論希爾伯特公理化方法的哲學意義

錢立卿

一、引論：基礎科學中的哲學爭論及其“外部解決”

自科學革命時期以降，人類所建立的各種科學知識體系不僅可以成為反思過往兩千年里許多經(jīng)典哲學問題的參照系，也可以成為理解同時代哲學問題的視角。人們逐漸發(fā)現(xiàn)，曾經(jīng)歸于認識論和自然哲學的一些經(jīng)典問題不再是傳統(tǒng)哲學的專屬內容了；反之，單靠哲學思辨解決不了的問題也未嘗不可借助基礎科學的發(fā)現(xiàn)來重新思考和定義，甚至是在新的意義上“解決”這些問題。

當然，哲學問題很難被輕易“解決”，更不用說以哲學之外的途徑來解決。事實上，基礎科學的理論本身也并不能直接解決哲學問題，它們的首要貢獻往往在于給出了思辨史上從未見過也從未想象過的實例。這些實例揭示了某些“顯而易見”的東西，專業(yè)的哲學研究者只要能夠看懂這些新東西，再由此出發(fā)達到“純哲學”的新理解幾乎只是一步之遙。新理解未必可以一勞永逸地結束整個哲學疑難，但它完全有可能在開辟一條新的途徑的同時終結相關的傳統(tǒng)思維架構。

能夠對哲學理解構成實質性影響的科學史案例，大多反映出人類用來理解世界的思想整體架構中發(fā)生的重大變革。哲學史上著名的例子有康德對質量守恒原理的先驗闡釋、胡塞爾對伽利略工作的現(xiàn)象學分析，等等。前者涉及實體、因果性等基本哲學觀念的重新理解，后者則是關于觀念化和歷史性論題的經(jīng)典研究。此外，在科學史上特別重要的情形還包括現(xiàn)代物理學中出現(xiàn)的“場”“流形”等概念所蘊涵的更深刻的空間概念，由數(shù)學分析學的建立帶來的對極限和無窮等概念的全新理解，等等。這些科學成就的共同點在于，它們不是出于單純“科學”的疑問，也不只具有“科學”的意義；它們的確立本身就包含著對傳統(tǒng)哲學問題的全新理解 進路。

二、弗雷格與希爾伯特關于幾何學基礎的爭議

20世紀初，弗雷格和希爾伯特關于幾何學基礎的爭論以及后續(xù)的發(fā)展，也可以視為上述實例之一。雙方的爭執(zhí)是圍繞希爾伯特1899年發(fā)表的《幾何基礎》第一版的基本主張來展開的。從哲學的角度來說，這場論戰(zhàn)的焦點有二：第一，幾何學是否如康德所言是。第二，如何理解一個語句的“真”以及更一般的的主張。后一點又可以進一步展開為兩個疑問：第一，命題的真究竟建立在單個語句的語義之上還是取決于整個語句系統(tǒng)背后的總體語法結構？第二，什么是“理解”一個數(shù)學命題？

第一個焦點問題的背景是19世紀數(shù)學史上多次出現(xiàn)的對《純粹理性批判》的正面質疑。希爾伯特也不例外，他反對克萊因的看法，從而走上了反康德主義的路線，主張從公理化幾何學中去除直觀因素的影響。但弗雷格認為，直觀因素盡管在定理證明中不需要，但在公理的設定中是必要的，否則系統(tǒng)將成為一個空洞的純形式架構，也不再是一個“幾何學”理論。

在希爾伯特的進一步解釋中，這項爭執(zhí)最終聚焦在了第二個核心爭議上，即關于幾何學概念的定義和公理命題的真理論問題。簡而言之，《幾何基礎》重構了歐氏幾何的經(jīng)典框架，對基本的概念與命題進行了全新的表述，但使用了一種高度形式化的語言。希爾伯特認為，幾何命題的數(shù)學意義和幾何理論的嚴格性最終都體現(xiàn)在一種公理化架構中，而這種純粹的結構或關系形式應當用盡可能不帶有特定語義的詞匯來刻畫，因此對傳統(tǒng)的歐氏公理系統(tǒng)本身的進一步嚴密化和抽象化不僅是公理化思想的必然結果，而且只有這樣才能表明真正的“數(shù)學性”。 參見Roberto Torretti， Philosophy of Geometry from Riemann to Poincar， Dordrecht： D. Riedel Publishing Company， 1978， pp. 191—199。但是在弗雷格看來，純粹的抽象形式完全不具有數(shù)學意義，它只不過是一種特殊的符號游戲。弗雷格指責說，希爾伯特的公理化方法中，對象是沒有實質意義的存在，甚至很難說是一種“存在”，因而對象之間的關系也很難用所謂的“真”與“假”來稱謂。希爾伯特認為，形式語句之間的無矛盾性本身就給出了一個“真”的領域，它天然定義了一組“真”的并且“存在”的對象，但弗雷格堅決反對這種理解。相持不下的結果自然是不了了之。

基于思想史進程中的“后見之明”，我們可以把這場爭論概括為弗雷格的“”進路和希爾伯特的“”進路之爭。前者的想法偏于古典，后者更有現(xiàn)代特征。弗雷格對于希爾伯特公理化方法的總體理解是：一些單純的符號不具有意義，而沒有意義的符號串也無法組成有意義的語句；建立在這類語句上的“定義”根本談不上什么真假，更稱不上“公理”。因為自古希臘以來，所謂“公理”（axioma）就是一個天然為真的命題，不需要爭辯而自動成立。希爾伯特則完全無視公理與公設的傳統(tǒng)區(qū)別，他的基本想法是：公理根本不需要什么先行賦予的意義，它只是通過某些符號之間有規(guī)則的連結而形成的語句，至于符號甚至規(guī)則本身也都只是一些設定，重要的僅僅是這些設定是否能夠繼續(xù)操作下去并且構成一個封閉的語句 總體。

用今天的眼光來看，希爾伯特的公理化方案是一種“舊瓶裝新酒”的做法。雖然他并不固執(zhí)于用“定義”“公理”“定理”等術語的傳統(tǒng)含義，但他也沒有任何別的辦法來稱呼那些東西，更不可能離開傳統(tǒng)的詞匯來表述這種新理念。況且，如果不考慮《幾何基礎》背后更宏大的設想而僅僅關注公理化的最初表述方式，那么我們會發(fā)現(xiàn)這套形式化體系也確實只用來表述幾何而非別的東西。所以新體系里的“公理”和“定理”依然承擔著那些功能，其內容（經(jīng)過賦義）也必然和經(jīng)典體系一致。對此，希爾伯特本人未必有足夠清晰的理解，也不需要有那樣的理解。因為這種“清晰”自然只能出于后見之明，而不能要求創(chuàng)造者在創(chuàng)造過程中還能時刻保持完美而精確的反思——在革命完成之前不可能寫一部革命史。結果就是，面對希爾伯特的想法，弗雷格的確有理由質疑；而面對質疑，希爾伯特也確實難以完全精準地回應。

筆者在先前的研究中試圖從思想史的角度把這場幾何學基礎之爭塑造成某種二律背反的圖景，然后引入胡塞爾的現(xiàn)象學觀點，從另一個層面考察這個問題。引入胡塞爾的主要原因也是思想史方面的，因為胡塞爾在不同的時期以不同的方式討論過幾何學的本質，而且他對希爾伯特與弗雷格的哲學主張都非常了解。不過這項研究存在兩方面的缺陷：第一，它過于依賴胡塞爾對直觀性和意義積淀（Sedimentation）的考量，沒有充分闡明公理化思想本身的深刻性及其后續(xù)的效果史，從而未能對希爾伯特思想的意義給出公正的評價。第二，這項研究以胡塞爾對幾何學的基本觀念為綜合評判的最終基礎，但在一定程度上也意味著就此中斷了對爭執(zhí)雙方的思想本身的進一步探究。鑒于此，這場爭辯需要從另一個角度再次 審視。

一般而言，在評價一種思想的意義與合理性的時候，最理想的情況自然是存在一套預先成立的合理性標準可供我們判定理論的正誤高下。但如果標準本身具有爭議性，我們可以退而求其次，選擇一種更具歷史性意味的反向理解方式，即考察某個思想的與產(chǎn)生的實際影響：如果從新的方法中能得出新的洞見、加深了理解，同時又完全不違背任何經(jīng)典結論，那么我們同樣可以認為這種新理論“更好”也更“深刻”。在基于歷史理性的評估模式中，理論的“好壞”不屬于事先預設的真理標準的維度，毋寧說思想本身只能在其歷史性的開展過程中才能創(chuàng)建出一個新的真理標準的維度，它擴張了原先的標準和整個概念架構，導致我們在現(xiàn)實的思想史中往往能用一個向前兼容又嚴格擴張的理解模式來取代舊有的框架。就此而言，希爾伯特的公理化思想與形式主義方案能給出什么新洞見嗎？下面我們用一個與《幾何基礎》相關的例子來說明其意義。

三、歐氏幾何中的對偶關系

文藝復興以降，數(shù)學家逐漸發(fā)現(xiàn)平面幾何中存在一些特殊的定理對子，其中每一對定理在表述形式上都有某種對稱性。數(shù)學家稱這類命題對子為“對偶” （dual）。熟悉平面幾何的人或許都知道幾組著名的對偶命題，比如切瓦（Ceva）定理和梅內勞斯（Menalaus）定理，迪沙格（Desargues）定理與其逆定理（自對偶），帕斯卡（Pascal）定理和布利安香（Brianchon）定理等。有了基本的對偶觀念，就很容易把這種想法擴展到其他數(shù)學分支甚至其他學科中去。而一旦擴展出去，我們又會發(fā)現(xiàn)“對偶”概念很難有一個普適通行的定義，而通常只能在語境或科學分支中才能給出精確表述。在歐氏幾何中，所謂的“對偶性”主要表現(xiàn)在命題的表述和證明過程上，也就是說，對偶的兩個命題在表述上極其相似，證明過程也類似，差別只在關鍵的術語上。同時人們還發(fā)現(xiàn)，這里的術語差別似乎僅僅表現(xiàn)為每個詞都有其對應的另一個詞。只不過在歐氏框架和傳統(tǒng)的陳述方式中，這類差別未必總能精確顯示出來。一個較為明顯的對偶實例如下：

P：平面上給定n個點，且它們不全在一條直線上。求證：必定存在一條直線，只經(jīng)過其中兩個點。

這是一道經(jīng)典的平面幾何題，它的對偶問題如下：

P：平面上給定n條直線，且它們不全交于一點。求證：必定存在一個點，只在其中的兩條直線上。

這兩道題的證明當然無法在此給出（盡管兩個證明極為相似），但有一點是顯然的，即它們等價于兩個條件命題。再者，這兩個命題呈現(xiàn)出了一種明顯的對應關系：P中的“點”“線”“共線”對應于P里的“線”“點”“共點”。問題在于，即便兩個命題顯示出了如此明顯的對應和對稱關系，但仍然不容易準確闡明這種關系的普遍性——在直觀上，“點”和“線”的互換是一回事，“共點”與“共線”的互換是另一回事，兩者在何種意義上有關并不清楚。

或許會有人指出，點和線的互換關系在射影幾何中非?；?，而且19世紀的數(shù)學家（包括弗雷格在內）對射影幾何也非常熟悉，完全可以從這個角度來解釋對偶定理的本質。但問題在于，射影幾何的理論背景仍然是歐氏幾何，即便射影幾何學家很了解這種互換關系，卻還是必須把相關概念的語義回溯到經(jīng)典的歐氏幾何中，從而無法真正消除“點”和“線”的本質差異性，只能停留在某種不可統(tǒng)一的二元化形態(tài)中。

換言之，如果我們要借助通常的空間觀念和理解方式來表述歐氏幾何中的對偶命題，那么只能具體情況具體分析，深入每一個問題的具體證明之中，除此以外似乎找不到更合適的辦法來理解一種“普遍的”特性。關于對偶命題最為重要的特性是所謂的——對偶命題的真值相同。這個結論很重要，但由于對偶概念難以得到精確刻畫，這個原理就更難在歐氏幾何的經(jīng)典框架里得到證明了。

但是在希爾伯特的體系里，我們可以找到關于對偶原理的一種新的理解方式。其《幾何基礎》這本書給出的第一個定義是：

設想有三組不同對象：第一組對象叫點，用A， B， C……表示；第二組對象叫直線，用a， b， c……表示；第三組對象叫平面，用α， β， γ……表示。點叫直線幾何的元素；點和平面叫平面幾何的元素；點、直線和平面叫空間幾何的元素或空間的元素。

緊接著就是對三大基本關系的定義：

設想點、直線、平面之間有一定的相互關系，用“關聯(lián)” （“在……之上”、“屬于”）、“介于” （“在……之間”）、“合同于” （“全合于”“相等于”）等詞來 表示。

可以說，這兩段簡單的話已經(jīng)奠定了整本書乃至公理化方法的基本思維模式，也體現(xiàn)出了“舊瓶”和“新酒”的關聯(lián)。“舊瓶”是這些字母和點線面的關系，以及所謂的點線面和經(jīng)典幾何中點線面的關系；“新酒”則是這些字母本身的代表的“去語義化”或純語法特征。接下來，對三大基本關系的解釋進一步表明了后來稱為“對象語言”和“元語言”的差別：

替代“關聯(lián)”，我們也用別的說法。例如，替代“直線a同A和B的每一點相關聯(lián)”這句話，我們也說：“a通過A和B”“a連結A和B”。又如，替代“A同a相關聯(lián)”這句話，我們也說：“A在a上”“A是a上的或a上的一點”“a上含有點A”等等。若A既在直線a上又在另一直線b上，我們也說：“直線a和b相交于A”，“A是a和b的交點或公共點”等等。

這段話是通過對“關聯(lián)”這個術語的解釋為例來說明公理化方法的基本構想。這里的“關聯(lián)”看起來是個自然語言的詞匯，但實際上可以當作擺脫了語義的純符號。而對這個符號的三組解釋又可以理解為用歐氏幾何的語言給出了三種不同的賦義（賦值），每一種賦義還能進一步用自然語言給出不同的修辭。

我們從兩個角度來解釋上述觀點。首先，從傳統(tǒng)的歐氏幾何視角來看，這似乎是兩件完全不同的事：（1） “A點在直線a上”似乎只是刻畫了一個事態(tài)，它沒有必然性。（2） “兩點確定一條直線”和“兩線存在一個交點”（如果暫時忽略平行公理而把平行線視為相交于無窮遠點）則是歐氏幾何的公理級命題，刻畫了某種的關聯(lián)。但是，從公理化幾何的角度看，這里的首要任務不是判斷一個命題的必然性，而是確定一個詞項的語法功能。點和線、線和線，乃至點、線和面之間的關系，歸根到底只有一種，即“從屬性”，它只是在不同的對象域里會表現(xiàn)出不同形態(tài)。這就好比一種二元對稱關系在社交領域表現(xiàn)為“相互認識關系”，在婚姻領域表現(xiàn)為“婚姻關系”，等等，它們都可以視為R （a， b） = R （b， a）的不同賦值 結果。

這個今天看來很簡單的想法對于19世紀末的人來講并不那么顯而易見，即便是現(xiàn)代邏輯學創(chuàng)始人弗雷格也在此搖身一變成了守舊派。但從另一邊看，希爾伯特本人一開始也并非很有意識，或者說他不需要一開始就有意識。希爾伯特在定義中仍然明確區(qū)分了用什么的字母表示點，用什么字母表示線等等，因為他要用這些詞項表述各種不同的（經(jīng)典）幾何公理。然而，這個微弱的區(qū)別已經(jīng)明顯指示了進一步的：A、B、C和a、b、c其實并不需要和某種語義綁定，也不需要先確定語義再建立公理——我們完全可以先建立“類公理”（axiom-like）的命題，隨后再賦予其解釋。

那么這些東西和對偶性有什么關聯(lián)？一言以蔽之，希爾伯特的框架里的對偶命題只不過是對同一個形式命題的兩種不同賦值。以前面的幾何命題P和P為例，我們可以構造一個相應的形式命題P：

P：對Π有C （a， Π），其中i = 1， 2， 3， …， n，且不存在A，使得對每個a都有C （a， A），存在A，使得C （a， A） 且 C （a， A），并且對任何k 不等于m或n，都不成立C （a， A）。

雖然P中仍然包含了自然語言，但不重要，因為原則上我們可以進一步形式化；寫成現(xiàn)在這個形式只是為了表述方便，目的只是為了把它表述成一個不帶有幾何學語義的命題。從數(shù)理邏輯的觀點看，P和P是對這個進行幾何學賦義的結果：首先，兩者都把Π解釋為“平面”，二元關系C解釋為希爾伯特體系中的“關聯(lián)”。然后，在P中的a和A分別被解釋為“點”“直線”，C被解釋為“點在直線上”，整個命題被理解為一個“多點共線”的問題。而在P中，a和A被賦義為“直線”和“點”，而C的標準語義不變，依然是“點在線上”，在歐氏幾何的經(jīng)典理解中就被進一步詮釋為“線包含著點”，最終我們把命題理解為“多線交于一點”的問題。

四、對偶性與元定理

由此可見，公理化視角把幾何學“還原”為了一種形式理論，同時客觀上蘊涵了一個逆向的“意義構造”過程。在此基礎上，幾何對象不再被理解為僅僅具有簡單含義的理論實體，而是呈現(xiàn)出一種雙層復合的意義形態(tài)，進而可以被視為一種復合的對象性：它們是純形式的對象，被進行了特定的賦義成為幾何對象。對偶性質正是在這個意義構造的過程中才得以清晰地呈現(xiàn)并獲得了普遍的意義——在傳統(tǒng)觀點下看起來是兩種本質上不同的事物，現(xiàn)在被理解為同一個對象的兩種不同表象方式。

著名數(shù)學家邁克爾·阿蒂亞2007年在一次題為《數(shù)學與物理中的對偶性》的講座中，也提出了類似的觀點。他認為：“對偶性在根本上意味著?！钡覀冇秩绾卫斫獍⒌賮喺麄€報告的第一句話呢？他說：“數(shù)學中的對偶性不是一個定理，而是一個‘原理’?！睆陌⒌賮喌囊暯呛陀靡鈦砜?，確實如此，因為他要綜觀整個歷史來概述一般意義上的對偶性質，但這種一般的對偶性僅僅是某種綱領性和原則性的“觀念”，而不能表述為一個具體的、可證的命題。不過，一旦具體到某個特殊領域，對偶性往往會具有特定和明確的形態(tài)，這時候它就可能呈現(xiàn)為一個元定理（metatheorem）。

對今天的數(shù)理邏輯學家而言，元定理是一個非?；镜母拍?。通常的理解是，對于給定的公理系統(tǒng)，在它“之中”得到證明的命題被稱為“定理”，而被稱為“元定理”的命題所談論的是這個系統(tǒng)本身的性質，但它們又無法靠系統(tǒng)自身的公理來證明。顯然，對偶性可以在某個特定數(shù)學系統(tǒng)中表達為明確的元定理形式，而這個系統(tǒng)自身是無法證明這種對偶關系的。正如前文中的P和P，或是更著名的切瓦與梅內勞斯定理，等等，在歐氏幾何中我們只能分別證明每一個單獨的命題，卻無法證明或指明兩者之間存在“對稱性”，也無法從對偶的角度在一個證明中“同時”完成對兩個命題的證明。

然而，在希爾伯特的框架中，這種特殊的證明是可以完成的，因為公理化方法的提出跟隨著一個配套的思想，也就是證明論。在希爾伯特看來，公理化方法是他眼中的數(shù)學及一般理性科學的基本工具，它不僅意味著從某些初始命題發(fā)展出一門學科的嚴格方法，并且也是高等理論中用來探索發(fā)現(xiàn)的工具。而在對這個工具本身進行考察的時候，希爾伯特立刻發(fā)現(xiàn)，數(shù)學證明本身也會在公理化視角下變成新的研究對象。后來他把這種做法比作“就像天文學家必須考慮他的位置運動，物理學家必須研究他的儀器理論，以及哲學家對理性本身進行批判”。這種從工具到對象的轉變意味著，公理化模式中出現(xiàn)的一切理論和語句都要在句法層面得到定義，由語句構成的整個形式“證明”本身也需要得到定義。在證明論的結構中，命題P就是從公理命題出發(fā)的一系列定理序列的終點，序列中的每一項都根據(jù)基本的推理規(guī)則作為序列前段中某些語句組合的后承（consequence），而且每一項都是純粹的形式語句?；谶@種觀念，形式命題P的有效性就完全不依賴語義層面的賦義，它的成立條件和P的“實質意義”無關。因此，從形式化的歐氏幾何公理集Γ出發(fā)演繹出語句P，就意味著同時完成了對P和P的形式證明，而元定理的“元”就表現(xiàn)為從P到P或P的“翻譯”過程。

更一般地講，對偶性質在公理化框架下被理解為語言和其上結構的關聯(lián)，而在證明論的意義上，倘若一個幾何定理的表述和證明所涉及的每一條公理都可以“對偶化”，那就意味著這個定理本身也存在對偶命題。從一階邏輯的角度看，歐氏幾何中的對偶原理本質上與可靠性定理相關。既然這兩個命題可以視為同一個形式語句的兩種賦值，那么根據(jù)可靠性定理，由公理語句集所演繹出的語句即是它的語義后承，所以歐氏幾何定理的對偶命題（如果存在）也必然是定理。

五、再次評估幾何學基礎之爭

我們即便不考慮19世紀末的邏輯學發(fā)展而僅僅關注數(shù)學，也能看到希爾伯特建立某種“形式幾何學”乃至“形式數(shù)學”的綱領并非空穴來風。他的一個基本洞見是，具有直觀性的“作圖”雖然是傳統(tǒng)幾何證明的兩大核心要素之一，但并沒有本質上的重要性，在證明過程中也沒有起到實質作用（即便有用也可以通過一套程序來消解）。既然沒用，那就可以去掉，而連帶著一起去掉的必然就是幾何對象的“圖形”意義。由此，幾何命題的證明就變成了純粹符號性的操作程序，而無需幾何直觀。 初看起來，現(xiàn)象學絕對不可能贊同這一點，因為在胡塞爾那里，幾何證明基于普遍性直觀（“第二研究”），幾何學本身也歸屬于質料本體論（《觀念I》第9節(jié)）。但在公理化視角下，效力并不奠基于空本質直觀（即使需要本質直觀），而這一點和胡塞爾后來對“真理邏輯”與“一致性邏輯”的區(qū)分不矛盾（《形式邏輯與先驗邏輯》第14節(jié)以下）。問題在于應該如何理解僅僅基于“一致性”的科學中的直觀因素和真理性質，經(jīng)典現(xiàn)象學家的觀點可參見倪梁康：《二十世紀數(shù)學論爭中的現(xiàn)象學——從胡塞爾、貝克爾和外爾的思想關聯(lián)來看》，載《中山大學學報（社會科學版）》2016年第4期，第104—114頁；倪梁康：《現(xiàn)象學的數(shù)學哲學與現(xiàn)象學的模態(tài)邏輯——從胡塞爾與貝克爾的思想關聯(lián)來看》，載《學術月刊》2017年第1期，第11—27頁。如果這個觀點可行，一個后續(xù)結論似乎就是：幾何證明和邏輯證明沒有區(qū)別，幾何學就是純粹邏輯學。

“不多不少正好是純粹邏輯學”式的結論可以接受嗎？康德是這樣諷刺費希特的，恐怕弗雷格也是這樣看希爾伯特的——甚至可能更糟。盡管希爾伯特本人不會認為《幾何基礎》會變成“邏輯基礎”，因為里面還保留著幾何的語義學，有某種賦義、解釋、翻譯的工作，但這些都不會影響語法學進路的根本地位。如此一來，真正的哲學問題只剩下如何理解這種做法的合理性了。按前文所述，我們可以從預先給定的判別標準出發(fā)，也可以從某項工作直接關聯(lián)到的東西和它產(chǎn)生的歷史效應來評價。暫且拋開歷史效應不論，關于形式化層面的工作，預先的判別標準只有一條，即“” （完備性暫且不論），因為這首先是純粹的形式邏輯理論。涉及和標準的幾何理論相關的解釋時，就再加一條“”。在希爾伯特看來，有了這兩個前提，基本的合理性標準就已然建立起來了。

到此為止，代表舊傳統(tǒng)的弗雷格式質疑實際上已經(jīng)失去了著力點，真正的負擔反而要回轉到傳統(tǒng)這一邊。舊觀念要想繼續(xù)捍衛(wèi)其存在意義，就必須指出新觀念在哲學上的漏洞。但這種深度反思往往會暴露出古典觀念自身的盲點。出生于哥尼斯堡的希爾伯特小時候就讀過《純粹理性批判》，他在回應弗雷格的時候也勉強承認，純形式化的幾何學也許在最根本的意義上還需要一些直觀性因素。然而這個說法只是一種禮貌的讓步，并沒有什么實質意義。可以說在希爾伯特的眼中，弗雷格對于幾何學的形式化操作始終存在雙重誤解：首先，對于質料的直觀是構造的條件，但這不意味著這種直觀是確立的條件，更不意味著它是成立的條件。其次，這里不能把構造概念的“條件”、確立概念關聯(lián)的“條件”與命題成立的“條件”視為同一種意義上的條件。在希爾伯特的框架中，第一個“條件”只不過是一種動機和緣由，它甚至都不算是合法性保證；而第二個“條件”相當于一個游戲規(guī)則的人為設定，也不涉及合法性問題；只有第三個“條件”與合法性有關，這是因為一般的形式性命題需要從之前給定的命題出發(fā)，以合乎規(guī)則的方式出來。

由此看來，如果說形式理論的起點是某種人為設定的游戲規(guī)則，那么舊傳統(tǒng)的語義有效性與合法性問題都不存在了，因為不同的游戲無所謂正確與否，最多只會涉及哪種游戲設計得“更好”的評價。對于公理化方法來說，可行的評價有三個漸進的層次：第一，在可應用性方面，基本的合格條件就是它能否在恰當?shù)慕忉屩聺M足被認定為真的傳統(tǒng)理論（向下兼容）。公理化方法在這點上確實滿足了經(jīng)典的歐氏幾何。第二，在前一層次的基礎上，我們能否得出新的結論，對以往的猜想作出明確的肯定或否定。公理化方法滿足了這一點，關于對偶性問題的理解表明了它在這方面有資格被視為“更好的”理論。第三，新的理論除了在直接相關的知識領域中有效，是否還能對更大的知識整體有推進作用并且與自身的發(fā)展保持一致性。從思想史上看，公理化方法做到了這一點，其歷史效應除了涵蓋整個數(shù)學領域以外，還直接或間接地影響到了20世紀全部基礎科學的 進展。

六、結論：幾何學基礎之爭的“解決”方式

初看起來，希爾伯特與弗雷格的幾何學基礎之爭似乎在塔斯基的模型論思想中有了最終的答案，因為語法和語義、形式語句與賦義等都屬于模型論語義學的基本思想。某種意義上確實如此，而且本文的分析也導向了這個結果。但必須指出，本文對希爾伯特公理化方法所作的哲學解釋是基于歷史性視角的，而絕非簡單地表明希爾伯特本人的觀點就是“正確的”或弗雷格就是“錯誤的”。事實上，在后來的模型論的框架中，希爾伯特與弗雷格的主張不再構成一種簡單的對立，而是經(jīng)過某種修正之后成為一個意義整體的兩個層次。在的意義上，這可以視為對幾何學基礎爭論的一種解決方式。

進而言之，如果說塔斯基理論可以被當作一種解決方案，那么這并不是我們主觀設定或論證的結果。毋寧說，一切可能的解釋方案都植根于思想自身發(fā)展的效應史中，后者在歷史性的維度上給出了一種最自然的解決方式——公理化方法，連同其一切后續(xù)成果，包括有得有失的形式主義綱領，全都被納入了20世紀數(shù)學史的“正典”中。這條發(fā)展路徑“向內”輻射到更為基礎的邏輯學領域，“向外”則擴展到了理論物理甚至社會科學等領域。也正是在這個意義上，模型論語義學應當被視為公理化思想發(fā)展史的一個續(xù)篇，它不僅位于20世紀波蘭邏輯學傳統(tǒng)的脈絡中，也屬于20世紀初的哥廷根數(shù)學哲學傳統(tǒng)的后效之一——后者不僅包括希爾伯特式的早期形式主義方案，也包括同時期胡塞爾的“純粹語法學”概念和“純粹邏輯學”思想。

站在舊傳統(tǒng)的立場上看，《幾何基礎》本身或許算不上“純正的”幾何學。然而對希爾伯特來說，這種新理論本來就不是為了舊觀念而存在的。它的目標是創(chuàng)造一種全新的幾何觀念，甚至是一個全新的數(shù)學科學觀念。何況，如果沒有對歐氏幾何的“語法學還原”，弗雷格的堅持也只能停留在傳統(tǒng)的水平，而不能以修正的方式被納入當代的語義學之中。在公理化方法的影響下，20世紀的基礎理論科學中出現(xiàn)了一系列深刻的觀點，它們兼有著數(shù)學的外觀和哲學的內核，把人類的智識水平提升到了一個新的維度。就此而言，希爾伯特之后的人并不在乎這種形式化綱領是否會讓數(shù)學淪為“單純的邏輯學”，因為思想本身就在一次次類似的“原初創(chuàng)建”（Urstiftung）中把自身的舊傳統(tǒng)埋入記憶中，并構建起更高層次的思想架構，結出豐碩的成果，朝著新目標繼續(xù)前行。