整體認知學生多次經(jīng)歷將單位“1”平均分的操作后，充分感悟到分數(shù)是由“分”而產生的數(shù)單位“1”被平均分成的總份數(shù)即為分母，這樣的“一份或幾份”則是分子，而分數(shù)恰是能表示這樣的“一份或幾份”與總份數(shù)之間的關系的數(shù)至此，學生對于分數(shù)的認識有了質的提升，實現(xiàn)了從一個物體或許多物體組成的一個整體到單位“1”的抽象，真正理解了分數(shù)的本質特征，建構了分數(shù)模型，對分數(shù)有了全面、穩(wěn)固的認知，發(fā)展了數(shù)學抽象能力數(shù)形結合是小學階段非常重要的數(shù)學思維方式，也是學生從小學到大學期間學好數(shù)學的好幫手正如數(shù)學家華羅庚先生所說：“數(shù)形結合千般好，隔離分家萬事休”在分數(shù)部分的教學中，教師要應用好線段圖、輔助線等教學工具，引導學生明確分數(shù)數(shù)量關系，抓住解決分數(shù)問題的突破口

四、發(fā)展抽象思維，構建教學案例

在上述找準學生認知起點及教學實施思考的基礎上，以發(fā)展學生的數(shù)學抽象能力為著眼點，我們開展了如下教學實踐：

(一)預學查異——情境感知，積累表象

(二)初學適異——自主探究，初步抽象

1請相應同學分享一下自己所畫的分數(shù)

教師對應出示板貼：這就是一個物體、一個計量單位、許多物體組成的一個整體

2師：一個物體、一個計量單位、一個整體，你發(fā)現(xiàn)它們都有什么？

師：沒錯，都可以用自然數(shù)“1”表示，通常把它叫作單位“1”(板書：單位“1”)

為什么這個“1”要加引號？它與我們以前學過的1有什么不同？

你能舉出單位“1”的例子嗎？還可以把什么看成單位“1”？

總結：世界萬物，小到一粒沙，大到整個宇宙空間，我們想研究誰就可以把誰看作單位“1”

3我們知道了什么是單位“1”，你能在這些題目里找一找它們把誰看作單位“1”了嗎？

把( )看作單位“1”，平均分成( )份，種黃瓜的面積是這樣的( )份

把( )看作單位“1”，平均分成( )份，男生人數(shù)是這樣的( )份

把( )看作單位“1”，平均分成( )份，海洋面積是這樣的( )份

把( )看作單位“1”，平均分成( )份，媽媽買的蘋果是這樣的( )份

4指名同學概括什么是分數(shù)

(三)研學導異——內化理解，提煉本質

1分一分，涂一涂，表示出相應的分數(shù)

問:左邊三幅圖有什么相同點和不同點？

相同：把單位“1”平均分成3分，表示其中的2份

不同：單位“1”不同，每1份的個數(shù)也不相同

2分一分、涂一涂，表示出相應的分數(shù)

問：右邊三幅圖有什么相同點和不同點？

小結：雖然單位“1”一樣，但平均分的份數(shù)不一樣，所以每一份的個數(shù)也不一定一樣

師：仔細觀察，平均分的份數(shù)其實就是分數(shù)的什么？

生：分母

師：表示的份數(shù)其實就是分數(shù)的什么？

生：分子

師：是的，一個分數(shù)的分母是平均分的份數(shù)，分子就是表示的份數(shù)

3師：如果我們把平均分的份數(shù)用字母來表示，表示的份數(shù)用字母來表示，那么我們可以說把單位“1”平均分成份，表示這樣的份，還可以用什么分數(shù)來表示？

師：這里、要是非0的自然數(shù)(出示：、為非0的自然數(shù))

師：分數(shù)單位可以怎么表示？

(四)拓學展異——綜合運用，豐盈素養(yǎng)

四、結語

綜上所述，分數(shù)是小學階段對抽象思維能力要求較高的一個部分，教師想要做好這部分的教學工作需要先了解學生對分數(shù)前置知識的掌握程度，充分培養(yǎng)學生的抽象思維能力分數(shù)部分教學中，教師應重視單位“1”的抓取，重視學生對關鍵句的推理，重視從變式出題，切實提升學生的思維能力