高一數(shù)學測試

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，計40分)

(A) sin 10° (B) sin 11°

(C)sin 12° (D) sin 13°

2.i為虛數(shù)單位,復數(shù)z滿足z(2-i)=i2 022,則z=( )

3.函數(shù)f(x)=log2x+3x-4的零點所在的一個區(qū)間是( )

(A)(-2,-1) (B)(-1,0)

(C)(0,1) (D)(1,2)

4.已知正三角形ABC的邊長為2,那么?ABC的直觀圖?A′B′C′的面積為( )

5.下列說法正確的是( )

(A) 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位數(shù)是6

(B) 若甲組數(shù)據(jù)的方差為5,乙組數(shù)據(jù)為5,6,9,10,5,這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙

(C) 數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的眾數(shù)為3、中位數(shù)為3.5

(D) 若x1,x2,…,x10的標準差為2,則3x1+1,3x2+1,…,3x10+1的方差是12

(A) 三邊均不相等的三角形

(B) 直角三角形

(C) 等腰非等邊三角形

(D) 等邊三角形

二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,計20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)

9.下列命題中正確的是( )

(A) 已知a,b均為非零向量,若a∥b,則存在唯一的實數(shù)λ,使得a=λb

(B) 已知c≠0,且a·c=b·c,則a=b

(C) 兩個非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,則a與b共線且反向

(C) 若z2為純虛數(shù),則a=b≠0

(D) 若|z-i|=1,則|z|的最大值為2

11.先后兩次擲一枚質地均勻的骰子,A表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和是5”,B表示事件“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”,C表示事件“第一次擲出的點數(shù)是5”,D表示事件“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”,則( )

(A)A與C互斥

(C)B與D對立

(D)A與B相互獨立

12.如圖,在三棱錐P-ABC中,PB⊥面ABC,?ABC是直角三角形,∠B=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,點M,D,E,F分別為PB,AC,AB,BC的中點,則下列命題一定正確的是( )

(A)平面EFM∥平面PAC

(B)EF⊥PD

三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,計20分)

13.設x,y∈R,向量a=(x,1),b=(2,y),c=(3,6),且a⊥c,b∥c,則向量a+b與a-c的夾角大小為______.

15.一艘輪船由海平面上A地向北偏西60°的方向行駛100海里到達B地,然后向C地行駛.設C地恰好在A地的南偏西60°方向上,并且A,C兩地相距200海里,則輪船從B地到C地的距離為______海里.

16.已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上,且球O的表面積為22π,AB⊥AC,PA⊥平面ABC,AB=PA=3,則三棱錐P-ABC的體積為______.

四、解答題(本大題共6小題,計70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

(1)求|a|;

(2)若向量c=3a-4b,d=ma+b,c∥d,求m的值.

(1)求cos 2α的值;

(2)求2α-β的值.

20.(本小題滿分12分)從學校的2 000名學生中隨機抽取50名學生的考試成績,被測學生成績全部介于65分到145分之間,將統(tǒng)計結果按如下方式分成八組:第一組[65,75),第二組[75,85),…,第八組[135,145],如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分.

(1)求第七組的頻率;

(2)用樣本數(shù)據(jù)估計該校的2 000名學生這次考試成績的平均分;

(3)若從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學生中隨機抽取2名,求他們的分差的絕對值小于10分的概率.

21.(本小題滿分12分)如圖所示的四棱錐P-ABCD的底面ABCD是一個等腰梯形,AD∥BC,且AD=2AB=2BC=4,PO是?PAD的中線,點E是棱PD的中點.

(1)證明:CE∥平面PAB;

(2)若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD,PO=AO,求點E到平面PAB的距離.

22.(本小題滿分12分)如圖所示,某市有一塊空地?OAB,其中OA=3 km,∠OAM=60°,∠AOB=90°.當?shù)卣媱潓⑦@塊空地改造成一個旅游景點,擬在中間挖一個人工湖?OMN,其中M,N都在邊AB上,且∠MON=30°,挖出的泥土堆放在?OAM地帶上形成假山,剩下的?OBN地帶開設兒童游樂場.為安全起見,需在?OAN的周圍安裝防護網(wǎng).設∠AOM=θ.

(2)為節(jié)省投入資金,人工湖?OMN的面積要盡可能小,問如何設計施工方案,可使?OMN的面積最小?最小面積是多少?

參考答案

一、單項選擇題

1.B;2.A;3.D;4.D;5.B;

6.D;7.A;8.C

二、多項選擇題

9.AC;10.ABD;11.ABD;12.ABC.

三、填空題

四、解答題

20.(1)由頻率分布直方圖,得第七組的頻率為1-(0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004)×10=0.08.

(2)用樣本數(shù)據(jù)估計該校的2 000名學生這次考試成績,其平均分為70×0.004×10+80×0.012×10+90×0.016×10+100×0.030×10+110×0.020×10+120×0.006×10+130×0.008×10+140×0.004×10=102(分)

21.(1)如圖,連結OC,OE.因為O,E分別是棱AD,PD的中點,所以OE∥PA.又PA?平面PAB,OE?平面PAB,所以OE∥平面PAB.

又AD∥BC,且AD=2AB=2BC=4,所以AO∥BC,且AO=BC.所以四邊形ABCO是平行四邊形,得CO∥AB.又AB?平面PAB,CO?平面PAB,從而CO∥平面PAB.

又CO∩OE=O,CO,OE?平面OCE,所以平面OCE∥平面PAB.又CE?平面OCE,所以CE∥平面PAB.

(2)由(1)知CE∥平面PAB,所以點E到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離.連結AC,OB，因為O是棱AD的中點,且PA=PD,所以PO⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.

于是∠AON=∠AOM+∠MON=60°=∠A,?OAN是等邊三角形.故?OAN的周長為3OA=9 km,即防護網(wǎng)的總長度為9 km.

(2)設∠AOM=θ(0°<θ<60°),則∠AON=θ+30°,∠OMA=120°-θ,∠ONA=90°-θ.